Notes sur le théorème de Bernouilli - 1° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur le théorème de Bernouilli - 1° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

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Notes de physique sur e théorème de Bernouilli - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation de continuité, deux applications importantes du théorème de Bernoulli.
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THÉORÈME DE BERNOULLI

Quand nous discutons du mouvement d'un fluide, l'équation de continuité (cf. chapitre

Thermodynamique), qui exprime la conservation de la masse (volumique) du fluide est une

notion importante.

(34.109)

Considérons cette équation dans le cas particulier qui nous intéresse ici un fluide non visqueux

en écoulement laminaire se déplaçant à l'intérieur d'un tube de lignes de courants parallèles (le

mouvement du fluide est de type irrotationnel - voir chapitre de Calcul Vectoriel du site),

délimité par la surface :

(34.110)

Nous sommes en régime stationnaire (l'aspect du mouvement est indépendant du temps) et la

masse n'est ni apportée par une source ni enlevée par un puits à l'intérieur de la région

considérée. Le volume de fluide qui traverse dans l'intervalle correspond à un cylindre

de base , de longueur et donc de volume . La masse de fluide qui a

traversé pendant le temps est donc:

(34.111)

De même:

(34.112)

est la masse de fluide qui a traversé:

(34.113)

pendant le même intervalle de temps. Avec les hypothèses faites, l'équation de conservation de

la masse exige que les deux masses soient les mêmes, ou que exprimé autrement:

(34.114)

D'où:

(34.115)

Ceci est la forme de l'équation de continuité dans le contexte qui nous intéresse. De plus, si le

fluide est incompressible, la densité est partout la même et l'équation précédente se réduit à:

(34.116)

Considérons maintenant une région dans un fluide où il y a un flux stationnaire comme

l'indique la figure ci-dessous:

(34.117)

Pendant un court intervalle de temps , le fluide qui, initialement, traversait a progressé

jusqu'à une surface à la distance tandis que le fluide qui traversait se

retrouve en à une distance . Puisque le reste du volume entre les surfaces et

reste inchangé, nous allons porter notre attention sur les deux volumes (égaux) hachurés sur la

figure.

Ces deux volumes sont égaux car le fluide est incompressible et l'équation de continuité est

valable. Soient et les forces exercées sur les surfaces et en raison de la pression

existant dans le fluide. A cause de ces forces, le fluide produit ou reçoit du travail en déplaçant

les deux volumes. En , la surface est poussée par le fluide et le travail exercé sur le

fluide alors qu'en le fluide pousse la surface et le travail effectué par le fluide

est . Le travail total exercé sur le volume de fluide situé entre et est donc:

(34.118)

en appelant et les pressions respectives en et et en écrivant:

(34.119)

d'après la définition de la pression. Comme:

(34.120)

d'après l'équation de continuité et l'hypothèse d'incompressibilité, nous pouvons écrire que:

(34.121)

Le travail extérieur exercé sur le système change son énergie propre comme l'établit la

thermodynamique ( ). Pour le volume de fluide considéré, l'énergie propre des volumes

mis en évidence comprend l'énergie cinétique et l'énergie potentielle de gravitation. Le fluide

entre et gagne de l'énergie dans le volume . Supposons que les deux volumes

aient une masse égale m, de nouveau à cause de l'équation de continuité. Alors le gain net

d'énergie est:

(34.122)

Puisque nous avons déjà supposé le fluide incompressible, la densité est la même partout

et m peut être remplacé par aux deux extrémités. D'où:

(34.123)

En combinant cette relation avec nous obtenons :

(34.124)

ou:

(34.125)

Comme l'équation ci-dessus concerne des grandeurs prises en deux points arbitraires le long

d'une ligne de courant, nous pouvons généraliser et écrire:

(34.126)

Ce résultat, connu sous le nom de "théorème de Bernoulli", exprime la constance de la pression

le long d'une ligne de courant dans un fluide incompressible, irrotationnel et non visqueux et

où les forces volumiques extérieures dérivent d'une énergie potentielle (nous reviendrons là-

dessus après avoir déterminé les équations de Navier-Stokes).

Signalons aussi une manière élégante et simple de retrouver cette relation. La conservation de

l'énergie nous donne le long d'une ligne de courant:

(34.127)

avec respectivement et dans l'ordre la somme de l'énergie cinétique, de l'énergie potentielle et

de l'énergie de pression. Soit:

(34.128)

et si nous divisons tout cela par le volume nous obtenons alors:

(34.129)

voilà....

Remarques:

R1. D'une ligne de courant à l'autre, c'est la valeur de la constante qui change. De plus,

l'utilisation du théorème de Bernoulli exige de connaître la forme des lignes de courant.

R2. La conservation de la quantité de gauche exprime la conservation de l'énergie le long d'une

ligne de courant et nous y trouvons respectivement l'énergie cinétique volumique, l'énergie

potentielle volumique de pesanteur et la pression.

Considérons maintenant deux applications importantes du théorème de Bernoulli.

Si le fluide se déplace dans un plan horizontal, l'énergie potentielle de gravitation reste

constante et l'équation de Bernoulli se réduit alors à:

(34.130)

Donc, dans un tuyau horizontal, la vitesse est d'autant plus grande que la pression est plus

faible et réciproquement. Nous utilisons aussi cet effet pour créer participer à la poussée d'un

avion (attention ce paramètre est mineur car ce n'est pas ce qui contribue le plus au vol d'un

avion, c'est l'effet Magnus dont la démonstration sera donnée plus loin).

(34.131)

Le profil d'une aile est construit de telle sorte que l'air a une vitesse plus grande au-dessus de

la surface de l'aile qu'au dessous qu'au dessus, ce qui produit une pression plus forte au-

dessous qu'au dessus. Il en résulte donc une force résultant vers le haut.

Autrement dit, une spécialiste dans l'aérodynamique (pour les avions) ou en hydrodynamique

(pour les stabilisateurs de roulis des gros bateaux) dirait:

- A l'extrados : Par effet de courbure, les particules d'air (d'eau) sont contraintes de parcourir

une distance plus grande. Leur vitesse va donc d'abord s'accroître fortement pour diminuer

ensuite afin de retrouver au bord de fuite la vitesse initiale de l'écoulement. Tout l'extrados est

donc le siège d'une dépression locale généralisée. La couche limite, d'abord laminaire, devient

peu à peu turbulente, voire tourbillonnaire lorsqu'on approche du bord de fuite.

- A l'intrados : le profil constituant un obstacle à l'écoulement, l'air (l'eau) va se trouver freiné :

nous voyons donc apparaître une surpression localisée sur l'intrados. En fait, avec la forme des

ailes d'avion actuelle, en position horizontale, l'effet Bernoulli serait négligeable. Pour qu'un

avion décolle, il faudrait que l'extrados ait une surface beaucoup plus grande.

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