Notes sur le théorème spectral, Notes de Méthodes Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur le théorème spectral, Notes de Méthodes Mathématiques

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Notes de mathématique sur le théorème spectral. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème spectral, la démonstration.
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THÉORÈME SPECTRAL

Voyons maintenant un théorème très important relativement aux valeurs et vecteurs propres

qui se nomme le "théorème spectral" qui nous sera très utile à nouveau en physique et en

statistiques.

Pour résumer, les mathématiciens disent dans leur langage que le théorème spectral permet

d'affirmer la diagonalisabilité d'endomorphismes (de matrices) et justifie également la

décomposition en valeurs propres.

Pour simplifier la démonstration, nous ne traitons ici que les matrices réelles en évitant un

maximum le langage des mathématiciens.

Nous noterons dans un premier temps l'ensemble des matrices à coefficients

réels. Nous confondrons la matrice avec l'application linéaire induite sur l'espace

vectoriel par ( ).

Rappel : Nous avons vu lors de l'étude des changements de base que si une base

de et alors a matrice de l'application linéaire M dans la

base est où Sest la matrice formée par les vecteurs colonnes .

D'abord, nous vérifions simplement que si A est une matrice symétrique alors :

(13.183)

Nous nous proposons maintenant d'étudier les propriétés suivantes d'une matrice M symétrique

:

P1. Toutes les valeurs propres de M sont réelles.

Démonstration:

Soit :

(13.184)

un vecteur propre à priori complexe de valeur propre . Notons :

(13.185)

le vecteur conjugué de . Nous avons alors :

(13.186)

D'autre part vu que nous avons :

(13.187)

Etant donné que nous avons et par suite, .

C.Q.F.D.

P2. Deux espaces propres de M relatifs à des valeurs propres différentes sont orthogonaux (en

d'autres termes, les vecteurs propres sont indépendants).

Démonstration:

Soit deux valeurs propres distinctes de vecteurs propres correspondants . Nous avons

(ne pas oublier que M est symétrique!) :

(13.188)

ainsi :

(13.189)

ce qui entraîne:

(13.190)

C.Q.F.D.

Avant d'aller plus loin, il nous faut aussi démontrer que si est une matrice

symétrique et V un sous espace vectoriel de invariant par M (c'est-à-dire qui vérifie pour

tout ) alors nous avons les propriétés suivantes :

P1. L'orthogonal de V noté (obtenu par la méthode de Grahm-Schmidt vue dans le chapitre

de calcul vectoriel) est aussi invariant par M.

Démonstration:

Soit et alors :

(13.191)

ce qui montre que .

C.Q.F.D.

P2. Si est une base orthonormale de alors la matrice de la restriction

de M à dans la base est aussi symétrique.

Démonstration:

Notons la matrice de la restriction de M à dans la base . Nous

avons par définition pour tout (puisque le vecteur résultant d'une application linéaire

comme M peut s'exprimer dans sa base) :

(13.192)

Or :

(13.193)

car si dans la base orthonormale.

D'un autre coté :

(13.194)

Donc ce qui montre que .

C.Q.F.D.

Nous allons à présent pouvoir montrer que toute matrice symétrique est

diagonalisable. C'est-à-dire qu'il existe une matrice inversible S telle que soit

diagonale.

Remarque: En fait nous verrons, pour être plus précis, qu'il existe S orthogonale telle

que soit diagonale.

Rappel : S orthogonale signifie que (où I est la matrice identité) ce qui équivaut à dire

que les colonnes de S forment une base orthonormale de .

Donc allons-y et pour cela considérons une matrice symétrique. Alors nous

souhaitons démontrér qu'il existe une matrice S orthogonale telle que soit diagonale

(en d'autres termes, il existe une base oùM est diagonalisable).

Démonstration:

Nous prouvons l'affirmation par récurrence sur n. Si il n'y a rien à montrer. Supposons

que l'affirmation soit vérifiée pour et prouvons là pour . Soit

donc une matrice symétrique et une valeur propre de M.

Nous vérifions facilement que l'espace propre est invariant par M (il suffit

de prendre n'importe quelle application numérique) et que par la démonstration vue plus haut

que est aussi invariant par M. De plus, nous savons (cf. chapitre de calcul vectoriel),

que se décompose en somme directe .

Si , et il suffit de prendre un base orthonormale de W pour

diagonaliser M. En effet si est une telle base, la matrice formée par les vecteurs

colonnes ( ) est orthogonale et vérifie :

(13.195)

est bien diagonale.

Supposons donc et soit avec une base orthonormale de .

Notons A la matrice de la restriction de M à dans la base . A est aussi symétrique

(selon la démonstration d'une des propriétés précédents).

Par hypothèse de récurrence il existe une matrice orthogonale telle

que soit diagonale.

Notons par une base orthonormale de W et G la matrice formée par les

vecteurs colonnes . Alors, nous pouvons écrire que :

(13.196)

et G est aussi orthogonale par construction.

Considérons la matrice par blocs (matrice composée de matrices) suivante :

(13.197)

et posons . Il est évident que S est orthogonale car G et L le sont. Effectivement,

si et alors (ne pas oublier que la multiplication matricielle est associative):

(13.198)

De plus S vérifie :

(13.199)

Et alors :

(13.200)

est bien diagonale.

C.Q.F.D.

Pour finir voici donc le "théorème spectral" (cas réel): Si une matrice symétrique

alors il existe une base orthonormale formée de vecteurs propres de M.

Démonstration:

Nous avons donc vu dans les paragraphes précédents qu'il existe S orthogonale telle

que soit diagonale. Notons les colonnes de S. est une base

orthonormale de car S est orthogonale. Notant le i-ème vecteur de la base canonique

de et le i-ème coefficient diagonal de nous avons sans supposer directement

que est une valeur propre pour l'instant :

(13.201)

en multipliant par S des deux côtés de l'égalité nous avons :

(13.202)

et donc :

ce qui montre que sont des vecteurs propres et les valeurs propres.

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