Notes sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 2° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 2° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur le modèle relativiste de Sommerfeld - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le développement en série, l'énergie totale de l'atome.
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Nous voyons trivialement qu'il y a un pôle à l'origine que nous allons calculer le résidu en

ce point en passant à la limite pour . Nous posons pour cela:

(41.154)

En passant à la limite construite sur la base du théorème des résidus:

(41.155)

Le résidu correspondant au pôle est donc :

(41.156)

Nous voyons également qu'il y a un second résidu à l'infini et pour le calculer, nous

effectuons à nouveau un changement de variable. Nous posons (conformément à la méthode ce

que nous avons vue dans le chapitre d'Analyse Complexe):

(41.157)

L'intégrale s'écrit alors:

(41.158)

Pour trouver le résidu, nous allons faire un développement en série de Laurent de:

(41.159)

autour de ce pôle de valeur nulle. Pour ce faire, nous posons :

(41.160)

Nous connaissons le développement de Taylor de l'expression résultante de ce changement de

variable:

(41.161)

Appliqué au radical, nous obtenons :

(41.162)

Il vient alors la automatiquement la série de Laurent (chouette!):

(41.163)

où nous voyons immédiatement que le pôle est d'ordre 2.

Le second résidu est le coefficient en :

(41.164)

Effectivement, nous avons simplement appliquaé la relation démontrée dans le chapitre

d'Analyse Complexe:

(41.165)

pour déterminer le résidu se trouvant dans la série de Laurent avec l'ordre du pôle k valant

donc 2.

En final, nous aboutissons à:

(41.166)

Avec:

(41.167)

Pour le calcul de nous avons :

(41.168)

Dès lors, l'intégrale curviligne a pour expression:

(41.169)

Après simplification:

(41.170)

Nous élevons au carré:

(41.171)

Donc :

(41.172)

d'où:

(41.173)

Nous posons :

En travaillant sur le dénominateur :

(41.174)

En ajoutant et en retranchant :

(41.175)

Donc:

(41.176)

ou encore:

(41.177)

Ou encore :

(41.178)

Nous considérons dans le terme le radical qui s'écrit encore:

(41.179)

Soit le développement en série (cf. chapitre sur les Suites Et

Séries) alors:

(41.180)

Donc :

(41.181)

Comme , nous pouvons négliger les termes au-delà de l'ordre 2 tel que:

(41.182)

Le terme suivant s'écrit alors:

(41.183)

En travaillant maintenant sur le terme entre les crochets et en considérant uniquement le carré

sans tenir compte de son signe négatif (!):

(41.184)

Soit le développement en série de Taylor de (cf. chapitre sur les

Suites Et Séries) alors

(41.185)

En négligeant les termes au-delà de l'ordre 2:

(41.186)

Le terme entre les accolades s'écrit:

(41.18

7)

Nous entreprenons le développement en série de Taylor du terme entre les accolades:

(41.188)

En négligeant les termes au-delà de l'ordre 2:

(41.189)

En développant le carré du troisième terme, il vient :

(41.190)

Soit:

(41.191)

L'énergie totale de l'atome devient :

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