Notes sur le modèle hyperbolique, Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez10 janvier 2014

Notes sur le modèle hyperbolique, Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes d'astronomie sur le modèle hyperbolique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: démonstration, graphique.
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Dans ce modèle, nous considérons . Donc l'équation à traiter peut s'écrire :

(51.99)

Ce qui s'écrit aussi :

(51.100)

Rappelons que nous avions supposé pour que si nous effectuons le

changement de variable , nous obtenons l'intégrale suivante :

(51.101)

Nous recherchons donc une primitive de :

(51.102)

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en

posant donc ce qui nous donne la primitive suivante à calculer:

(51.103)

en refaisant un changement de variable :

(51.104)

d'où à une constante multiplicative près :

(51.105)

nous avons :

(51.106)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons vu que cette forme de primitive se

résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la

physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas

nécessairement en mathématique) :

(51.107)

avec :

(51.108)

d'où :

(51.109)

Il nous faut encore calculer :

(51.110)

Enfin :

(51.111)

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la

constante multiplicative, nous avons dans le cas où :

(51.112)

Entre les deux bornes d'intégration nous avons donc (la constante d'intégration

s'annule) :

(51.113)

Nous devons évidemment avoir (nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans

l'intégrale) :

(51.114)

Si nous traçons cette fonction pour une valeur fixe. Nous avons le tracé suivant dans

Maple (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" car celui avec le signe "+" n'a pas de

sens physique même translaté) :

(51.115)

Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers croit indéfiniment rapidement. De

plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (il s'agit au toujours fait

de la condition d'intégration).

Nous voyons à nouveau que le critère est naturellement parfaitement

respecté. Toutes les valeurs de F(t) inférieures à 1 sont à rejeter !

Nous avons donc dans ce modèle hyperbolique un Univers qui croit indéfiniment de façon

exponentielle (comme le modèle plat de Friedmann-Lemaître) car étant donné que , il n'y

a plus de condition limite d'intégration (contrairement au modèle elliptique précédent).

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