Notes sur la trigonométrie sphérique - 2° partie, Notes de Trigonométrie
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur la trigonométrie sphérique - 2° partie, Notes de Trigonométrie

PDF (138 KB)
4 pages
379Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur la trigonométrie sphérique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'angle solide, la démonstration.
20 points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 4

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 4 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 4 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 4 pages

Télécharger le document

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 4 pages

Télécharger le document

(20.130)

nous obtenons alors la moitié de la sphère (regarder la figure pour vous le représenter

mentalement) plus additionné 2 fois en trop le triangle géodésiques de surface S en bleu sur la

figure (soit 2 fois en trop).

Il faut enlever deux fois la surface de ce triangle bleu pour obtenir la surface de la demi-sphère:

(20.131)

Donc:

(20.132)

comme , nous avons:

(20.133)

Après simplification nous en déduisons que la surface S du triangle ABC vaut::

(20.134)

où est un angle solide.

Il est assez simple de généraliser ce concept à d'autres formes du même acabit (en particulier

celles composées de triangles...).

ANGLE SOLIDE

Il se pose le problème dans la géométrie spatiale le concept d'angle d'ouverture d'une portion de

l'espace (en extension à l'angle dit "angle plan"). Nous définissons alors "l'angle solide" par la

mesure de la portion d'espace limitée par une surface conique de sommet O et nous l'exprimons

en stéradian, défini par le rapport :

(20.135)

S étant l'aire de la calotte découpée par le cône sur une sphère de rayon r.

(20.136)

Si est le demi-angle du cône, nous obtenons pour ce rapport (pour le calcul de la calotte d'une

surface sphérique voir le chapitre traitant des formes géométriques) :

(20.137)

D'où l'on conclut que l'angle solide total vaut par définition :

(20.138)

Nous pouvons également calculer "l'angle solide élémentaire" tel que représenté ci-dessous :

(20.139)

Soit un angle solide élémentaire et OM l'axe du cône. Nous posons :

(20.140)

Nous considérons une surface quelconque passant par le point M. découpe sur cette

surface une portion .

Si nous traçons la sphère S de centre O et de rayon r, cet angle solide découpe sur cette sphère

une calotte d'airedS :

(20.141)

Soit MN la normale à qui fait un angle avec OM. Nous avons, en assimilant dS et à des

portions de plan :

(20.142)

d'où :

(20.143)

Ce concept d'angle solide nous sera très utile en partie dans le domaine de la physique théorique

qui traite du rayonnement thermique (cf. chapitres d'Optique et de Thermodynamique).

Nous pouvons encore calculer à partir des concepts précédents, l'angle solide élémentaire de

révolution tel que présenté sur la figure ci-dessous :

(20.144)

Il est compris entre deux angles solides de révolution dont les demi-angles au sommet diffèrent

de .

(20.145)

où :

(20.146)

Démonstration:

Dans le chapitre traitant des Formes Géométriques (cf. section de Géométrie) nous avons

démontré les différentes manières de calculer la surface d'une sphère. De ces calculs il avait été

déduit que la surface élémentaire à Rconstant était:

(20.147)

et puisque :

(20.148)

l'angle solide élémentaire s'écrit alors :

(20.149)

Ainsi, l'angle solide délimité par un cône de révolution, d'angle au somment vaut :

(20.150)

commentaires (0)

Aucun commentaire n'a été pas fait

Écrire ton premier commentaire

Ceci c'est un aperçu avant impression

3 shown on 4 pages

Télécharger le document