Notes sur le thème des jeux coopératifs et non-coopératifs, Notes de Gestion des affaires
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or10 janvier 2014

Notes sur le thème des jeux coopératifs et non-coopératifs, Notes de Gestion des affaires

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Notes de gestion sur le thème des jeux coopératifs et non-coopératifs Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Exemple, Définitions, l'optimalité de Pareto, équilibre de Nash.
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Une première approche (sans faire usage des maths dans un premier temps) de cette attitude

d'esprit (forme de jeu) est accessible à de jeunes enfants (sans qu'ils le sachent!).

Exemple:

Imaginons deux enfants, l'un et l'autre gourmands, en présence d'un gâteau homogène,

parfaitement divisible (et très bon...). Si la maman fait deux parts, il y aura immanquablement

des disputes, chacun trouvant plus grosse la part de l'autre. Le seul moyen (hors dictat) d'éviter

toute dispute est pour la mère d'imposer la règle suivante : l'un des enfants effectue le partage,

et l'autre choisit en premier sa part. Celui qui coupe ne peut pas raisonner en tenant compte de

ses seules préférences, qui le pousseraient à se couper une grosse part. Il sait en effet que

l'autre pourra choisir sa part. Si donc il coupe une part plus grosse que l'autre, il risque de la

retrouver dans l'assiette du voisin. Il va donc s'efforcer de couper des parts aussi égales que

possibles, à ses yeux. Ainsi, quel que soit le choix de l'autre, il ne s'estimera pas maltraité.

C'est cette anticipation du choix d'un autre décideur qui constitue l'originalité de la théorie de

la décision et de la coopération !

Définitions:

D1. La partie de la théorie des jeux qui s'occupe de la détermination des éléments socialement

préférables (au niveau du groupe plutôt que de l'individu seul en d'autres termes) de l'ensemble

des issues I est souvent dite "coopérative" ou "coalitionnelle". Elle nécessite que les différentes

parties puissent communiquer entre elles et... qu'elles soient rationnelles.

D2. La partie dite, au contraire, "non coopérative" ou "stratégique" ne s''intéresse pas à la mise

en oeuvre des solutions préconisées par la théorie des jeux coopératifs qui ont force de loi. Elle

suppose que les différentes parties en communiquent pas entre elles ou ne sont pas

rationnelles.

Cette distinction entre jeux coopératifs et jeux non-coopératifs prête souvent à confusion.

Essayons de la dissiper pour partie. Tout d'abord, cette distinction ne signifie nullement que les

comportements que nous concevons intuitivement comme "coopératifs", au sens où ils

induisent une part de sacrifice de nos intérêts propres au profit d'un bien jugé supérieur, ne

pourront apparaître que dans le cadre des jeux coopératifs, au contraire! Les jeux stratégiques

se soucient beaucoup de l'apparition endogène de tels comportements. Inversement, les jeux

coopératifs sont très attentifs au respect des intérêts des individus. C'est là d'ailleurs l'une des

difficultés principales qu'il leur faut affronter : si sacrifice individuel pour le bien commun il doit

y avoir, qui doit se sacrifier ? Et pourquoi tel individu plutôt qu'un autre ?

Une fois défini l'ensemble I unanimement considéré comme représentant toutes les issues

possibles du problème que nous cherchons à résoudre, il nous faut déterminer des critères qui

permettent de sélectionner le "meilleur" état possible, compte tenu des appréciations diverses

et contradictoires dont fait l'objet par les différents citoyens en présence.

Nous savons que cette appréciation se mesure au moyen de la fonction d'utilité définie

sur I et prenant ses valeurs dans . Ainsi, si le système que nous considérons

comporte individus et si est l'issue sélectionnée, est la gain accordé par le

joueur i à x.

Remarque: Si chaque individu avait le pouvoir d'imposer sa volonté aux autres (quitte, au besoin,

à la faire passer pour la "volonté générale"), il choisirait tout simplement l'issue x qui

maximise (c'est-à-dire son gain).

OPTIMUM DE PARETO

Un premier critère qui vient à l'esprit, et qui est dû au sociologue italien Vilfredo Pareto, est

celui de l'optimalité qui porte son nom (à ne pas confondre avec la "loi de Pareto" concept

complétement empirique en économie comme quoi la plupart des répartitions se font selon un

rapport 20/80% - cf . chapitre de Techniques De Gestion).

Considérons deux issues x et y, appartenant toutes deux à I, et supposons que, pour chaque

individu i, nous ayons la situation suivante:

(33)

En d'autres termes, aucun individu ne serait à priori lésé si nous substituions à chacun l'état y à

l'état x . Supposons de surcroît, qu'il existe au moins une personne j qui préfère

strictement y à x tel que :

(34)

Dans ces conditions, nous ne voyons plus vraiment ce qui devrait retenir le législateur de

choisir y plutôt que x.

