Notes sur le cours d'informatique quantique - 2° partie, Notes de Application informatique
Francine88
Francine8813 janvier 2014

Notes sur le cours d'informatique quantique - 2° partie, Notes de Application informatique

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Notes d'informatique sur le cours d'informatique quantique - 2° partie.Les principaux thèmes abordés sont les suivants:Remarque,La projection du vecteur d'état,la relation de fermeture,la sphère de bloch.
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Remarque: Bien sûr, une autre manière de voir que les deux vecteurs plus hauts sont

orthogonaux est d'effectuer un produit scalaire et de constater que celui-ci est nul.

Nous constatons une différence de principe entre la mesure en physique classique et la mesure

en physique quantique. En physique classique, la quantité physique à mesurer préexiste à la

mesure : si un radar mesure la vitesse de votre voiture à 180 Km/h sur l'autoroute, cette vitesse

préexistait à sa mesure par le gendarme. Au contraire, dans la mesure de polarisation d'un

photon par un analyseur orienté suivant Ox, le fait que le test donne une polarisation

suivant Ox ne permet pas de conclure que le photon testé avait au préalable sa polarisation

suivant Ox.

Donc nous avons un dispositif préparant le système quantique dans l'état et d'un second

capable de le "préparer" dans l'état que nous utiliserons comme analyseur. Après le test, le

système quantique sera donc dans l'état , ce qui veut dire du point de vue mathématique

que nous réalisons une projection orthogonale sur .

Soit ce projecteur, alors la projection orthogonale vectorielle (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel) est donnée par :

(21)

ce qui consiste (pour rappel) en un simple produit scalaire (projection orthogonale scalaire)

multiplié par le vecteur . Ce que nous pouvons écrire de manière très commode (convention

d'écriture) :

(22)

et donc :

(23)

La projection du vecteur d'état est appelée, comme nous l'avons déjà vu (cf. chapitre de

Physique Quantique Ondulatoire), dans l'interprétation de Copenhague de la physique

quantique "réduction du vecteur d'état", ou, pour des raisons historiques, "réduction du paquet

d'ondes". Cette réduction du vecteur d'état est une fiction commode de l'interprétation de

Copenhague, qui évite d'avoir à se poser des question sur le processus de mesure...

Le lecteur habitué à l'algèbre linéaire (voir chapitre du même nom) remarquera trivialement que

nous pouvons manipuler la convention de notation du projecteur comme une matrice

(application linéaire) telle que dans deux cas particuliers simples (ceux qui nous intéressent!):

(24)

Effectivement:

(25)

et idem pour l'autre composante.

Comme:

(26)

Nous avons alors:

(27)

Nous remarquerons que l'opérateur identité peut être écrit comme la somme des deux

projecteurs :

(28)

relation dite "relation de fermeture", qui se généralise à une base orthonormée d'un espace de

Hilbert de dimension N :

(29)

Par ailleurs, les projecteurs commutent (vérification triviale) :

(30)

Ainsi, les tests sont compatibles (quelque soit le sens de la mesure le résultat en est

indépendant). En revanche, les projecteurs :

(31)

qui satisfont (vérification triviale) à:

(32)

ainsi qu'à (vérification triviale) :

(33)

ne commutent pas avec :

(34)

et donc les tests sont incompatibles.

Pour des développements ultérieurs, il sera utile de remarquer que la connaissance des

probabilités de réussite d'un test T permet de définir une valeur moyenne (espérance) :

(35)

En analogie avec le contexte, nous pouvons lire cela ainsi : l'espérance du test est égale à la

valeur représentative du photon orienté selon Ox (correspondant à la valeur 1 arbitrairement)

multipliée par la probabilité de passer l'analyseur orienté aussi selon Ox (donc test concluant à

100%) sommée à la valeur représentative du photon orienté selon Oy (correspondant à la valeur

0 arbitrairement) multiplié par la probabilité de passage l'analyseur toujours orienté

selon Ox (donc 0% des photons Oy passeront le test Ox).

Par exemple, si le test T est représenté par la procédure et que nous l'appliquons à un

état (contenant comme nous l'avons vu plus haut les valeurs représentatives du photon

polarisé en linéaire ou autre...) alors le test correspond à un produit scalaire:

(36)

et comme nous l'avons vu dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire, nous savons

qu'au fait :

(37)

est la valeur moyenne d'un opérateur M dans l'état . Ainsi, au test T auquel est associé une

procédure , nous pouvons associer le projecteur dont la valeur moyenne dans

l'état donne la probabilité de réussite du test.

La généralisation de cette observation permet de construire des propriétés physiques d'un

système quantique. Donnons un exemple en revenant au cas de la polarisation. Supposons que

nous construisions (de manière tout à fait arbitraire) une propriété d'un photon de la façon

suivante :

vaut +1 si le photon est polarisé suivant Ox

vaut -1 si le photon est polarisé selon Oy.

Nous pouvons associer à la propriété physique l'opérateur hermitique :

(38)

qui vérifie bien (trivial) la relation entre opérateur, valeur propre et vecteur:

(39)

La valeur moyenne (espérance) de M étant alors (par définition) :

(40)

Supposons le photon dans l'état de polarisation linéaire , alors la valeur moyenne dans

l'état est (trivial) :

(41)

Avant de voir comment nous pouvons construire un tel opérateur M avec une autre objet que le

photon et ce avec les mêmes propriétés introduisons un outil mathématique généralisant les

conditions et la configuration d'une onde polarisée quelconque:

SPHÈRE DE BLOCH

La sphère de Bloch est comme nous allons le voir une représentation géométrique des états des

qubits comme points de la surface d'une sphère.

