Notes sur le calcul vectoriel - 1° partie, Notes de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
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Notes sur le calcul vectoriel - 1° partie, Notes de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de sciences mathématiques sur le calcul vectoriel - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Notion de vecteur, Projection sur un axe, Changement de repère.
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Calcul vectoriel

A. Bourrass et E. Zerouali

SM-SMI

Septembre 2005

Sommaire

1 Calcul vectoriel 3

1.1 Notion de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Somme vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 droites et plans dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.2 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Projection sur un axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Repère cartésien, coordonnées cartesiènnes . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Equation cartésiènne d’un plan et d’une droite dans l’espace . . . . . 8

1.5.1 Equation cartésiènne d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5.2 Equation cartésiènne d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.7 Interprétation algébrique (ou matricielle) . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.8 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.9 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.9.1 Expression analytique (ou cartésiènne) du produit scalaire . . 14

1.9.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10 Produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10.1 Notion d’orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.10.2 produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.10.3 Expression analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.11 produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.11.3 Expression analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.11.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Coniques et quadriques 19

2.1 Coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Définition géométrique des coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

2

2.2.1 Ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2 Hyperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.3 Parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3.1 Ellipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Paraboloide elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 Hyperboloide à une nappe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.4 Hyperboloide à deux nappes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.5 Paraboloide hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.6 Cône elliplique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Fonctions vectorielles 25

3.1 Fonctions vectorielles d’une variable réelle. Courbes paramétriques . 25

3.1.1 Equations paramétriques d’une droite . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2 Equations paramétriques d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3 Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.4 Changement de paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.5 Plan osculateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Fonctions vectorielles de deux variables réelles- Surfaces paramétrées . 32

3.2.1 Fonction numériques de plusieurs variables . . . . . . . . . . . 32

3.2.2 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.3 Représentation paramétrique d’une surface . . . . . . . . . . . 33

3.2.4 Plan tangent à une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Courbure et torsion d’une courbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3.1 Triède de Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.2 Torsion d’une courbe gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.3 Formules de Frénet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chapitre 1

Calcul vectoriel

Des grandeurs telles que longueur, surface ou masse se laissent décrire complètement

par des nombres réels ou scalaires. D’autres, telles que vitesse, accélération ou force

nécessitent qu’on pécise en plus de leurs intensité, leur direction et leur sens. Ces

grandeurs sont désignées mathématiquement par des objet qu’on appelera ”vecteurs”.

Notre point de départ pour la construction de ce cours sera la notion de l’espace

intuitif que nous assimilerons à l’ensemble des points noté E . On supposera que la notion de longueur d’un segment et celle d’un angle entre deux demi-droites sont

connues.

1.1 Notion de vecteur

On appelle vecteur lié, la donnée d’un couple de points (A,B) noté −→ AB. La droite

(AB) est appelée le support du vecteur −→ AB.

Sur l’ensemble des vecteur liés, on définit la relation d’équipolence suivante: −→ AB

et −−→ CD sont équipollents si les segments de droites [AD] et [BC] ont le même milieu.

On note alors −→ AB =

−−→ CD. L’équipolence est une relation d’équivalence:

• Elle est reflexive : −→AB = −→AB.

• Elle est symetrique : −→AB = −−→CD ⇒ −−→CD = −→AB.

• Elle est transitive : −→AB = −−→CD et −−→CD = −→EF ⇒ −→AB = −→EF

Une classe d’équivalence pour la relation d’équipollence est appelé vecteur libre. On

représente un vecteur libre par les lettres −→u ,−→v , et on notera V l’ensemble des vecteurs libres de l’espace.

3

4

Soient −→v un vecteur libre et O un point de l’espace intuitif E , il existe un unique point A dans E tel que la classe d’équipollence de −→OA soit −→v . Le vecteur lié −→OA est appelé le représentant de −→v en O. La droite OA sera appelé le support du vecteur libre −→v .

