Notes sur le principe de Noether - 1° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur le principe de Noether - 1° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur le principe de Noether - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: considérations, l'invariance par translation dans l'espace, l'invariance par rotation dans l'espace, l'invariance...
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Le principe premier de Noether (appelé traditionnellement "théorème de Noether") associe de

façon élégante des quantités physiques conservées aux symétries des lois de la nature. La

symétrie de translation dans le temps (phénomène invariant dans le temps) correspond à la

conservation de l'énergie, celle de translation dans l'espace à la conservation de l'impulsion

(quantité de mouvement), celle de rotation dans l'espace à la conservation du moment cinétique

etc.

En d'autres termes, le principe premier de Noether énonce que la physique est :

- Symétrique (invariant) par translation dans le temps (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y pas

d'origine du temps)

- Symétrique (invariant) par translation dans l'espace (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y a

pas d'origine à l'espace)

- Symétrique (invariant) par rotation (ceci ayant pour conséquence qu'il n'y a pas de direction

privilégiée dans l'espace)

Remarques:

R1. Ce principe implique donc qu'un référentiel galiléen (cf. chapitre de Mécanique Classique)

est homogène (pas d'origine de temps ou d'espace privilégiée) et isotrope (pas de direction

privilégiée).

R2. Il ne faut pas confondre l'invariance des lois et la non invariance des solutions théoriques

auxquelles aboutissent ces lois! Par exemple, la décharge d'un condensateur (cf. chapitre

d'Électrocinétique) est invariante par translation dans le temps mais pas la solution.

Ce résultat établi en 1915 par Emmy Noether juste après son arrivée à Göttingen, fut qualifiée

par Albert Einstein de "monument de la pensée mathématique". C'est maintenant un des piliers

de la physique théorique.

Aujourd'hui, il est souvent présenté à l'occasion de cours sur la théorie quantique des champs.

Cela le fait paraître plus compliqué et mystérieux qu'il n'est, et c'est oublier qu'il s'applique

aussi à la mécanique classique.

Remarque: Il est recommandé au lecteur de lire la démonstration du théorème de Noether en

parallèle des chapitres de mécanique analytique et de mécanique classique.

Ainsi, les symétries jouent un rôle majeur en physique. Elles permettent d'une part de simplifier

les problèmes d'une part et de tirer de nouvelles lois d'autre part. Pour illustrer la première

application des symétries il suffit d'évoquer la forme mathématique du potentiel gravitationnel

engendré par une masse ponctuelle située à l'origine du référentiel (cf. chapitre de Mécanique

Classique). En coordonnées cartésiennes, l'expression du potentiel gravitationnel est

relativement complexe

(28.35)

alors qu'en coordonnées sphériques (système de coordonnées qui tire partie de la symétrie

sphérique du potentiel) il prend une forme très simple :

(28.36)

Les propriétés de symétrie d'un problème sont ici exploitées de façon à simplifier le traitement

mathématique des lois physiques. Même si ces considérations mathématiques nous renseignent

sur les propriétés physiques du système considéré, elles conservent cependant un caractère

purement technique.

Les symétries trouvent pourtant une autre application dont la signification physique est

beaucoup plus profonde. Le fait, non fortuit, qu'un système possède des symétries doit

certainement avoir des implications physiques. Intuitivement, nous pouvons saisir que la

présence de symétries dans un système physique se traduit par l'invariance de certaines de ses

propriétés physiques sous l'application de transformations spatio-temporelles ou, plus

généralement, des transformations géométriques. L'invariance de propriétés physiques doit

induire nécessairement des relations d'une nature nouvelle entre les variables du système. De

telles relations doivent à leur tour révéler des lois plus profondes qui associent la géométrie du

système aux lois de la nature. Ce raisonnement, bien qu'intuitif, nous invite à explorer plus en

profondeur les relations qui pourraient exister entre les lois physiques et les propriétés

géométriques de l'espace-temps.

Considérons une expérience de mécanique plus ou moins complexe observée simultanément

par deux physiciensO et O' situés en des lieux différents tel que chacun d'eux choisit un

référentiel dont il est l'origine.

Ils entreprennent de mesurer diverses grandeurs physiques et obtiennent des résultats

numériques qui dans l'ensemble diffèrent. Cependant, les lois physiques qu'ils en tirent (à

niveau de connaissance égal) sont identiques. Cette conclusion est triviale car nous savons tous

que les lois de la nature ne doivent pas dépendre pas de l'emplacement des observateurs.

Mathématiquement, la différence entre les référentiels de O et O' selon le référentiel de

l'expérience étudiée est le passage de l'un à l'autre dans un plan par une rotation une

translation (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

Le fait que les lois physiques sont indépendantes de la position de l'observateur implique

qu'elles ne varient pas après leur avoir appliqué une rotation et/ou une translation. Nous disons

alors qu'elles sont "invariantes par rotation et par translation" ou encore qu'elles sont

"symétriques par rotation et par translation".

Rappel : En géométrie le terme symétrie prend un sens plus général qui peut se définir comme

suit : "transformation qui ne change ni la forme, ni les dimensions d'une figure". Nous pouvons

remarquer que le sens courant du mot "symétrie" correspond à un cas particulier de symétrie au

sens géométrique du terme, qui consiste à inverser les objets par rapport à un plan.

Remarque: En physique, la définition d'une symétrie est semblable à celle des mathématiciens

mais s'applique aux lois de la nature et non plus aux figures géométriques. Ainsi une symétrie en

physique est une transformation des variables du système - qui peuvent être des variables

géométriques ou des variables plus abstraites - qui ne change pas la formulation des lois

physiques.

