Notes sur le cours sur les fractales - 2° partie, Notes de Application informatique
Francine88
Francine8813 janvier 2014

Notes sur le cours sur les fractales - 2° partie, Notes de Application informatique

PDF (148 KB)
8 pages
103Numéro de visites
Description
Notes d’informatique sur le cours sur les fractales - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, Démonstration, Exemple, l'espace métrique des fractales.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 8
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 8 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 8 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 8 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 8 pages
Télécharger le document

Définition (formelle): Soit . Nous disons que est un "point adhérant" à X si pour

toute bouleB(x,r) de rayon r centrée en x nous avons :

(21)

L'ensemble des points adhérents à X est "l'adhérence" de X et est noté . Nous avons

évidemment (il suffit de se le conceptualiser de manière abstraite pour toutes les boules

possibles) et nous admettrons comme évident que .

Exemple:

Prenons l'intervalle ]0,1] avec la boule B(0,1). L'intersection entre la boule et l'intervalle est non

nulle, nous pouvons alors dire que 0 est adhérent ! Mais maintenant prenons une suite 1/n par

exemple, dans l'intervalle ]0,1]. Cette suite tend vers zéro mais pourtant 0 n'appartient pas

l'intervalle. Nous pouvons faire dès lors la proposition suivante

Montrons maintenant que est adhérent à X si et seulement si il existe une

suite dans X qui converge vers x (attention, l'exemple précédent nous montre que x n'est

pas nécessairement dans X).

Démonstration:

Si est adhérent à X alors considérons la suite des boules

concentriques avec tel que :

(22)

et alors il existe toujours des éléments une qui satisfont :

(23)

avec lesquels nous pouvons créer une suite par l'infinité des suites existantes.

Définition: Nous disons que est un "espace fermé" si .

Des propositions précédentes découle le fait que dans tout fermé F, une suite qui

converge a sa limite dans F.

Nous considérerons comme trivial que si une famille de fermés indexée sur un

ensemble I quelconque. Alors est fermé.

Définition: est un "espace compact" si X est fermé et borné.

Le théorème suivant donne une caractérisation des compacts à partir des suites: est

compact si et seulement si toute suite de X possède une sous-suite qui converge dans X.

Démonstration:

Si X est compact et est une suite de X alors par le théorème de Bolzano-

Weierstrass, possède une sous-suite convergente de limite . Mais puisque X est

fermé, nous avons . Réciproquement, supposons que toute suite de X possède une

sous-suite qui converge dans X. Alors X est fermé car si il existe une

suite de X qui tend vers x. Par hypothèse, possède une sous-suite qui converge

vers . étant convergente toute les sous-suites convergent vers la même valeur,

donc (c'est pas beau ça ?!!). Ainsi c'est-à-dire X est fermé. Montrons

que X est borné. Supposons le contraire. Il existe donc une suite de X telle que .

Mais dans ce cas, aucune sous-suite de est convergente, ce qui est une contradiction.

Donc X est borné. En conclusion, X est compact.

Une propriétés des compacts est que si nous considérons une suite décroissante de

compacts non-vides. C'est-à-dire . Alors est un compact non-vide. Nous nous

passerons de la démonstration qui est triviale de par la définition du concept d'ensemble

d'adhérence qui oblige qu'un compact soit par construction non vide... !

Exemple:

Nous obtenons l'ensemble C de Cantor de la manière suivante. Nous commençons par

considérer l'intervalle fermé borné de . Nous partageons en trois parties égales

et nous enlevons l'intervalle du milieu. Nous obtenons ainsi l'ensemble :

(24)

Nous recommencons avec les deux intervalles pour obtenir :

(25)

réunion disjointe de quatre intervalles. Et de suite nous obtenons une suite décroissante de

compacts. Nous définissons :

(26)

Grâce à la proposition précédente, nous savons que C est non vide et qu'il est compact ce qui

montre que les compacts ne sont pas tous "triviaux" comme des intervalles. L'ensemble de

Cantor est un exemple de fractale (de compact) :

(27)

Regardons pour finir comment se comportent les compacts vis-à-vis des applications continues

(nous en avons besoin pour montrer comment déterminer la distance d'un point à un ensemble

ce qui nous sera indispensable après pour déterminer les propriétés de la distance de

Hausdorff).

Nous rappelons (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) qu'une

application où est quelconque, est continue en un point si :

(28)

Ce qui traduit le fait que pour y assez proche de x, f(y) est arbitrairement proche de f(x). Nous

disons aussi que fest continue sur X si elle est continue en tout point de X.

Proposition : Soit une application continue en et une suite de X avec

:

(29)

Alors la suite converge et (cette proposition est très importante!) :

(30)

Démonstration:

Soit . f est continue en x, donc il existe tel que :

(31)

tend vers x donc il existe tel que :

(32)

Par suite pour , nous avons :

(33)

C.Q.F.D.

