Notes sur le principe de superposition - 1° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur le principe de superposition - 1° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur le principe de superposition - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la relation, les conclusions les plus importantes.
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PRINCIPE DE SUPERPOSITION

La notion d'état dynamique d'un système classique joue un rôle capital dans la dynamique

analytique classique.

Est-il possible de retrouver cette notion lorsque nous avons affaire à un système quantique,

c'est-à-dire un système tel qu'un atome, un noyau ou une molécule, bref un système de la

microphysique?

A première vue non, car nous savons que l'on définit l'état dynamique d'un système classique

par la donnée des coordonnées généralisées et des moments conjugués à un instant

donné (cf. chapitre de Mécanique Analytique). Or, le principe d'incertitude s'oppose à cette

procédure dès que nous sommes dans le domaine de la microphysique, vu l'impossibilité de

mesurer avec précision les et . Cela est particulièrement clair lorsque le système se réduit

à une seule particule que nous décrivons par ses coordonnées cartésiennes et les

composantes de sa quantité de mouvement .

Fort heureusement, il existe une autre définition de l'état dynamique d'un système qui

s'applique indifféremment aux systèmes classiques et quantiques et qui, dans le cas des

premiers, s'identifie avec la définition habituelle. Nous allons donner cette définition en nous

appuyant sur une brève théorie des ensembles de systèmes identiques.

Si nous avons un ensemble (E) d'un très grand nombre de systèmes identiques, nous ferons une

enquête statistique pour caractériser cet ensemble de la façon suivante : nous prenons un

système de l'ensemble, nous mesurons une variable dynamique (coordonnée, composante de

quantité de mouvement, énergie cinétique, etc.) et nous rejettons le système (qui perturbé par

le mesure, ne doit pas être réincorporé à l'ensemble). Nous dressons ainsi un bilan qui se

traduit par des fonctions de distribution de toutes les variables dynamiques possibles. Cela

permet de définir sans ambiguïté la notion d'identité :

Définition: Deux ensembles sont identiques, si les bilans des résultats de mesure sont les

mêmes pour les deux.

Considérons maintenant un ensemble unique (E). Est-il possible de le réaliser par juxtaposition

de deux ensembles non identiques et ? Ce qui permettrait d'écrire:

(42.501)

Si oui, nous dirons que (E) est un mélange. Inversement, au moyen d'un tri convenable, un

mélange peut être décomposé en deux sous-ensembles différents. Si non, nous dirons que (E)

est un ensemble pur. Tout tri décomposera l'ensemble pur en deux sous-ensembles identiques

entre eux et nécessairement avec (E) ! Nous convenons alors de dire que tous les systèmes d'un

ensemble pur sont dans le même état dynamique et que deux ensembles purs différents

donnent lieu à des états dynamiques différents. Il va de soi que les systèmes constituant un

mélange seront eux dans des états dynamiques différents.

Supposons maintenant que les systèmes étudiés obéissent aux lois de la mécanique classique.

Si les systèmes d'un ensemble présentent des jeux différents, nous les trions en

groupant par systèmes ayant tous un même jeu . Nous vérifions bien que la nouvelle

définition de l'état dynamique coïncide avec la définition habituelle. Notons ce fait évident, mais

important (par opposition avec les systèmes quantiques) : dans un ensemble pur de systèmes

classiques, c'est-à-dire pour un état dynamique donné, toute variable dynamique est bien

déterminée. En effet, en mécanique analytique classique, une telle variable est une fonction

des et et, de ce fait, présente une valeur unique.

Passons aux systèmes quantiques. Il est maintenant possible de définir pour ceux-ci un état

dynamique, mais tout de suite nous voyons une distinction fondamentale avec la mécanique

classique. En effet, dans un ensemble pur de systèmes quantiques, c'est-à-dire pour un état

dynamique donné, une variable dynamique n'est pas, en général, bien déterminée. Quand nous

la mesurons sur des systèmes extraits de l'ensemble pur, on ne trouve généralement pas

comme résultat, une valeur unique, mais une distribution de valeurs.