Remarque 1 • L’écriture −→AB = −−→CD signifie que les deux vecteurs liés −→AB et −−→ CD sont equipollents.

• L’écriture −→u = −→v signifie que les symboles −→u et −→v désignent le même vecteur libre ou encore le même élément de V.

• Par abus de langage et d’écriture, on peut écrire −→u = −→AB pour exprimer que −→ AB est un représentant du vecteur −→u .

1.1.1 Somme vectorielle

Soient −→v 1 et −→v 2 deux vecteurs libres, −→ OA et

−−→ OB leurs représentants réspectifs en

un point O de l’espace. On définit la somme −→v 1 +−→v 2 comme étant le vecteur libre −→v = −→OS (−→v de représentant −→OS), où S est le point obtenu par l’une des constructions équivalentes suivantes

• OASB est un parallélogramme.

• S est l’unique point satisfaisant −→v 2 = −→ BS

Les propriétés suivantes sont faciles a obtenir (géometriquement)

1. Commutativité : −→v 1 +−→v 2 = −→v 2 +−→v 1;

2. Associativité : (−→v 1 +−→v 2) +−→v 3 = −→v 1 + (−→v 2 +−→v 3);

3. Vecteur nul: On note −→ O =

−→ AA, appelé le vecteur nul et satisfait −→v + −→O =

−→ O +−→v = −→v .

4. Si −→v = −→AB, on écrit −−→v = −→BA dit vecteur opposé de −→v et satisfait −→v + (−−→v ) = −→O .

On dit que l’ensemble V muni de l’addition + est groupe commutatif (ou abélien).

1.1.2 multiplication par un scalaire

Deux vecteurs libres sont dit colinéaires si leurs représentants de même origine ont

leurs supports confondus.

Soient λ ∈ IR et −→v ∈ V de représentant −→OA. On définit le vecteur λ−→v comme étant le vecteur libre de représentant

−−→ OB avec B tel que

−−→ OB de même support que

5

−→ OA et OB = |λ|OA ( OA est la longueur du segment [OA]) avec −→OA et −−→OB de même sens si et seulement si λ > 0.

On a les propriétés suivantes

1. λ(µ−→v ) = (λµ)−→v = µ(λ−→v )

2. 1−→v = −→v ;

3. λ−→v = −→O ⇐⇒ λ = 0 ou −→v = −→O ;

4. (λ+ µ)−→v = λ−→v + µ−→v

5. λ(−→u +−→v ) = λ(−→u ) + λ(−→v )

L’ensemble des vecteurs libres muni des opérations somme vectorielle et multiplication

par un scalaire est un espace vectoriel.

1.2 droites et plans dans l’espace

1.2.1 Droites

Soit −→v un vecteur libre et A un point de l’espace. La droite engendrée par −→v (ou de direction −→v ) est l’ensemble des points de l’espace

DA(−→v ) = {M ∈ E , −−→ AM = λ−→v , λ ∈ IR}

On notera la demi-droite d’extrimité A et de vecteur directeur −→v l’ensemble

D+A(v) = {M ∈ E , −−→ AM = λ−→v , λ > 0}

Deux droites sont parallèles si elles sont engendrées par le même vecteur. Deux droites

parallèles sont ou bien confondues ou bien n’ont aucun point en commun.

La droite passant par les points A et B est engendrée par le vecteur −→ AB.

Définition 1 Soit −→v 1 et −→v 2 deux vecteurs libres. On dira que −→v 1 et −→v 2 sont colinéaires s’ils engendrent des droites parallèlles, ou de façon équivalentes, s’il existe

α1 et α2 non tous nuls tel que

α1−→v 1 + α2−→v 2 = −→o

Remarque 2 Les vecteurs −→v 1 et −→v 2 sont colinéaires dans les cas suivants:

1. L’un au moins des vecteurs est nul.

2. Un vecteur est obtenu par la multiplication de l’autre par un scalaire.

6

1.2.2 Plans

Définition 2 Soient −→v 1 et −→v 2 deux vecteurs non colinéaires et A ∈ E. On appelle le plan engendré par −→v 1 et −→v 2 et passant par le point A, l’ensemble

PA(−→v 1,−→v 2) = {M ∈ E , −−→ AM = λ−→v 1 + µ−→v 2, λ, µ ∈ IR}

Si A,B, et C sont trois points non alignés, le plan passant par A,B et C est engendré

par les vecteurs −→ AB et

−−→ BC.

