Notes sur le laplaciens d'un champ scalaire - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur le laplaciens d'un champ scalaire - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le laplaciens d'un champ scalaire - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le laplacien d'un champ scalaire, les fonctions harmoniques, les coordonnées polaires, le laplacie...
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LAPLACIENS D'UN CHAMP SCALAIRE

Le laplacien d'un champ scalaire est le champ scalaire qui mesure la différence entre la

valeur de la fonction en un point et sa moyenne autour de ce point. En d'autres termes, la dérivée

partielle deuxième mesure les variations de la pente au point étudiée dans un entourage immédiat

et selon une dimension à la fois. Si la dérivée partielle deuxième est nulle selon x, alors la pente

est constante dans un entourage immédiat et selon cette dimension, cela implique que la valeur de

la fonction au point étudié est la moyenne de son entourage (selon une dimension)

Cet opérateur s'obtient à partir de la divergence du gradient et nous la notons (écriture

tensorielle):

(12.282)

Le laplacien est nul, ou assez petit, lorsque la fonction varie sans à-coup. Les fonctions vérifiant

l'équation de Laplace sont appelées "fonctions harmoniques".

Donc l'opérateur "laplacien en coordonnées cartésiennes" est :

(12.283)

Le laplacien d'un champ scalaire et dans d'autres systèmes de coordonnées est un peu plus long à

développer. Il existe plusieurs méthodes et parmi celles existantes j'ai choisi celles dont le type de

raisonnement et les outils utilisés semblaient pertinents. Il est intéressant d'aborder différentes

stratégies mais bien sûr il existe des méthodes plus simples que celle présentée ci-dessous.

Soit le laplacien en coordonnées cartésiennes dans d'un champ scalaire f :

(12.284)

Pour déterminer cette expression en coordonnées polaires, nous allons utiliser la différentielle

totale et la règle de chaîne en coordonnées polaires:

(12.285)

donc pour une dérivée seconde:

(12.286)

or, nous avons pour les coordonnées polaires:

et (12.287)

d'où:

et

et

(12.288)

d'où:

(12.289)

et compte tenu que les dérivées partielles secondes sont continues, alors les dérivées croisées

sont égales selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(12.290)

Donc:

(12.291)

De façon similaire, nous aurons :

(12.292)

d'où l'expression du laplacien en coordonnées polaires en sommant les deux dernières

expressions :

(12.293)

Donc l'opérateur "laplacien en coordonnées polaires" est finalement donné par :

(12.294)

Pour trouver l'expression du laplacien en coordonnées sphériques, nous allons utiliser l'intuition

du physicien et les notions de similitude.

Nous allons tout d'abord nous aider de la figure ci-dessus pour savoir de quoi l'on parle:

(12.295)

Rappelons que les relations entre coordonnées cartésiennes et sphériques sont données par les

relations:

(12.296)

Nous allons considérer maintenant les similitudes suivantes:

Coordonnées cylindriques: et

Coordonnées sphériques: et

Construisons un tableau de correspondance:

(12.297)

L'objectif est de jouer avec cette correspondance avec d'abord le laplacien en coordonnées

cylindriques où l'on a soustrait des deux côtés de l'égalité le terme . Ainsi:

(12.298)

utilisons le tableau de correspondance et nous obtenons :

(12.299)

Le deuxième terme de l'égalité de cette dernière relation est l'équivalent sphérique du terme #1 du

laplacien en coordonnées cylindriques:

(12.300)

Maintenant examinons le terme :

Identiquement lorsque nous avons déterminé la relation:

(12.301)

nous obtenons:

(12.302)

avec:

et (12.303)

ce qui nous permet d'écrire:

(12.304)

si nous jouons encore avec le tableau de correspondance, nous avons:

(12.305)

nous divisons cette relation des deux côtés par et ainsi nous obtenons:

(12.306)

Nous avons donc ci-dessus l'équivalent sphérique du terme #2 du laplacien en coordonnées

cylindriques:

(12.307)

Le troisième et dernier terme est très simple à déterminer. Nous remplaçons par afin

d'obtenir:

(12.308)

En rassemblant tous les termes obtenus précédemment, nous obtenons enfin la forme étendue du

laplacien en coordonnées sphériques si utilisé en physique:

(12.309)

Nous pouvons raccourcir cette expression et factorisant les termes:

(12.310)

Si nous condensons encore un peu, nous obtenons l'expression finale de l'opérateur "laplacien en

coordonnées sphériques" appelé aussi "laplacien sphérique":

(12.311)

LAPLACIENS D'UN CHAMP VECTORIEL

Le laplacien d'un champ vectoriel est le champ vectoriel défini par (notation tensorielle):

(12.312)

dont les composantes sont les laplacien des composantes.

Ainsi, en coordonnées cartésiennes:

(12.313)

Le laplacien d'un champ de vecteurs, appelé fréquemment "laplacien vectoriel", en d'autres

systèmes de coordonnées est assez simple à obtenir à partir de la connaissance du laplacien d'un

champ scalaire dans ces mêmes coordonnées. Ainsi, en coordonnées polaires, nous avons pour le

laplacien d'un champ vectoriel la relation suivante:

(12.314)

et en coordonnées cylindriques:

(12.315)

et finalement en coordonnées sphériques :

(12.316)

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