Donnons une définition rigoureuse d'une symétrie en physique:

Soit un système S dont l'état évolue au cours du temps. Désignons l'état de S à

l'instant t par S(t). A l'instant initial , S se trouve donc dans l'état . Considérons une

transformation géométrique T qui agit en chaque point de l'espace et éventuellement du temps.

En un instant t, l'action de T sur le système S a pour effet de le transformer en un

système tel qu'à l'instant , le transformé par T de est .

Définition: La transformation T est appelée une "symétrie physique" si le transformé par T du

système S (ce qui donne S') évolue de la même façon que S, c'est-à-dire que si nous appliquons

les lois de la mécanique sur pour connaître son état S'' en un instant

postérieur t alors .

INVARIANcE PAR TRANSLATION DANS L'ESPACE

Considérons un système isolé constitué de n particules en interaction repérées par les vecteurs

position . L'interaction de deux particules i,j dérive d'un potentiel (cf. chapitre de

Mécanique Classique). Chaque particule est soumise à des forces résultant de l'interaction avec

les autres particules. Pour une particule i donnée, la résultante de ces forces s'exprime selon la

loi de Newton (voir chapitre de mécanique classique) :

(28.37)

Appliquons au système la translation dans l'espace suivante :

(28.38)

où est un vecteur quelconque. Dire que la translation du système est une symétrie signifie

que l'accélération et la force qui agit sur chaque particule sont inchangées après la

transformation.

(28.39)

Ce qui implique :

(28.40)

Cette égalité doit être vraie quelle que soit la position des particules, donc quels que

soient et . Il est clair que la seule manière de vérifier la dernière égalité dans ces

conditions est d'égaler deux à deux les potentiels entre chaque particule j avec la particule i,

c'est-à-dire :

(28.41)

Les potentiels sont alors nécessairement (et c'est là, la puissance du théorème de Noether!) des

fonctions de tel que :

(28.42)

Dès lors, nous en déduisons que :

(28.43)

Ce qui entraîne immédiatement que la résultante de toutes les forces appliquées aux particules

du système est nulle et que donc la quantité de mouvement totale est conservée :

(28.44)

L'invariance par translation de la loi de Newton entraîne donc nécessairement :

1. Le potentiel entre les particules d'un système isolé est une fonction de leur distance relative

(cela se confirmera en astronomie lors de notre étude du champ de potentiel gravitationnel,

ainsi qu'en électromagnétisme en ce qui concerne le potentiel électrostatique et les potentiels

de Yukawa à symétrie sphérique en théorie quantique des champs).

2. La loi de l'égalité entre l'action et la réaction.

3. La conservation de la quantité de mouvement totale d'un système !

Conséquence du point (3) : l'origine de l'espace est inobservable (puisque la conservation de la

quantité de mouvement est équivalente à l'invariance par translation dans l'espace)!

INVARIANcE PAR ROTATION DANS L'ESPACE

Imposons maintenant que les rotations autour d'un point fixe soient des symétries. Cette

propriété doit être vraie quel que soit le point fixe considéré, notamment, si ce point fixe est

précisément la position de l'une des particules du système. Il s'ensuit que le potentiel présente

nécessairement une symétrie sphérique. Les forces agissant entre les particules sont donc

colinéaires aux vecteurs qui les relient.

Le moment cinétique du système s'exprime comme suit (cf. chapitre de Mécanique Classique) :

(28.45)

La dérivée par rapport au temps du moment cinétique total donne :

(28.46)

Or le dernier terme peut s'écrire :

(28.47)

Où les sont les forces internes au système des particules j agissant sur la particule i. L'avant

dernière expression devient alors :

(28.48)

Nous pouvons regrouper les termes et deux à deux et de par la propriété du

produit vectoriel nous avons nécessairement :

(28.49)

Donc nous en concluons que le moment cinétique est donc conservé et la conservation du

moment cinétique est donc équivalente à l'invariance par rotation.

Conséquence : il n'y a pas de direction privilégiée dans l'espace!

INVARIANcE PAR TRANSLATION DANS LE TEMPS

L'énergie totale du système est la somme de l'énergie cinétique de toutes les particules et de

l'énergie potentielle résultant de l'interaction mutuelle des particules, soit sous la forme de la

mécanique classique :

(28.50)

Nous supposerons que le potentiel ne varie pas avec le temps. Cette hypothèse se

justifie de manière empirique par le constat que les potentiels observés dans la nature sont

indépendants du temps dans des systèmes fermées à l'équilibre.

Calculons la dérivée de l'énergie par rapport au temps :

(28.51)

Or, si le système est fermé (pas d'apport de masse de l'extérieur ni apport d'énergie de

l'extérieur), le terme est nul (pas de variation relativiste de la masse non plus car la

vitesse de chaque corpuscule ou du système entier est constante ou sa variation est en

moyenne nulle). Il en est de même pour le terme où si le système est fermé (pas

d'apport d'énergie de l'extérieur sous quelque forme que ce soit) l'accélération moyenne de

chaque corpuscule ou de l'ensemble du système par rapport au centre de gravité sera nulle.

Donc:

(28.52)

Donc nous en concluons que l'énergie totale du système est donc une constante!

Quelle est la grandeur mécanique invariante par translation revient donc à se demander quelles

sont les grandeurs mathématiques qui sont inchangées lorsque nous leur appliquons une

translation. Il en existe deux : les scalaires et les vecteurs.

Intuitivement, un scalaire est assimilé à un nombre réel (cf. chapitre sur les Nombres). Or, en

mécanique, les nombres réels que nous pouvons construire le sont à l'aide de grandeurs

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