Notes sur le modèle sphérique, Notes de Astronomie
Caroline_lez
Caroline_lez10 janvier 2014

Notes sur le modèle sphérique, Notes de Astronomie

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Notes d'astronomie sur le modèle sphérique. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: démonstration, graphique, "Big Crunch"..
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Dans ce modèle (appelé aussi parfois "modèle elliptique"), nous considérons . Donc

l'équation à traiter reste :

(51.76)

Ce qui s'écrit aussi :

(51.77)

Rappelons que nous avions supposé pour que si nous effectuons le

changement de variable , nous obtenons l'intégrale suivante :

(51.78)

Nous recherchons donc une primitive de :

(51.79)

et nous discuterons du signe ± après avoir trouvé la primitive.

Nous effectuons encore un changement de variable en

posant donc ce qui nous donne la primitive suivante à calculer :

(51.80)

en refaisant un changement de variable :

(51.81)

d'où à une constante multiplicative près :

(51.82)

nous avons :

(51.83)

Dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral nous avons vu que cette forme de primitive se

résout par la relation (nous rajoutons la constante d'intégration à la fin car nous faisons de la

physique et il faut satisfaire des conditions initiales auxquelles nous ne nous intéressions pas

nécessairement en mathématique) :

(51.84)

avec :

(51.85)

d'où :

(51.86)

Il nous faut encore calculer :

(51.87)

Enfin :

(51.88)

en remettant en place tous les changements de variables et en introduisant à nouveau la

constante multiplicative, nous avons dans le cas où :

(51.89)

Entre les deux bornes d'intégration nous avons donc (la constante d'intégration

s'annule et nous reprenons le ± qui se trouvait initialement dans l'intégrale) :

(51.90)

Rappel : La théorie nous impose

Si nous traçons cette fonction pour une valeur fixe. Nous avons le tracé suivant dans

Maple (nous ne considérerons que le cas avec le signe "-" ci-dessous pour l'instant car le signe

"+" nous donnerait un tracé dans les différentiels de temps négatifs : ) :

(51.91)

Remarque: Le temps est toujours représenté sur l'axe vertical ainsi que pour tous les diagrammes

suivants (il vous faut tourner un peu la tête si habituellement vous mettez le temps sur l'axe des

abscisses...).

Nous voyons que plus la constante A est petite, plus l'Univers arrive rapidement à une valeur

finale. De plus pour une valeur de k fixée, certaines valeurs de A sont interdites (c'est à cause

de la condition d'intégration).

En fixant une valeur de A, nous obtenons la représentation bidimensionnelle suivante :

(51.92)

Si nous effectuons un zoom au niveau , nous avons :

(51.93)

Nous voyons que le critère est parfaitement et naturellement respecté sans

introduction d'une quelconque constante. Il suffit par ailleurs de remplacer F par 1 dans

l'équation que nous avons obtenue pour voir que nous trouvons .

Remarque: Comme nous l'avons déjà précisé, toutes les valeurs de inférieures à 1 sont à

rejeter!

Analysons l'avant-dernier tracé en rappelant que :

(51.94)

Une condition limite (condition d'intégration) pour que le terme de droite de l'égalité soit positif

est que :

ou (51.95)

Donc, si est plus petit que , nous ne somme plus dans un domaine valable (réel) du

modèle.

Il faut donc que :

ou (51.96)

Cette limite a été présentée par une ligne verticale bleue sur l'avant-dernier diagramme. Nous y

avons également représenté par une ligne horizontale verte la limite temporelle

temps correspondante .

Au fait, au-delà de cette limite temporelle, ce que ne sait pas l'ordinateur qui a tracé notre

fonction, c'est qu'il devrait basculer sur la fonction d'échelle avec le signe "+". Ainsi, lorsque

nous exécutons le tracé des deux fonctions avec les bornes adéquates :

(51.97)

nous obtenons alors (le temps est représenté sur l'axe vertical!) :

(51.98)

Nous voyons que alors que pour l'Univers entre dans une phase de contraction que nous

appelons communément "Big Crunch". Après cette phase de rétraction, il est possible soit que

l'Univers disparaisse totalement, soit qu'il entre à nouveau dans un phase dynamique cyclique

(mathématiquement les deux issues sont possibles).

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