Un certain nombre d'opérations élémentaire faites en informatique quantique peuvent sous le

choix d'un projecteur adéquat être réalisées avec cette sphère.

Nous allons montrer qu'un état d'un qubit arbitraire peut être écrit:

(42)

où et , définissent un point sur la sphère tridimensionnelle de

Bloch.

Les qubits représentés par des valeurs arbitraires de (invariance de jauge globale selon U(1))

sont tous représentés par le même point sur la sphère de Bloch parce que nous allons montrer

que le facteur n'a pas d'effet observable et que nous pourrons alors écrire sans perdre en

généralité:

(43)

ce qui est représenté comme nous le justifieront plus loin par la figure ci-dessous:

(44)

La sphère de Bloch est une généralisation de la représentation d'un nombre

complexe z avec comme un point du cercle dans le plan (de Gauss) comme nous l'avons

vu lors de notre étude des nombres complexes dans le chapitre traitant des Nombres.

Nous avions vu également dans ce même chapitre qu'un nombre complexe pouvait être

représenté par une exponentielle complexe telle que:

(45)

et si le cercle était unitaire:

(46)

Notons que la contrainte élimine un degré de liberté.

Nous allons maintenant noter la décomposition d'un état de polarisation sous la forme:

(47)

et celle-ci sous une forme plus traditionnelle en informatique quantique (logique vue les

bases...):

(48)

où (eh oui! on est plus dans le cas simple d'une onde polarisée linéairement

maintenant...!) sans oublier la condition de normalisation:

(49)

Nous pouvons donc écrire le qubit sous la forme:

(50)

Remarque: Attention il est très important d'avoir lu la partie traitant de la polarisation de la

lumière dans le chapitre d'Optique Ondulatoire pour comprendre que cela ne tombe pas du ciel!

A la différence, que nous ne travaillons pas ici avec des phaseurs car la solution de l'équation

d'évolution de Schrödinger comporte des exponentielles complexes comme nous l'avons vu dans

le cadre de la résolution de celle-ci pour un mode propre d'une particule libre.

Ajouter un facteur de phase globale ne devrait avoir aucune influence sur les

coefficients car:

(51)

et similairement pour . Ainsi, nous sommes libres de multiplier notre qubit polarisé et

normalisé:

(52)

par la phase globale ce qui donne:

(53)

En plus, nous avons toujours la condition de normalisation à respecter (imposer).

En revenant aux coordonnées cartésiennes nous avons:

(54)

et la contrainte de normalisation donne alors:

(55)

Ce qui est l'équation d'une sphère unitaire dans l'espace avec les coordonnées

cartésiennes . D'où l'origine quantique de la sphère de Bloch!

Nous savons (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) que les coordonnées cartésiennes sont reliées aux

coordonnées sphériques par les relations:

(56)

donc en renommant et en se rappelant que , nous pouvons écrire:

(57)

Nous avons maintenant plus que deux paramètres utiles à connaître pour définir notre point

sur la sphère unité (et ce toujours à l'arbitraire de phase près).

Le lecteur remarquera que contrairement au qubit polarisé linéairement, le cas général ci-

dessus rajoute un terme complexe et qu'inversement en enlevant ce terme supplémentaire,

nous retombons sur la relation de l'onde polarisée linéairement vue en début de chapitre.

Mais nous n'en avons pas encore terminé!

Revenons donc à (nous enlevons l'apostrophe pour l'état de polarisation):

(58)

et remarquons que :

(59)

et:

(60)

en oubliant pas que et que dans ce cas le facteur exponentiel devant est un

changement de phase global sans influence.

Tout cela suggère que est suffisant pour décrire n'importe quel état de polarisation

et donc tous les points de la sphère de Bloch.

Par ailleurs, nous pouvons voir que dans le système le point de

coordonnées est le point opposé à celui de coordonnées :

(61)

Nous avons par ailleurs (c'est immédiat):

(62)

et donc des points opposés sur la sphère de Bloch correspondent à des qubits (états de

polarisation) orthogonaux!

Ainsi, nous pouvons considérer que l'hémisphère supérieure de la sphère de Bloch puisque les

points opposés différent que d'un facteur de phase -1 et sont donc équivalents dans la

représentation de la sphère de Bloch.

Ainsi, la relation:

(63)

est suffisant pour décrire toute la sphère de Bloch dans un espace complexe de dimension 2.

Par construction, chaque point donné par la relation précédente de dimension 2 contient une

double représentation d'une rotation dans l'espace réel de dimension 3.

Nous avons vu par ailleurs dans le chapitre de calcul spinoriel qu'une rotation pouvait s'écrire

sous la forme:

(64)

avec pour rappel les matrices de Pauli:

(65)

Soit avec l'écriture habituelle (traditionelle) du domaine de l'informatique quantique:

(66)

Soit après simplification de la dernière matrice:

(67)

Maintenant considérons la rotation de notre vecteur d'état de polarisation (dû à un projecteur):

(68)

Pour obtenir un coefficient de réel (afin d'avoir un observable dans la projection d'un axe),

nous multiplions par un facteur de phase donnant:

(69)

donc pour obtenir une rotation atour de l'axe z il suffit de changer .

Donc si nous revenons sur:

(70)

il peut être montré de la même manière que dans un cadre général un opérateur qubit unitaire

peut être écrit sous la forme observable:

(71)

Il faut choisir ensuite les angles et l'axe de rotation pour définir complètement l'opérateur.

QUBIT DE polarisation

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