Notes sur le concept de la tribologie - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa16 janvier 2014

Notes sur le concept de la tribologie - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

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Notes de physique sur le concept de la tribologie - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le frottement visqueux de stokes horizontal, exemples.
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Ainsi, il est possible de changer sa vitesse de chute limite en fonction de son facteur de forme, et de

sa surface d'exposition apparente et de sa masse (dans le cas d'étude ci-dessus nous négligeons la

force d'Archimède qui s'applique sur la parachutiste et qui freine aussi sa chute).

Exemple:

Considérons une sphère de rayon R, de masse volumique lâchée sans vitesse dans un liquide de

masse volumique , de viscosité . La sphère est soumise à son propre poids, à une force de

frottement visqueux et à la poussée d'Archimède.

Nous avons donc globalement selon la première loi de Newton:

(30.184)

où les deux derniers termes (force visqueuse de Stokes aux faibles vitesses et force d'Archimède) ont

été démontrés dans le chapitre de Mécanique Des Milieux Continus.

En réarrangeant, nous avons:

(30.185)

et encore:

(30.186)

Il nous reste donc:

(30.187)

Nous posons:

(30.188)

qui sera assimilée à une constante de temps. Nous avons alors:

(30.189)

Or lorsque la vitesse de chute deviendra constante, nous aurons:

(30.190)

ce qui donne:

(30.191)

Résolvons ceci dit l'équation différentielle en commençant par celle sans second membre (cf.

chapitre de Calcul Différentiel et Intégral):

(30.192)

Nous avons alors vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que la solution homogène était

alors donnée par:

(30.193)

Nous pouvons ajouter la solution particulière qui est logiquement lorsque t tend vers l'infini:

(30.194)

Nous avons alors:

(30.195)

Il nous reste à déterminer C qui s'obtient lors t tend vers 0 car nous avons alors:

(30.196)

Donc:

(30.197)

Nous avons alors:

(30.198)

FROTTEMENT VISQUEUX DE STOKES HORIZONTAL

C'est une première approximation où l'on s'intéresse par exemple à la distance d'arrêt sans freinage

d'un mobile sans prendre en compte le coefficient de frottement avec le sol mais seulement avec l'air

ambiant (vitesse subsonique toujours...).

Nous avons alors selon la première loi de Newton:

(30.199)

Supposons que nous souhaitions savoir en quel temps T le mobile qui avait une vitesse

initiale aura décéléré à une vitesse donnée .

Nous avons alors:

(30.200)

Donc:

(30.201)

où nous observons déjà un premier problème avec ce modèle c'est que à l'arrêt, la vitesse finale

étant nulle, il faudra un temps infini pour y arriver... mais continuons, nous reviendrons plus loin sur

ce constat.

La loi d'évolution de la vitesse de détermine de façon analogue puisque:

(30.202)

Alors:

(30.203)

Notons la constante de temps:

(30.204)

Alors:

(30.205)

soit:

(30.206)

La distance parcourue à l'instant t en laissant le mobile ralentir que par les forces de frottement

donc:

(30.207)

Le résultat est joli mais on se rend bien compte que c'est pas vraiment juste car à un temps infini, la

voiture aura parcourue une distance infinie ce qui est manifestement irréaliste. Cela provient du

modèle qui est trop simpliste donc améliorons-le.

L'idéal, objectivement parlant, serait de prendre en compte le frottement visqueux pneu/sol plus le

frottement de l'air. Nous aurions alors:

(30.208)

mais le problème avec cette équation différentielle, c'est qu'elle va nous amener à une singularité si

nous continuons les calculs. Elle n'est donc pas exploitable...

Nous essayons alors avec la forme suivante:

(30.209)

qui exprime donc qu'il y a une force de frottement proportionnelle au poids du véhicule ce qui est

simplement la forme suivante de la deuxième loi de Coulomb:

(30.210)

et le deuxième terme étant le frottement visqueux de Stokes dont nous avons sorti le terme de

masse compris dans la densité se trouvant implicitement dans la constante k de .

Nous avons alors en simplifiant les termes de masse:

(30.211)

Donc on voit déjà que dans ce modèle nous allons perdre l'effet de la masse qui a normalement pour

implication de rallonger le trajet d'arrêt (dans la réalité!). Mais continuons quand même...

Nous avons donc à intégrer:

(30.212)

Nous avons démontré dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral que:

(30.213)

Donc en posant:

(30.214)

Soit:

(30.215)

Un peu réarrangé cela donne:

(30.216)

Donc on tombe maintenant déjà sur un temps fini... ce qui est plus rassurant comme résultat.

Cherchons maintenant la distance d'arrêt. Nous avons en utilisant le fait que:

(30.217)

la possibilité d'écrire:

(30.218)

Soit:

(30.219)

Ce qui nous amène à:

(30.220)

Ce qui donne déjà:

(30.221)

Nous avons donc:

(30.222)

Soit:

(30.223)

Nous avons donc notre résultat final. Meilleur que le précédent mais indépendant de la masse... mais

en attendant c'est mieux que rien...

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