Notes sur le magnétostatique - 2° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur le magnétostatique - 2° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur le magnétostatique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la bobine toroïdale, la Relation de Maxwell-Ampère.
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Un solénoïde est une bobine formée par un fil conducteur enroulé en hélice et parcouru par un

courant d'intensitéI. Dans ce qui suit, nous supposons que le champ d'induction d'un

solénoïde est nul entre les spires et parallèle à l'axe du solénoïde.

Considérons le schéma suivant et intéressons nous en approximation qu'à la partie interne du

solénoïde en admettant que le champ extérieur est nul par la longueur infinie de celui-ci et la

parfaite jointure des bobines... :

(36.20)

Appliquons la loi d'ampère au trajet rectangulaire abcd. Ainsi :

(36.21)

La première intégrale du membre de droite donne où B est la grandeur de à l'intérieur

du solénoïde eth, la longueur du segment ab. Nous pouvons remarquer que le segment ab,

même s'il est parallèle à l'axe du solénoïde, ne doit pas nécessairement coïncider avec lui.

La deuxième et la quatrième intégrale sont nulles car, pour ces deux segments. et sont

partout perpendiculaires : étant donné que est nul partout, les deux intégrales sont

nulles. La troisième intégrale est également nulle puisque le segment calculé se trouve à

l'extérieur du solénoïde où nous avons supposé que le champ magnétique de la bobine était

idéal.

Ainsi, l'intégrale pour tout le trajet rectangulaire est tel que :

(36.22)

mais le courant I est la somme des courants passant dans chacune des N contenues dans le

chemin d'intégration. Mais en électronique nous avons l'habitude de travailler avec la

valeur n (nous choisissons la lettre minuscule par analogie avec la thermodynamique ou les

minuscules représentent des densités) qui est le nombre de spire par unité de longueur :

(36.23)

Ainsi, nous avons :

(36.24)

Bien que cette relation ait été établie pour un solénoïde idéal infini, elle donne une grandeur

assez précise (sans être exacte!) du champ d'induction magnétique pour les points d'intérieur

situés près du centre d'un solénoïde réel. Cette relation révèle par ailleurs que le champ

magnétique est en approximation indépendant du diamètre du solénoïde et qu'il est uniforme à

travers la section de celui-ci. En laboratoire, un solénoïde est un dispositif pratique pour

produire un champ d'induction uniforme de la même façon que le condensateur plan est utilisé

pour produire un champ électrique uniforme.

BOBINE TOROÏDALE

La bobine toroïdale est un autre exemple important de l'application de la loi d'Ampère.

Effectivement, nous retrouvons particulièrement ce type de configuration dans l'électronique de

petite puissance (ordinateurs par exemple) ou les inductances sont pour la plupart toroïdales

ou la production d'énergie avec les fameux Tokomak qui de façon schématisée (très...) se

réduisent à des bobines toroïdales.

(36.25)

Pour des raisons de symétrie il est clair que les lignes d'induction magnétique forment des

cercles concentriques à l'intérieur de la bobine. Appliquons la loi d'Ampère au trajet

d'intégration circulaire de rayon r :

(36.26)

C'est-à-dire :

(36.27)

Il s'ensuit que :

(36.28)

Ainsi, contrairement à B l'intérieur d'un solénoïde, B n'est pas constant à l'intérieur de la bobine

toroïdale.

Relation de Maxwell-Ampère Soit la densité de courant en un point quelconque de l'espace dans le cas d'une distribution

à trois dimensions et soit S une surface fermée qui s'appuie sur un contour quelconque. Le

courant I qui traverse est bien évidemment donné par :

(36.29)

D'après la loi d'Ampère, la circulation du champ magnétique le long de est égale à cette

intégrale. Elle peut donc prendre ici, selon le choix du contour , une infinité de valeurs

variables de façon continue. D'autre part, le théorème de Stokes (cf. chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral) fournit que :

(36.30)

d'où :

(36.31)

et nous en ressortons finalement que :

(36.32)

Nous pouvons faire une similitude osée de ce résultat avec la relation ci-dessous (démontrée

dans le chapitre d'Électrodynamique), par extension de la charge statique et de la charge

dynamique :

(36.33)

qui n'est d'autre que la première équation de Maxwell (cf. chapitre d'Electrodynamique). Dès

lors, comme nous avons vu en électrostatique, nous avons :

(36.34)

Par analogie, l'idée est de poser (cette hypothèse se vérifie un peu plus bas par les résultats

remarquables obtenus) :

(36.35)

relation que nous pouvons écrire de manière plus élégante en supposant le courant non

dépendant de la position de l'observateur dans l'espace et colinéaire au vecteur perpendiculaire

de la surface traversée :

(36.36)

où représente le périmètre du fil dans lequel le courant I circule.

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