L'indétermination qui règne sur la valeur d'une variable dynamique dans un état dynamique

donné est donc de nature purement quantique et il convient de bien la distinguer de

l'indétermination d'origine statistique qui se manifeste dans un mélange, qu'il s'agisse de

systèmes classiques ou quantiques.

Le formalisme de la physique quantique ne peut s'édifier que si nous savons décrire

mathématiquement les états dynamiques et les variables dynamiques. Nous avons vu que nous

ne pouvons attendre de ce formalisme un prédiction précise comme en mécanique classique,

mais, simplement les probabilités d'obtenir telle ou telle valeur, lorsque nous mesurons une

variable dynamique sur un système dont l'état dynamique est donné.

Toute la théorie que nous avons vu jusqu'ici nous permet de conclure jusqu'ici que les états

dynamiques d'un système d'une particule sans spin sont décrits par des fonctions d'onde

complexes, non nulles partout.

Si nous appliquons cette condition aux systèmes dynamiques nous avons alors le postulat

suivant:

Soient deux états dynamiques différents, décrits par des fonctions d'onde et ,

nécessairement non proportionnelles. étant des nombres complexes non simultanément

nuls, nous construisons la combinaison linéaire:

(42.502)

est alors une fonction d'onde décrivant un état dynamique possible du système.

Ce postulat paraît assez naturel du fait de l'aspect ondulatoire que présente la physique des

microsystèmes. En effet, dans les phénomènes ondulatoires de la physique classique les

équations d'onde sont, le plus souvent, linéaires homogènes et il s'ensuit que l'on peut

superposer les ondes. Or, le grand intérêt de ce postulat est qu'il contient en germe

l'explication de ce fait capital qu'est l'indétermination quantique (appelée aussi parfois

"cohérence quantique").

Voyons-le sur un cas très simple où nous supposons qu'une variable dynamique A, a une

valeur bien définie dans l'état dynamique , et une valeur bien définie dans l'état

dynamique avec . Cela signifie que si nous répétons la mesure de A sur des

systèmes tous dans l'état dynamique décrit par , nous trouvons chaque fois comme

résultat , de même pour et .

Une question vient naturellement à l'esprit : si nous mesurons A sur des systèmes tous dans

l'état dynamique qu'allons nous obtenir? Une idée naïve serait de croire que A prendra une

valeur bien définie intermédiaire entre et .

Ces deux hypothèses sont fausses et nous le savons bien. Premièrement, A n'est pas bien

déterminée en physique quantique (incertitude) et n'est mathématiquement pas nécessairement

située entre et . L'interprétation correcte est la suivante:

Si nous mesurons A sur le système dans l'état dynamique , nous trouvons comme résultat

de mesure, tantôt , avec une probabilité , tantôt , avec une probabilité .

Bien entendu, et devront pouvoir être calculés en fonction de et .

Remarque: Il ne faut surtout pas confondre l'ensemble pur des systèmes décrits par , avec le

mélange que nous obtiendrions en juxtaposant deux ensembles purs de systèmes

respectivement et .

Il convient donc de mettre en garde le lecteur contre cette confusion, d'autant que dans la

littérature courante utilisant la physique quantique, on dit souvent que la fonction

d'onde est un mélange de et . C'est par exemple dans ce sens que nous parlons de

"mélange de configurations" pour traduire le fait que la fonction d'onde d'un atome à plusieurs

électrons est une combinaison linéaire de fonctions d'onde appartenant à diverses

configurations. Cette terminologie ne doit pas cacher le fait que les systèmes décrits

par constituent un ensemble pur et non un mélange.

