Notes sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 2° partie, Notes de Gestion des affaires. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 janvier 2014

Notes sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 2° partie, Notes de Gestion des affaires. Université d'Auvergne (Clermont-Ferrand I)

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Notes de gestion sur le modèle d'évaluation des options de BLACK & SCHOLES - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le tableau, processus dITO, démonstrations des relations.
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plusieurs types de graphiques dans le même diagramme sur quelque chose du genre

(portefeuille de 500 MF avec rendement de 5% et écart-type de 20%):

(287)

Avec le tableau suivant:

(288)

Utilisant donc les relations démontrées plus haut:

(289)

Évidemment dans la pratique il est possible de faire ce type de graphique avec n'importe quelle

donnée comportant un drift linéaire et dont l'écart-type est connu.

PROCESSUS D'ITô

Considérons maintenant un processus brownien correspondant à une variation de x en temps

continu définie par :

(290)

a et b étant alors des fonctions des 2 variables x et t. Cette considération est ce que nous

appelons un "processus d'Itô". Il s'agit donc d'une généralisation du cas précédent où a et b ne

sont plus constants.

Il est possible de calculer l'espérance et la variance de dx exactement de la même façon à celle

que pour le processus de Wiener et nous obtenons très facilement par analogie :

(291)

Par conséquent nous pouvons écrire :

(292)

où a(x,t) correspondant au drift instantané et b(x,t) à la variance instantanée.

Le "mouvement brownien géométrique" qui permet de définir théoriquement la meilleure

prédiction d'évolution du rendement d'une option est un cas particulier de processus d'Itô

(parmi tant d'autres modèles...) où nous supposons que :

et (293)

Dès lors nous pouvons écrire l'expression du mouvement brownien géométrique de la valeur de

l'option notée :

(294)

Souvent représentée dans la littérature aussi sous la forme suivante:

(295)

ou encore plus explicitement:

(296)

L'interprétation financière de la relation antéprécédente devient apparente lorsque nous

divisons les deux membres par x:

ce qui correspond aux taux de rentabilité de l'option (ou tout autre actif de la même famille) sur

une période infinitésimale dt.

Le mouvement brownien géométrique est donc à priori un bon candidat pour modéliser

l'évolution du prix d'un actif financier à partir de son taux de rentabilité.

Dans la littérature spécialisée, le return (rendement) est aussi parfois noté (notation justifiée)

sous la forme de l'équation différentielle stochastique (E.D.S.) suivante :

(297)

où est bien évidemment le prix de l'option (sous-jacent) appelé "stock price" au

temps t, est appelé la "dérive" (assimilé souvent au rendement) et la "volatilité" (la

volatilité du rendement). C'est la notation et le vocabulaire que nous adopterons pour la suite.

A noter que puisque nous avons:

(298)

Nous pouvons donc aussi écrire:

(299)

Au cas où (processus de Wiener, autrement dit le prix de l'action est parfaitement connu

à un temps donné et sans risques), nous nous retrouvons avec une équation différentielle

(connue dans le domaine) que nous pouvons de suite résoudre :

(300)

Il s'agit donc d'une exponentielle (comme l'intérêt continu que nous avons vu au début de

chapitre). Cette relation n'étant valable que si l'intervalle de temps est donc très petit.

Nous allons voir maintenant à l'aide du "lemme d'Ito", qu'il est possible (ce qui n'est pas une

possibilité unique!) d'établir qu'un tel processus peut définir une loi log-normale (cf. chapitre

de Statistiques).

Le lemme d'Ito est établi à partir du développement de Taylor à 2 variables x et t donnée par

(cf. chapitre de Suites et Séries) :

(301)

avec à l'origine du mouvement brownien.

En considérant , et en prenant les termes que jusqu'au deuxième ordre (approximation

formelle périlleuse mais numériquement non obligatoire à l'aide de la puissance de calcul des

ordinateurs), nous avons :

(302)

Revenons maintenant à :

(303)

Elevons au carré, nous obtenons :

(304)

Or :

(305)

et comme nous l'avons démontré en probabilités et statistique:

(306)

Nous avons alors :

(307)

Donc :

(308)

Par ailleurs :

(309)

qui tendent tout deux vers 0 quand tend vers 0.