Défintion : Une issue i réalisable qui n'admet aucune "amélioration" est appelée un "optimum de

Pareto" (O.P.) et est définie rigoureusement par :

(35)

La "pareto-optimalité" est à comprendre comme une condition sine qua non, un "minimum

minimorum", sans lequel le concept de solution d'un jeu coopératif que nous cherchons à

élaborer devrait être automatiquement rejeté.

Remarque: Ce résultat forme rejoint donc ce que nous avions déjà écrit en début de chapitre.

C'est--à-dire que si dans un jeu, un couple d'issues est telle qu'il est impossible d'améliorer le

score de l'un des deux joueurs sans diminuer le score de l'autre, nous disons que ces issues sont

"pareto-optimales" ou "pareto-efficientes".

ÉQUILIBRE DE NASH Définition: "L'équilibre de Nash" (ou "équilibre" tout court) décrit une issue d'un jeu dans lequel

aucun joueur n'a intérêt à modifier sa stratégie unilatéralement, compte tenu des stratégies des

autres joueurs.

Remarque: Nous avons déjà vu de nombreux exemples avec des équilibres précédemment.

Soit un jeu à n joueurs, et une combinaison de choix stratégiques de

ces n joueurs où est le meilleur choix stratégique du joueur i et avec , l'ensemble des

stratégies praticables par le joueur i. Soit le gain du joueur i lorsque est

sélectionné.

Une combinaison de choix stratégiques est un équilibre de Nash si et seulement si:

(36)

pour tout dans et tout i.

Interprétation: aucun joueur ne peut bénéficier d'une déviation de , quelle que soit la

stratégie qu'il choisisse dans son ensemble . Ainsi, aucun joueur n'a intérêt à dévier, et est

un équilibre

Remarque: Il peut arriver qu'un optimum de Pareto se confonde à l'équilibre de Nash mais ce

n'est pas toujours le cas (donc un équilibre de Nash n'est pas toujours un optimum de Pareto).

Définition: Quand la stratégie d'un joueur est la meilleure réponse face à toutes les stratégies

possibles de ses rivaux, nous parlons alors de "stratégie dominante" (cette stratégie domine

toutes les autres stratégies du joueur). L'équilibre de ce jeu est alors appelé "équilibre en

stratégie dominante".

In extenso, une stratégie est "dominée" si elle procure au joueur des gains toujours inférieurs à

ceux associés à au moins une autre de ses stratégies.

Remarque: Nous pouvons nous interroger si dans un jeu non-coopératif l'équilibre de Nash (s'il

existe) n'est pas tel qu'il amène de toute façon à une coopération implicite ? Au fait, ce n'est pas

le cas (et c'est un résultat très important) car comme nous verrons dans l'étude du fameux

dilemne du prisonnier un jeu dont l'équilibre de Nash est assuré par des choix individualistes et

rationnels tels qu'ils soient non coopératifs !!! Ce sera donc un exemple extrêmement important

dans le cadre de l'économie de marché.

Méthode : Une manière de déterminer les équilibres d'un jeu consiste à éliminer en premier

toutes les stratégies dominées puis à rechercher les équilibres dans le jeu ainsi réduit.

Exemple:

En éliminant les stratégies dominées (mêmes faiblement dominées) pour chacun des joueurs,

nous tombons sur (6 , 4) qui est comme nous le voyons un équilibre de Nash (car c'est celle où

aucun joueur n'a intérêt à changer de stratégie).

J1 / J2 S1 S2 S3

S1 5 , 2 4 , 4 6 , 4

S2 3 , 1 2 , 0 5 , 2

Tableau: 13 - Matrice avec équilibre de Nash

Le jeu suivant par contre, ne comporte pas d'équilibre de Nash. Effectivement, quelque soit le

couple de stratégies envisagé, l'un des joueurs obtient toujours plus en modifiant son choix.

J1 / J2 S1 S2

S1 1 , 0 0 , 1

S2 0 , 1 1 , 0

Tableau: 14 - Matrice sans équilibre de Nash

Toutefois, pour le moment il apparaît pour le moins prématuré de prescrire aux joueurs le

choix d'un équilibre; certes s'il est choisi, la situation a une certaine stabilité, mais il reste trois

difficultés :

1. Nous ne sommes pas assurées de l'existance d'un couple de tactiques en équilibre

(conjonction des tactiques prudentes)

2. Même en cas d'existence, nous ne sommes pas assuré de l'unicité d'un couple de tactiques

en équilibre

3. Même en cas d'existence et d'unicité, nous pouvons préscrire un autre choix (!!!!)

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