Si nous considérons maintenant un compact et une application

continue. f(X) est compact. En particulier sup( f ) et inf( f ) sont atteints.

Démonstration:

f(X) est fermé. En effet, soit une suite qui tend vers (nous prenons l'adhérence

au fait pour espérer montrer qu'il est égal à l'ensemble lui-même) alors X étant

compact, possède une sous-suite convergente.

Posons :

(34)

f est continue, donc :

(35)

Mais comme :

(36)

nous avons . Ceci prouve que :

(37)

et donc que f(X) est fermé. Il reste à montrer que f(X) est borné. Supposons le contraire. Il existe

donc une suite telle que :

(38)

pour tout n entier naturel (puisque justement elle est supposée non bornée). Soit une

sous-suite convergente de avec :

(39)

Alors :

(40)

et par suite :

(41)

mais ceci est en contradiction avec :

(42)

Donc f(X) est borné. Donc f(X) étant fermé et borné il est compact.

C.Q.F.D.

Appliquons maintenant cela (car c'est ce qui nous intéresse dans le cadre des espaces fractals)

au calcul de la distance d'un point à un ensemble : Soit .

L'application définie par f(y)=d(x, y) est continue.

Démonstration:

Pour tout , l'inégalité triangulaire nous donne :

(43)

En changeant les rôles de y,z nous obtenons :

(44)

et donc :

(45)

Ainsi pour donné implique :

(46)

c'est-à-dire :

(47)

et f est continue en y.

C.Q.F.D.

Définition: Pour et nous définissons la distance de x à A comme étant la

valeur :

(48)

Si alors (trivial). La réciproque n'est pas vraie. En effet dans le

cas nous avons bien mais . Nous avons donc la proposition

(importante!) :

(49)

Démonstration:

entraîne l'existence d'une suite d'éléments de A telle que :

(50)

ce qui veut dire :

(51)

donc (voir développements plus hauts).

Réciproquement, si alors pour tout il existe tel que .

Mais . Ainsi pour tout , . C'est-à-dire :

(52)

C.Q.F.D.

En général la distance de x à A n'est pas atteinte. C'est-à-dire qu'il n'existe pas de tel

que il suffit pour cela de considérer l'exemple nous

avons mais pour tout , . Si A est compact, la situation est bien

évidemment différente selon la proposition (la plus important pour la distance de Hausdorff)

suivante :

Si est compact, il existe tel que . Ainsi :

(53)

Démonstration:

L'application définie par est continue comme déjà montré. Par

conséquent f(A) est compact (cf. une proposition précédente). Ainsi, f atteint ses bornes, c'est-

à-dire, il existe tel quef(a)=inf( f(A) ). Donc :

(54)

C.Q.F.D.

Remarque: La proposition précédente ne dit pas que a est unique, d'ailleurs en général, il en

existe plusieurs.

ESPACE MÉTRIQUE DES FRACTALES

Les fractales sont souvent perçus par les gens comme de jolis dessins sur une feuille, mais

lorsque nous voulons regarder en détail la géométrie fractale, nous avons besoin d'un espace

particulier où l'étudier, un peu comme le biologiste qui met des petits vers sur une plaquette

pour les observer en détail au microscope. Nous allons faire de même pour nos fractales en les

plaçant dans un endroit qu'ils apprécient.

Cet endroit a de fortes chances d'être un sous-espace de ou , puisqu'en fin de compte il

s'agira de produire des dessins, et pour illustrer nos propos nous nous placerons souvent dans

le cas (avec le métrique euclidienne) et sauf mention du contraire, nous considérerons

toujours le cas où est un espace métrique complet.

Rassemblons différentes éléments afin de pouvoir construire cet espace :

Définition: Nous définissons comme l'espace dont les points sont les sous-ensembles

compacts de X, autres que l'ensemble. Désormais nous appellerons "fractale" n'importe quel

élément de .

Exemple:

Il est immédiat que si , alors , mais n'est pas forcément

dans . Il suffit de voir l'exemple avec les deux ensembles compacts (fermés, bornés donc)

ci-dessous de . Ce sont donc deux points de . Leur réunion est encore un ensemble

compact, et donc :

(55)

Par contre, si les ensembles sont disjoints (comme ici), et par conséquent n'est pas

un point de (voir la théorie précédente).

Source: IFS et L-Système, V. Rezzonico, C. Hebeisen (56)

Définition: Soit et , nous définissons la distance d'un point x à l'ensemble B,

et nous la notons d(x,B) comme étant :

(57)

Remarques:

R1. Cette définition est tout à fait générale et s'applique à n'importe quel sous-ensemble non vide

de X, en remplaçant min par inf. Mais dans le cas particulier, nous somme intéressés à prendre

précisément comme sous-espace.

R2. Cette distance est bien définie (elle existe) du fait que B est non-vide et compact.

R3. Il est trivial de voir que si cette distance est nulle, alors .

Exemple:

Illustration dans le cas où

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 8 pages
Télécharger le document