Par conséquent :

(310)

En considérant une subdivision du temps en intervalles dt extrêmement petits qui

implique , donc en se plaçant en temps continu (donc un modèle continu),

l'application du développement de Taylor peut alors s'écrire:

(311)

il s'agit du lemme d'Ito également appelé "théorème d'Itô-Doeblin".

Remarque: Comparer la forme de la dernière égalité à la relation

Si nous prenons:

(312)

Dès lors :

(313)

Dans ce cas :

(314)

En revenant à l'hypothèse de mouvement brownien géométrique, nous savons que nous devons

considérer que :

et (315)

Nous avons donc :

(316)

et nous obtenons finalement l'équation différentielle stochastique à coefficient constants :

(317)

Soit en reprenant la notation du début sous forme explicite:

(318)

ou sous une autre forme encore plus explicite:

(319)

Nous voyons déjà que contrairement au modèle de Bachelier, avec ce mouvement brownien

géométrique, le rendement espéré peut être négatif ce qui est déjà plus réaliste!

Remarques:

R1. Se rappeler que nous sommes partis de la relation

R2. Les mouvements browniens ont été successivement dégagés de l'hypothèse de Normalité

dans les années 1960), puis de l'hypothèse de stabilité dans les années 1980. Avec ces deux

hypothèses les mathématiciens les rangents dans la catégorie particulière et réductire des

"processus de Lévy 2-stables".

dF définit alors un mouvement brownien géométrique avec drift particulier dont nous pouvons

maintenant mesurer les paramètres (c'est ce que nous voulions obtenir). Par conséquent, les

résultats que nous avions obtenu pour le mouvement brownien peuvent êtres récupérés et nous

permettent d'écrire au final:

(320)

ce qui revient dire que dF suit une loi log-normale (cf. chapitre de Statistiques) de paramètres:

et (321)

Allons maintenant un peu plus loin en intégrant l'élément différentiel. Nous avons donc:

(322)

Intégrons cette dernière relation:

(323)

La première primitive est simple:

(324)

La deuxième primitive est simple (pas de constante d'intégration cas au temps zéro l'espérance

de gain est nulle):

(325)

La troisième primitive vaut (pas de constante d'intégration car au temps zéro la valeur du gain

est parfaitement connue comme valant 0):

(326)

Nous avons donc:

(327)

Et au final:

(328)

Pour trouver la signification du premier facteur il suffit de poser la condition initiale:

(329)

Nous avons alors immédiatement pour l'expression finale du brownien géométrique:

(330)

obtenue par P. Samuelson en 1965 et qui est parfois appelée "modèle de Bachelier-Samuelson".

Nous avons au final une formulation (sous forme de fonction de distribution probabiliste) d'une

variation temporelle et du return intrinsèque d'une action qui peut être utilisé à des fins

décisionnelles d'investissements sur une prévision. Mais ce modèle est quand même trop lisse

en n'arrive pas à modéliser les krachs boursiers (il est est de même pour rappel avec le

mouvement brownien standard) pouvant arriver sur le long terme. Raison pour laquelle certains

modèles plus récents que nous n'étudierons pas ici ajoutent un processus de Poisson (discret et

à évenement rares par construction) à celui de Wiener.

Il existe d'autres modèles que le log-normale mais celle-ci de par sa facilité est la plus

répandue. Il faut cependant encourager d'autres méthodes plus généraliste!

Pour terminer cette partie résumons donc par une comparaison le mouvement brownien

standard et le mouvement brownien géométrique qui régissent donc la dynamique des cours

lorsque les paramètres (rendement et volatilité instantanée) sont données en %:

(331)

et rappelons que l'avantage du mouvement brownien géométrique est qu'il élimine (grâce à

l'exponentielle) les valeurs négatives du cours que nous pouvions obtenir avec le mouvement

brownien standard de Bachelier.

Il est alors intéressant pour le financier de créer un graphique qui représente l'espérance en

fonction de T et la valeur x(T) correspondante à une probabilité cumulée de 2.5% et de 97.5%

sur un graphique pour avoir une idée de l'évolution de l'intervalle de confiance à 95% de

son x(0). Ceci est très facile à obtenir dans MS Excel et on tombe typiquement en jouant avec

plusieurs types de graphiques dans le même diagramme sur quelque chose du genre

(portefeuille de 500 MF avec rendement de 5% et écart-type de 20%):

(332)

Avec le tableau suivant:

(333)

Utilisant donc les relations démontrées plus haut ($B$2 contient la valeur 500):

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