On dira que trois vecteurs sont coplanaires si leurs représentants issus du même point

engendrent le même plan

Propriétés Les propriétés suivantes sont faciles a établir

1. Trois vecteurs −→v 1,−→v 2 et −→v 3 sont coplanaires si et seulement si, il existe α1, α2 et α3 non tous nuls tel que

α1−→v 1 + α2−→v 2 + α3−→v 3 = 0

2. Trois vecteurs sont coplanaires si tout les plans engendrés par deux vecteurs

d’entres eux non colinéaires sont parallèles.

3. Deux plans sont parallèles s’il sont engendrés par les mêmes vecteurs. En plus

deux plans parrallèles sont soit confondues soit ont une intersection vide .

4. Une droite D(−→v 1) engendrée par −→v 1 et un plan P (−→v 2,−→v 3) engendré par −→v 2 et −→v 3 sont parallèle si et seulement si −→v 1,−→v 2 et −→v 3 sont coplanaires.

1.3 Projection sur un axe

Définition 3 1. Soient P un plan et D une droite non parallèle à P . La projection

d’un point A sur la droite D parallèlement à P est l’intersection de la droite D

et du plan parallèle à P passant par A.

Cette projection est dite orthogonale si D est P sont perpendiculaires.

2. La projection d’un vecteur −→v de représentant −→AB est le vecteur −→v ′ = −−→ A′B′ où

A′ et B′ sont les projections de A et B respectivement.

Propriétés. Soit pD,π la projection sur la droiteD parallèlement au plan π. L’application

pD,π : V → V

est une application linéaire, c’est à dire

• pD,π(−→v 1 +−→v 2) = pD,π(−→v 1) + pD,π(−→v 2) pour tout −→v 1,−→v 2 ∈ V

7

• pD,π(λ−→v ) = λpD,π(−→v ) pour tout λ ∈ IR et −→v ∈ V .

Proposition 1 La mesure algébrique de la projection orthogonale sur une droite D

d’un vecteur −→ AB est obtenue par la formule

pD,π( −→ AB) = ABcos(D,

−→ AB)

1.4 Repère cartésien, coordonnées cartesiènnes

Soit −→ i , −→ j , −→ k trois vecteurs libres non complanaires. Leurs représentants

−→ OA,

−−→ OB et

−→ OC en un point O de l’espace forment un triède de sommet O.

Soit −→v un vecteur libre et S tel que −→v = −→OS ( on rappèlle ici que cette égalité signifie que

−→ OS est le représentant de −→v en O). Notons xx′, yy′ et zz′ les droites

passant par O et de vecteur directeur −→ i , −→ j et

−→ k respectivement. Soient aussi, P,Q

et R les projections de S parallèlement aux plan PO( −→ j , −→ k ), PO(

−→ i , −→ k ) et PO(

−→ i , −→ j )

respectivement sur xx′, yy′ et zz′.

Les points P,Q,R sont uniques et satisfont

−→ OS =

−→ OP +

−→ OQ+

−→ OR

Comme P,Q et R appartiennent aux droites DO( −→ i ), DO(

−→ j ) et DO(

−→ k ), il existe x, y

et z des réels tel que

−→ OP = x

−→ i , −→ OQ = y

−→ j et

−→ OR = z

−→ k

De sorte que −→v = −→OS = x−→i + y−→j + z−→k

On dira que (x, y, z) sont les coordonnées de M dans le repère (O, −→ i , −→ j , −→ k ) et on

ecrira M(x, y, z).

