Notes sur le théorème d'Ehrenfest, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa14 janvier 2014

Notes sur le théorème d'Ehrenfest, Notes de Principes fondamentaux de physique

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Notes de physique sur le théorème d'Ehrenfest. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème, la relation, la la loi fondamentale de la dynamique classique.
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THÉORÈME D'EHRENFEST

Ce théorème permet de connecter la mécanique classique de Newton à la physique quantique en établissant des relations similaires en ce qui concerne la quantité de mouvement et la force.

Pour cela, nous partons l'exemple particulier d'une particule massive se déplaçant à une vitesse non relativiste dans un potentiel. Nous avons alors l'équation de Schrödinger d'évolution à une dimension:

(42.533)

d'où nous tirons (utile pour plus loin):

(42.534)

Si nous prenons en toute généralité le conjugué complexe des deux côtés de l'égalité:

(42.535)

d'où nous tirons (utile aussi pour plus loin):

(42.536) Prenons la variation temporelle de la position moyenne de la particule (5ème postulat):

(42.537)

Nous avons:

(42.538)

d'où:

(42.539)

Utilisons cette dernière relation:

(42.540)

Utilisons maintenant la relation:

(42.541)

et injectons la dans la relation antéprécédente:

(42.542)

Le premier terme à droite de l'égalité est facile à intégrer... (puisqu'il n'y pas besoin de l'intégrer):

(42.543)

et comme la fonction d'onde doit valoir 0 à (sinon l'énergie est infinie) alors cette dernière relation est nulle. Il nous reste alors:

(42.544)

Soit:

(42.545)

et finalement:

(42.546)

ce qui est l'équivalent en mécanique classique de:

(42.547)

et qui reconfirme l'existence de l'être mathématique:

(42.548)

comme étant l'opérateur de quantité de mouvement et que nous avions détermine plus haut en retrouvant la deuxième loi de Newton. Pour cela, prenons la dérivée de

Mais nous pouvons faire un peu mieux au niveau de l'analogie classique/quantique en dérivant:

(42.549)

Ce qui donne:

(42.550)

d'où:

(42.551)

En utilisant:

(42.552)

Il vient:

(42.553)

Concentrons-nous sur:

(42.554)

Intégrons par partie le premier terme la première intégrale deux fois selon la relation démontrée dans le chapitre de Calcul Différentiel et Intégral:

(42.555)

Nous avons alors:

(42.556)

et encore une fois:

(42.557)

Donc finalement:

(42.558)

Il nous reste alors:

(42.559)

Or, nous avons démontrée dans le chapitre de Mécanique Classique que:

(42.560)

Il vient donc que:

(42.561) Ce résultat extraordinairement simple constitue le "théorème d'Ehrenfest". Nous retrouvons donc la loi fondamentale de la dynamique classique au sens des valeurs moyennes de position et de la force, calculées à l'aide de la probabilité de présence!  

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