En fait, l'interprétation que donne la théorie de De Broglie (associer une fonction d'onde à une

particule) aux principes d'incertitudes est l'exemple le plus frappant et le plus connu de la

physique quantique au niveau des superpositions d'états (chat de Schrödinger mis à part):

Considérons une onde de De Broglie se propageant dans le sens de l'axe X, mais limitée à un

intervalle à un instant donné ( si nous voulons). Donc à l'onde s'écrit, en

laissant tomber la constante multiplicative :

(42.503)

Si nous mesurons la coordonnée de la particule, nous devons la trouver là nécessairement

où n'est pas nulle (sinon nous ne pourrions rien mesurer). Nous pouvons dire

que avec une incertitude (l'intervalle où nous sommes sûrs de trouver la particule

par rapport à l'ordonnée à l'origine divisé par deux)

Si nous mesurons p, que trouvons-nous ? Nous ne devons pas trouver (relation que nous

avons déjà démontrée plus haut), car ceci serait vrai pour une onde plane indéfinie, ce qui n'est

pas le cas ici. Alors, nous allons décomposer l'onde en ondes planes au moyen de la

transformation de Fourier (cf. chapitre de Suites et Séries) :

(42.504)

Comment interpréter cette relation? Une des ondes planes élémentaires (que nous pouvons

aussi interpréter comme un état), , dont la somme redonne (x), conduit à une

valeur de la quantité de mouvement. Or, les valeurs de k forment un continuum. Nous

sommes conduits à dire que les valeurs possibles de p forment dès lors aussi un continuum et

qu'il y a donc une incertitude sur la valeur de p. Pour aller plus loin, il faut évaluer a(k) (qui doit

être considéré comme variable de la probabilité de présence de chaque onde plane provenant

de la décomposition de (x)) au moyen de la relation (selon les propriétés des transformations

de Fourier) :

(42.505)

qui donne ici:

(42.506)

Posons , l'intégrale devient alors :

(42.507)

Le graphique de la fonction montre que prend des valeurs qui peuvent êtres

considérées comme négligeables pour .

(42.508)

Il s'ensuit que dans l'intégrale :

(42.509)

ce sont les k voisins de qui sont effectifs, et plus précisément les k tels que:

(42.510)

puisque :

(42.511)

Il s'ensuit que les valeurs à retenir de p sont celles voisines de aussi, plus précisément

nous avons :

(42.512)

Cette relation montre que les incertitudes et obéissent à la relation:

(42.513)

De manière similaire, si nous nous proposons de déterminer la coordonnée x d'un électron en

le faisant passer à travers une fente de largeur 2b percée dans un écran:

(42.514)

La précision avec laquelle nous connaissons la position de cet électron est limitée par la taille

de la fente, soit . D'autre part, la fente perturbe l'onde associée. Il en résulte une

modification du mouvement de l'électron qui se traduit par le diagramme de diffraction de

l'onde (qui est en fait une représentation de la superposition linéaire de ses états intrinsèques).

L'incertitude sur la composante dynamique de la quantité mouvement de l'électron est

déterminée par l'angle correspondant au maximum central de la figure de diffraction. D'après

la théorie de la diffraction (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) produite par une fente

rectangulaire, nous avons puisque l'intensité s'écrit:

(42.515)

Donc est compris entre et , p étant l'impulsion de l'électron incident. Ainsi

l'incertitude est de:

(42.516)

Ce résultat simple est assez extraordinaire si nous le mettons en relation, en ordre de

grandeur, avec le résultat que nous avions obtenu juste plus haut :

(42.517)

Nous pouvons en tirer plusieurs conclusions de la première importance:

1. L'onde associée de De Broglie est étroitement liée au principe d'incertitude et la physique

quantique doit tenir compte simultanément de ces deux propriétés.

2. Si nous tenons compte que la répartition de l'intensité est obtenue à partir du comptage des

électrons (ou particules en fonction de l'angle et que nous obtenons la même répartition quelle

que soit l'intensité du faisceau d'électrons monocinétiques qui arrive sur la fente et ce, même si

les électrons sont envoyés un par un. Nous observons alors que le mouvement des particules

n'est plus déterministe mais probabiliste. Ainsi, la fonction d'onde de l'électron peut être

considérée comme une superposition linéaire des états définis chacun comme nous l'avons fait

précédemment, par sa décomposition spectrale possible par la transformée de Fourier.

Que pouvons-nous conclure de tout ce que nous avons vu jusqu'ici:

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