Propriétés : Les vecteurs libres −→ i , −→ j , −→ k étant fixés, pour tout vecteur libre −→v , les

scalaires x, y, z définis ci-dessus sont uniques.

En effet si

x′ −→ i + y′

−→ j + z′

−→ k = x

−→ i + y

−→ j + z

−→ k

on aurait (x′ − x)−→i + (y′ − y)−→j + (z′ − z)−→k = 0. Cela entrainerait que x′ − x = y′ − y = z′ − z = 0 car les trois vecteurs −→i ,−→j ,−→k ne sont pas coplanaires.

Les scalaires x, y, z associés à vecteur −→v = −−→OM sont appelés les composantes de −→v dans la base (

−→ i , −→ j , −→ k ) ou les coordonnées du pointsM dans le repère, (O,

−→ i , −→ j , −→ k ).

On ecrira pour simplifier −→v (x, y, z) et M(x, y, z).

8

Le repère ( −→ i , −→ j , −→ k ) étant donnés, on vient de montrer qu’on peut associer, de

manière unique, à tout vecteur libre de V ou à tout point de l’espace intuitif E , un point (x, y, z) de IR3. On définit ainsi deux applications

Θ1 : V → IR3 −→v → (x, y, z), −→v = x−→i + y−→j + z−→k

Θ2 : E → IR3

M → (x, y, z), −−→OM = x−→i + y−→j + z−→k

De plus Θ1,Θ2 sont bijectives et

1. Θ1 est linéaire, c’est à dire

Θ1(−→v 1 +−→v 2) = Θ1(−→v 1) + Θ1(−→v 2) et Θ1(λ−→v ) = λΘ1(−→v )

pour tout −→v 1,−→v 2 ∈ V et λ ∈ IR.

2. Si −→ OA = x

−→ i + y

−→ j + z

−→ k et

−→ AB = x′

−→ i + y′

−→ j + z′

−→ k , alors

−→ OA+

−→ AB =

−−→ OB et

par suite −→ AB =

−−→ OB −−→OA = (x′ − x)−→i + (y′ − y)−→j + (z′ − z)−→k

Lorsque les vecteurs −→ i , −→ j et

−→ k sont de même module (on rappelle que le module

d’un vecteur −→v = −→AB n’est autre que la longueur du segment [AB]), on dit que le repère est normé. Si les vecteurs sont en plus orthogonaux deux à deux, le repère est

dit orthonormal.

1.5 Equation cartésiènne d’un plan et d’une droite

dans l’espace

L’espace E est muni d’un repère (O,−→i ,−→j ,−→k )

1.5.1 Equation cartésiènne d’un plan

Soient −→v 1(a1, b1, c1) et −→v 2(a2, b2, c2) deux vecteurs non colinéaires, A(x0, y0, z0) un point de l’espace et PA(−→v 1,−→v 2) le plan engendré par (−→v 1,−→v 2) et passant par A. Un point M(x, y, z) appartient à PA(−→v 1,−→v 2) si et seulement si il existe λ, µ ∈ IR tels que

−−→ AM = λ−→v 1 + µ−→v 2.

Ce qui se traduit par  x− x0 = λa1 + µa2 y − y0 = λb1 + µb2 z − z0 = λc1 + µc2

9

Trouver l’équation cartésiènne du plan signifie trouver une relation entre x, y et z.

Ceci revient à éliminer le paramètres λ et µ des trois équations ci-dessus.

Exemple Si A(1, 1, 1),−→v 1(1,−1, 1) et v2(2, 1, 1). On obtient x− 1 = λ+ 2µ l1 y − 1 = −λ+ µ l2 z − 1 = λ+ µ l3

on a alors, l2 + l3 : y + z − 2 = 2µ et l2 − l3 : y − z = −2λ. En reportant dans la première équation on obtient

x− 1 = y − z −2

+ y − 1 + z − 1

L’équation cartésiènne du plan est alors,

2x− y − 2z + 2 = 0

Remarque De façon générale, l’équation d’un plan est

ax+ by + cz + d = 0

où a, b, c et d sont à déterminer.

