Notes sur le calcul différentiel et intégral - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur le calcul différentiel et intégral - 2° partie, Notes de Mathématiques

PDF (176 KB)
6 pages
198Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur le calcul différentiel et intégral - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les différentielles, Démonstration, exemple.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 6
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document

(10.26)

ce qui sans perdre en validité tant que c est dans l'étau [a,x] peut s'écrire:

(10.27)

Ainsi, lorsque ce qui implique que l'étau [a,x] se referme et donc nous avons:

(10.28

)

Ainsi, nous venons de prouver quand dans la démonstration précédente de la règle de l'Hôpital la

relation:

(10.29)

que nous avions est vraie en toute généralité et qu'il n'est pas nécessaire que soit

vrai pour que le résultat soit juste!

C.Q.F.D.

DIFFÉRENTIELLEs Nous avons indiqué précédemment ce qu'était un différentiel d. Mais il existe en fait plusieurs

types de sortes de différentielles d'une fonction (remarquez que nous distinguons le genre

masculin et féminin du terme) :

1. Les différentiels

2. Les différentielles partielles

3. Les différentielles totales exactes

4. Les différentielles totales inexactes

Rappelons que nous appelons "différentiel df" d'une fonction f à une variable la relation donnée

par (voir texte précédent) :

(10.30)

Cependant, pour exprimer l'effet d'un changement de toutes les variables d'une fonction f de

plusieurs variables, nous devons utiliser un autre type de différentiel que nous appelons la

"différentielle totale" (dérivée en deux sous-familles : différentielle totale exacte et différentielle

totale inexacte).

Soit par exemple, une fonction f(x, y) des deux variables x et y. L'accroissement df de la fonction f,

pour un accroissement fini de x à et de y à est :

(10.31)

que nous pouvons aussi écrire :

(10.32)

ou encore:

(10.33)

Pour des accroissements infiniment petits de x et y :

(10.34)

Intéressons nous dès lors aux deux termes au passage à la limite:

et (10.35)

Le premier terme de gauche, nous le voyons, ne donne finalement que la variation en x de la

fonction f(x, y) en ayant y constant sur la variation. Nous notons cela dès lors (si la connaissance

des variables constantes est triviale, nous ne les indiquons plus) :

(10.36)

et de même :

(10.37)

Les deux expressions :

et (10.38)

sont ce que nous appelons des "différentielles partielles".

Il vient dès lors :

(10.39)

qui est la "différentielle totale exacte" de df. Il est important de se rappeler de la forme de cette

relation que nous retrouverons partout dans des opérateurs particuliers en physique, dans la

mécanique des fluides, dans la thermodynamique, etc.

Remarque: De la même manière, pour une fonction de plus de deux variables, par exemple f(x, y, z),

la différentielle totale df est:

(10.40)

Dans l'équation ci-dessus, la différentielle df a été calculée à partir de l'expression de la fonction f.

Puisqu'il existe une fonction f qui vérifie l'expression de df, la différentielle df est dite alors aussi

"totale exacte".

Profitons pour faire une indication importante sur l'utilisation des dérivées partielles par les

physiciens (et donc dans les nombreux chapitres y relatifs du site). Nous avons vu plus haut que

si f dépend de deux variables x, ynous avons toujours :

(10.41)

et s'il ne dépend que d'un variable nous avons alors :

(10.42)

et alors :

(10.43)

raison pour laquelle les physiciens mélangent allègrement les deux notations...

Maintenant, il faut cependant savoir qu'il existe également des différentielles totales exactes,

qu'aucune fonction ne vérifie. Dans ce cas, nous parlons de "différentielle totale inexacte" et pour

déterminer si une différentielle totale est exacte ou inexacte, nous utilisons les propriétés des

dérivées partielles (cas très important en thermodynamique!!!).

Soit la forme différentielle :

(10.44)

où M(x,y) et N(x,y) sont des fonctions des variables x et y. Si dz est une différentielle totale exacte,

alors :

(10.45)

Il faut donc que :

et (10.46)

ou encore, en effectuant une seconde dérivation, que:

et (10.47)

Avant de continuer, nous avons besoin d'un résultat donné par le "théorème de Schwarz" qui

s'énonce de la manière suivante :

Soit une fonction f, si :

(10.48)

sont continues alors nous avons (il faut vraiment vérifier que ce soit le cas!) :

(10.49)

pour tout où U est le domaine de définition où f est continue (et donc dérivable).

Démonstration:

Nous considérons l'expression :

(10.50)

Posons :

et (10.51)

Nous avons alors :

(10.52)

Par le théorème des accroissements finis :

(10.53)

avec En reprenant les définitions de g et w nous obtenons :

(10.54)

en appliquant à nouveau le théorème des accroissements finis aux deux membres entre

parenthèses nous trouvons :

(10.55)

avec Pour finir :

(10.56)

et par continuité lorsque , nous avons :

(10.57)

Plus simplement écrit :

(10.58)

C.Q.F.D.

Par récurrence sur le nombre de variables nous pouvons démontrer le cas général (c'est long mais

c'est possible, nous le ferons si besoin il y a...).

Donc finalement pour en revenir à notre problème initial, nous avons donc :

(10.59)

Ce qui nous donne finalement :

(10.60)

C'est donc la condition que doit satisfaire une différentielle totale pour être une différentielle

totale exacte et la condition qu'elle ne doit pas satisfaire pour être une différentielle totale

inexacte!!!

Afin de ne pas confondre les deux types de différentielles, nous utilisons le symbole pour

représenter une différentielle totale inexacte et d pour une différentielle totale exacte. La

distinction est extrêmement importante car seules les différentielles totales exactes ont une

intégrale qui ne dépend que des bornes d'intégration (puisque toutes les variables changent en

même temps) :

mais (10.61)

Autrement dit, la variation d'une fonction dont la différentielle est totale exacte, ne dépend pas du

chemin suivi, mais uniquement des états initiaux et finaux. Nous appelons une telle fonction qui

satisfait à une différentielle totale exacte, une "fonction d'état", c'est-à-dire une fonction dont la

valeur ne dépend que de l'état présent et futur, et non de son histoire.

Cette distinction est très importante et particulièrement en thermodynamique où il convient de

déterminer si une quantité physique est une différentielle totale exacte (une "fonction d'état" donc)

ou non afin de savoir comment évoluent les systèmes.

Exemple:

Un exemple important de forme différentielle en thermodynamique, est le travail élémentaire

d'une force exercée sur un corps en mouvement dans le plan Oxy, nous avons :

(10.62)

et ne dérivent pas nécessairement d'un même potentiel U(x,y) tel que :

(10.63)

est donc une différentielle totale inexacte!

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 6 pages
Télécharger le document