Notes sur le produit scalaire fonctionnel, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur le produit scalaire fonctionnel, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur le produit scalaire fonctionnel. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le produit scalaire fonctionnel, démonstration, exemple.
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PRODUIT SCALAIRE FONCTIONNEL

Le produit scalaire fonctionnel (analogie très forte avec le produit scalaire vectoriel vu dans le

chapitre de calcul vectoriel) peut paraître inutile lorsqu'il est étudié pour la première fois hors

d'un contexte appliqué mais il connaît au fait de nombreuses applications pratiques. Nous en

ferons par exemple directement usage dans le chapitre de physique quantique ondulatoire et

de chimie quantique ou encore dans le cadre plus important encore des polynômes

trigonométriques via les séries et transformées de Fourier (cf. chapitre sur les Suites Et Séries)

que nous retrouvons partout dans la physique contemporaine.

Cependant, si le lecteur n'a pas encore parcouru le chapitre de calcul vectoriel et la partie y

traitant du produit scalaire vectoriel, nous ne serions que trop recommander sa lecteur sans

quoi de ce qui va suivre risque d'être un peu incompréhensible.

Nous nous plaçons dans l'espace des fonctions continues de l'intervalle [a,b]

dans muni du produit scalaire définit par (nous retrouvons la notation spécifique du produit

scalaire à sa version fonctionnelle comme nous en avions fait mention lors de notre définition

du produit scalaire vectoriel):

(16.147)

Une famille de polynômes orthogonale, comme nous pouvons en faire l'analogie avec le produit

scalaire vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel, est donc une famille de

polynômes tels que :

si (16.148)

Nous rappelons qu'une famille orthogonale est libre (cf. chapitre de Calcul Vectoriel).

Le développement suivant va nous rappeler le procédé de Gram-Schmidt (cf. chapitre de Calcul

Tensoriel) pour construire une famille orthogonale :

Soit une famille de polynômes linéairement indépendants définis sur [a,b]

et V l'espace vectoriel engendré par cette famille. La famille définie par récurrence

de la manière suivante :

(16.149)

et est orthogonale et engendre V.

Démonstration:

Montrons par récurrence sur n que est une famille orthogonale qui engendre le

même espace que . L'assertion est vérifiée pour . Supposons l'assertion

vérifiée pour , pour nous avons :

(16.150)

est donc orthogonale. Pour finir, l'égalité :

(16.151)

montre que et engendrent le même espace. est donc

bien une famille orthogonale qui engendre V.

C.Q.F.D.

Exemple:

Considérons l'exemple très important en physique moderne qui est l'ensemble des

fonctions continues -périodiques qui forme un espace vectoriel (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel).

Nous définissons donc le produit scalaire de deux fonctions de cet ensemble par :

(16.152)

Le but de cette étude est de construire une base de sur laquelle nous pouvons décomposer

tout fonction -périodique.

L'idée la plus simple est alors de se servir des fonctions trigonométriques sinus et cosinus :

(16.153)

Les relations ci-dessous montrent que les bases choisies ci-dessus sont orthogonaux et

forment donc une famille libre, de plus c'est une famille génératrice de l'espace

vectoriel car comme nous le démontrerons lors de notre étude des séries de Fourier (cf.

chapitre sur les Suites Et Séries), nous avons les valeurs suivantes :

(16.154)

où est le symbole de Kronecker (cf. chapitre de Calcul Tensoriel).

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