1.5.2 Equation cartésiènne d’une droite

Soit −→v 6= −→O de composante (a, b, c), A un point de coordonnées (x0, y0, z0) et DA(−→v ) la droite passant par A et de vecteur directeur −→v . On a

M(x, y, z) ∈ DA(−→v ) ⇐⇒ −−→ AM = λ−→v . λ ∈ IR

Ce qui est équivalent à  x− x0 = λa y − y0 = λb z − z0 = λc

Puisque −→v 6= −→O , l’un au moins des réels a, b, c est non nul. Si par exemple a 6= 0, trois cas se présentent.

i) b = c = 0, le système d’équation se ramène à x = x0 + λa λ ∈ IR y = y0 z = z0

C’est la droite de vecteur directeur −→ i qui est aussi l’intersection des plans (O,

−→ i , −→ j )

et (O, −→ i , −→ k ).

10

ii) b = 0 et c 6= 0, le système devient x = x0 + λa λ ∈ IR y = y0 z = z0 + λc

où encore { y = y0

cx− az − cx0 + az0 = 0

iii) Si b 6= 0 et c 6= 0, on obtient

x− x0 a

= y − y0 b

= z − z0 c

=

Ce qui donne l’équation suivante de la droite,{ b(x− x0)− a(y − y0) = 0 c(x− x0)− a(z − z0) = 0

Exemple −→v (1, 2, 1), A(−1, 0, 1). On aM(x, y, z) ∈ DA(v) ⇐⇒ −−→ AM = λ−→v . λ ∈ IR,

ce qui est équivalent à  x+ 1 = λ

y = 2λ

z − 1 = λ

L’élimination de λ conduit facilement aux équations suivantes{ x+ z = 0

2x− y + 2 = 0

Ces équations expriment que la droite DA(−→v ) est l’intersection des deux plans x+z = 0 et 2x− y + 2 = 0

De façon general, l’équation cartésiènne d’une droite est{ ax+ by + cz + d = 0

a′x+ b′y + c′z + d′ = 0

où a, b, c, d, a′, b′, c′ et d′ sont des constantes données.

1.6 Changement de repère

Soit (O, −→ i , −→ j , −→ k ) un repère dans l’espace et −→u ,−→v ,−→w trois vecteurs non coplanaires

de composante dans (O, −→ i , −→ j , −→ k )) données par−→u (α1, β1, γ1), −→v (α2, β2, γ2) et−→w (α3, β3, γ3).

A partir des relations −→u = α1 −→ i + β1

−→ j + γ1

−→ k , −→v = α2

−→ i + β2

−→ j + γ2

−→ k et

11

−→w = α3 −→ i + β3

−→ j + γ3k, il est toujours possible d’exprimer

−→ i , −→ j et

−→ k dans le

nouveau repère (O,−→u ,−→v ,−→w ) par des relations de type

(1)

 −→ i = a1−→u + b1−→v + c1−→w−→ j = a2−→u + b2−→v + c2−→w−→ k = a3−→u + b3−→v + c3−→w

Problème: Etant donné un vecteur −→ V (ou un point) de composante (x, y, z) dans

(O, −→ i , −→ j , −→ k ), quelles sont ses composantes (x′, y′, z′) dans le repère (O,−→u ,−→v ,−→w ).

