Notes sur la théorie de l'offre et de la demande - 2° partie, Notes de Gestion des affaires. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)
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Notes sur la théorie de l'offre et de la demande - 2° partie, Notes de Gestion des affaires. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)

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Notes de gestion sur la théorie de l'offre et de la demande - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Les effets de la découverte du produit, le système, la solution est triviale.
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Les effets de la découverte du produit n'ont pas les mêmes effets sur les deux groupes

offreurs/demandeurs. Premièrement, bien sûr, chaque offre acquise par un demandeur est un

gain net pour le premier et sera supposé comme un perte d'épargne nette pour le second.

Ainsi, si l'effet des interactions est accepté, comme étant proportionnel à les signes

d'influence d'interaction différeront selon :

(70)

Avant d'aller plus loin, cherchons les valeurs pour lesquelles les dérivées s'annulent (ce qui

nous donnera au fait le point d'équilibre entre l'offre et la demande) :

(71)

d'où :

(72)

Une solution triviale est la solution "d'inexistence" donné par . Sinon, nous avons :

(73)

Maintenant, normalisons les équations en écrivant (ainsi elles sont sans dimension) :

(74)

avec cette normalisation, le modèle s'écrit :

(75)

En réarrangent les coefficients, le système s'écrit :

(76)

pour lequel les dérivées s'annulent aux points (1,1), qui sera à nouveau l'équilibre de Say.

Le tracé discret de ce système d'équations (dans lequel nous reconnaissons un terme

logistique), donne avec et le conditions initiales :

(77)

Nous retrouvons comme le marché semble nous le montrer, des cycle d'offre/demande

(certains produits démodés reviennent à la mode) dont il faut déterminer par des statistiques,

les conditions initiales afin d'en connaître la possible période. Nous remarquons que l'offre a

toujours un peu de retard sur la demande dans ce modèle.

Si nous représentons l'offre et la demande non pas respectivement en fonction du temps mais

en fonction de l'un et de l'autre nous obtenons :

(78)

Nous voyons ainsi (dans cette représentation de l'espace des physique) que pour des conditions

initiales fixes, le système est périodique et a un point d'équilibre en

Ce qui correspond aux points où :

(79)

Finalement, nous avons deux couples de points d'équilibre (c'est trivial en regardant le système

d'équation) :

et (80)

La question qui se poser est le sens de rotation (représentation) du plan des phases. Ainsi, en

représentant les directions à l'aide d'un champ de vecteurs, nous obtenons la représentation :

(81)

Pour savoir dans quelle direction nous nous dirigeons dans l'espace des phases à un moment

donné, il suffit donc de connaître la dérivée dy/dx (ou réciproquement dx/dy). Ainsi nous avons

:

(82)

Ceci dit, nous voyons bien sur le diagramme des phases dans sa forme de champ de vecteurs

qu'il arrive un moment dans le cycle de ce modèle que l'offre soit très élevée pour une faible

demande. Donc le modèle mathématique (théorique) explique bien ce qui peut être à priori

contre intuitif pour l'être humain.

Cependant, nous pouvons (devons) nous poser la question de ce qu'il se passe après un petite

perturbation autour des points d'équilibres (ce qui est de la plus haute importance en

économie).

Nous avons donc le système :

(83)

En y mettant une perturbation infiniment petite, celui-ci s'écrit :

(84)

En négligeant les termes quadratiques nous obtenons :

(85)

Dès lors, proche du point d'extinction , ce système s'écrit :

(86)

Ce qui nous montre que proche du point d'éqilibre, l'offre diminue exponentiellement alors que

la demande augmente elle exponentiellement. Ceci à un sens écnomique : quand il y a peu

d'offre (respectivement de demande), la demande croît alors qu'au fur et à mesure que la

demande augmente, l'offre croît et se concentre de plus en plus sur leurs la demande (ahhh la

nature...).

Proche du point d'équilibre (1,1), nous aurons :

(87)

Ce cas n'est plus très trivial car nous avons alors des équations différentielles couplées. Pour

résoudre ce système, différentions l'équation :

(88)

et en y injectant dy/dt :

(89)

Nous obtenons donc une petit équation différentielle du deuxième ordre (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral). Dons la solution type est :

(90)

En injectant cette solution dans l'équation différentielle, nous obtenons après simplification des

exponentielles une simple équation du deuxième degré (cf. chapitre de Calcul Algébrique) :

(91)

Dont la solution est triviale :

(92)

Ainsi, la solution générale de l'équation différentielle est la combinaisons linéaire des deux

solutions tel que :

(93)

Mais nous avons donc :

(94)

Dès lors, connaissant x(t) nous obtenons facilement :

(95)

Utilisons maintenant la relation d'Euler (cf. chapitre sur les Nombres) :

(96)

Ainsi, nous avons :

(97)

et comme (cf. chapitre de Trigonométrie) , nous avons alors

:

(98)

et de manière similaires, nous obtenons pour les prédateurs :

(99)

Ainsi, autour du point d'équilibre (1,1), les perturbations suffisamment petites pour valider la

linéarisation (annulation des termes quadratiques) oscilles comme des ellipses (ou cercles) dont

les axes sont définis par les deux équations précédentes.

Ce modèle est cependant imparfait car il prend en compte seulement un monopole contrarié à

perte nette et à information parfaite. Le fait de considérer la population constante n'est pas trop

génante mais en toute rigueur nous devrions rajouter un terme logistique dans les équations

initiales. Il y a encore du travail donc...

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