Notes sur le théorème de Bernouilli - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur le théorème de Bernouilli - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

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Notes de physique sur le théorème de Bernouilli - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème de Torricelli, l'effet Venturi le tube de Pitot, la perte de charge (pression).
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C'est bien mieux ainsi non ?

Autre chose encore, si le fluide n'est pas en mouvement, nous avons l'équation de Bernoulli qui

s'écrit:

(34.132)

Il s'agit de "'équation de Laplace" en hydrostatique (utilisée dans les vases communicants).

THÉORÈME DE TORRICELLI

Le théorème de Torricelli permet de déterminer la vitesse d'écoulement d'un liquide. C'est un

cas classique d'étude dans les petites écoles.

Considérons un volume fermé contenant un liquide de masse volumique et muni d'un orifice

de surface , duquel le liquide coule vers l'extérieur. Nous voulons déterminer la

vitesse d'écoulement du liquide de cet orifice. Le volume est supposé être assez grand pour

que ni le niveau du liquide, ni la pression P au-dessus de sa surface ne varient de façon

appréciable pendant l'écoulement. Comme le tube d'échappement de liquide va de la région de

la surface du liquide à l'orifice ouvert à l'air libre, nous avons . Un liquide coulant à l'air

libre est à la pression atmosphérique, , car le liquide est entouré d'air libre et rien ne

peut maintenir une différence de pression. D'après l'équation de Bernoulli, avec ,

nous trouvons sur une ligne de courant :

(34.133)

d'où :

(34.134)

De l'équation de continuité ( ), nous déduisons que

si alors et est alors négligeable devant . Dans le cas particulier, mais

fréquent, où le réservoir est ouvert à l'air libre ( ), la densité d'énergie de pression

disparaît. Le fluide coule sous l'effet de la gravité, sans être poussé par une différence de

pression. Nous trouvons alors (en multipliant par la surface de l'orifice, nous obtenons le débit):

(34.135)

Cette relation constitue le "théorème de Torricelli". Chose curieuse, nous avons déjà vu cette

relation en mécanique classique pour la vitesse de chute libre d'un corps. Il en retourne

l'observation faite par Torricelli : si le jet est dirigé directement vers le haut, il atteint presque le

niveau de la surface du liquide dans le volume. La raison pour laquelle le jet n'atteint pas

effectivement ce niveau est une certaine perte d'énergie à cause du frottement.

EFFET VENTURI

Certaines applications pratiques de la mécanique des fluides résultent de l'interdépendance de

la pression et la vitesse. Il y a une catégorie de situations dans lesquelles la variation d'énergie

potentielle gravitationnelle est négligeable. L'équation de Bernoulli relie alors la différence de

pression à la différence d'énergie cinétique donc la variation du carré de la vitesse.

Nous considérons un fluide incompressible (!), non visqueux et de masse volumique . Le

fluide s'écoule en régime permanent dans une canalisation cylindrique de rayon et de

section suivie par un tube cylindrique de rayon et de section . Le raccordement est

fait par une canalisation conique assez longue pour que l'on reste en régime laminaire.

Nous savons (équation de continuité) que :

(34.136)

qui veut dire, comme nous l'avons vu, qu'une diminution de la section traversée par le fluide se

traduit par une augmentation de sa vitesse.

Dans toute situation où le flux entrant est environ au même niveau que le

rétrécissement , l'équation de Bernoulli s'emploie pour exprimer la différence de

pression :

(34.137)

devient :

(34.138)

Utilisant l'équation de continuité, pour éliminer , nous obtenons :

(34.139)

Comme le second membre de la relation est positif et : il y a donc une chute de

pression dans la région étroite. En arrivant à la région divergente à nouveau en , la

pression du fluide augmente de nouveau et la vitesse reprend sa valeur initiale. Cette

diminution de la pression qui accompagne l'augmentation de la vitesse est appelée "effet

Bernoulli" ou "effet Venturi".

Ainsi, la vitesse du fluide augmente dans un goulot d'étranglement pour satisfaire l'équation de

continuité (conservation du flux/masse) et le fait qu'il soit incompressible (sinon il y aurait une

sorte de bouchon...).

Remarque: Paradoxalement l'effet Venturi se produit aussi lors du franchissement d'un sommet

ou d'une crête par l'air atmosphérique ou également dans les rues des villes. En effet l'air qui

arrive sur la montagne ou la crête à tendance à "s'écraser" dessus. La section d'écoulement de

l'air au sommet est donc plus faible qu'à la base. Il se produit donc également un effet Venturi :

la vitesse du vent est plus élevée sur les sommets et les crêtes qu'en bas (les professionnels du

planeur en savent quelque chose...).

TUBE DE PITOT

Le tube de Pitot permet la mesure de la vitesse d'écoulement d'un gaz subsonique. Le tube de

Pitot consiste à pratiquer dans un tube, un orifice de prise de pression en A et en B:

(34.140)

Le point A est un point d'arrêt car la vitesse est nulle (il n'y pas d'écoulement dans l'orifice, c'est

juste une prise de pression). Loin de l'obstacle (le tube de Pitot) l'écoulement est supposé

uniforme de vitesse v et de pression .

En A (point d'arrêt), en utilisant la relation de Bernoulli le long de la ligne de courant et en

considérant la variation de hauteur entre A et B négligeable, la pression vaut:

(34.141)

Nous avons donc:

(34.142)

Donc pour les avions à partir de la différence d'une mesure de pression et de la connaissance

de la densité du gaz il est possible de connaître la vitesse.

Remarque: En aéronautique, la pression dynamique s'ajoute à la pression statique pour donner la

pression totale qui peut être mesurée au point de vitesse nulle du tube Pitot. En enlevant la

pression statique, on trouve la "pression dynamique".

PERTE DE CHARGE (PRESSION)

Lorsque, dans un écoulement d'un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine)

entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s'écrire

sous la forme suivante :

(34.143)

Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l'énergie avec cette machine

sous forme de travail pendant une durée donnée. La puissance P échangée est alors (cf.

chapitre de Mécanique Classique):

(34.144)

où par convention, si l'énergie est reçue par le fluide (pompe) sinon, si l'énergie

est fournie par le fluide (turbine).

Si le débit-volume est , la relation de Bernoulli s'écrit alors logiquement:

(34.145)

où:

(34.146)

Un fluide parfait n'existe pas. Lors d'un écoulement dans une conduite, les forces de frottement

dissipent une partie de l'énergie cinétique et potentielle ce qui se traduite par l'existence de

pertes de charges dont il s'agit de tenir compte.

Considérons un écoulement cylindrique horizontal stationnaire et incompressible. Si nous

appliquons la relation de Bernoulli entre l'entrée et la sortie nous obtenons:

(34.147)

Or, expérimentalement, nous observons qu'il faut imposer une pression plus importante en

entrée pour entretenir le régime permanent. En effet, les forces de viscosité résistent à

l'écoulement. Il faut donc imposer une suppression que nous appelons "perte de charge en

pression" et qui est due à l'existence de forces de frottements (viscosité) ou de pertes

singulières (géométrie des circuits de distributions).

L'équation de Bernoulli généralisée s'écrit alors dans ce cas d'étude qui fait partie de l'ingénierie

des procédés:

(34.148)

Cette relation est souvent utilisée dans l'étude théorique (...) des problèmes de conduite.

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