En ecrivant −→ V = x

−→ i + y

−→ j + z

−→ k et

−→ V = x′−→u + y′−→v + z′−→w

On obtient

−→ V = x(a1−→u + b1−→v + c1−→w ) + y(a2−→u + b2−→v + c2−→w ) + z(a3−→u + b3−→v + c3−→w )

c’est à dire puisque les composantes relativement à la base (−→u ,−→v ,−→w ) sont uniques x′ = a1x+ a2y + a3z

y′ = b1x+ b2y + b3z

z′ = c1x+ c2y + c3

1.7 Interprétation algébrique (ou matricielle)

Le système (1) peut se mettre sous la forme d’un tableau dont les colonnes représentent

les composantes des vecteurs −→ i , −→ j et

−→ k relativement à la base (−→u ,−→v ,−→w ).

−→ i

−→ j

−→ k

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

 appelé matrice de passage de la base (

−→ i , −→ j , −→ k ) vers la base (−→u ,−→v ,−→w ). Le passage

des composantes de −→ V dans la base (

−→ i , −→ j , −→ k ) vers ses composantes dans la base

(−→u ,−→v ,−→w ) se fait en effectuant le produit de la matrice ci-dessus par la matrice colonne formée par les composantes (x, y, z) de

−→ V dans la base (

−→ i , −→ j , −→ k ).

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

  x

y

z

 =  a1x+ a2y + a3z

b1x+ b2y + b3z

c1x+ c2y + c3z

 Exemple: Un repère (O,

−→ i , −→ j , −→ k ) étant donné, soit

−→ V = (1, 1, 1),−→u = −

√ 2

2 ( −→ i +

−→ j ),−→v =

√ 2

2 (−−→i +−→j ) et −→w = −→k . En exprimant −→i ,−→j ,−→k dans la base (−→u ,−→v ,−→w ),

12

on obtient −→ i =

√ 2(−→u −−→v),−→j =

√ 2(−→u +−→v) et −→k = −→w . Le calcul matriciel donne

√ 2

√ 2 0

− √ 2 √ 2 0

0 0 1

 

1

1

1

 = 

√ 2 +

√ 2

− √ 2 +

√ 2

1

 = 

2 √ 2

0

1

 Les composantes de

−→ V dans le repère (O,−→u ,−→v ,−→w ) sont donc (2

√ 2, 0, 1).

1.8 Barycentre

Un système de points A1, A2, · · · , An de l’espace E affectés de coéfficients ai est appelé système pondéré et est noté: {(Ai, ai) , i = 1, 2, · · · , n}.

Considérons l’application f : E → V qui a tout pointM associe le vecteur f(M) = n∑ i=1

ai −−→ MAi.

Proposition 2 1. Pour tous points A,B, on a f(A) = f(B) + ( n∑ i=1

ai) −→ AB;

2. si n∑ i=1

ai = 0, alors f est constante,

3. si n∑ i=1

ai 6= 0, alors f est bijective.

Démonstration

1) f(A) = n∑ i=1

ai −−→ AAi =

n∑ i=1

ai( −→ AB +

−−→ BAi) = (

n∑ i=1

ai) −→ AB + f(B).

2) Si n∑ i=1

ai = 0, alors d’après 1), f(A) = f(B) pour tout, A,B et par suite f est une

application constante.

3) Supposons que n∑ i=1

ai 6= 0, et soit −→ V ∈ V et un point O de l’espace. On a

f(M) = −→ V si et seulement si, f(O) + (

n∑ i=1

ai) −−→ MO =

−→ V . En prenant M tel que

−−→ OM = 1n∑

i=1

ai

(f(O)−−→V ), on obtient −→V = f(M). Ce qui montre que f est surjective.

Montrons que f est aussi injective: On a f(M) = f(N) si et seulement si ( n∑ i=1

ai) −−→ NM =

−→ O et puisque

n∑ i=1

ai 6= 0, on obtient M = N .

Corollaire 1 Si n∑ i=1

ai 6= 0, il existe un point unique G tel que f(G) = n∑ i=1

ai −−→ GAi =

−→ O .

Ce point est appelé le barycentre du système pondéré

{(Ai, ai) , i = 1, 2, · · · , n}.

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