Notes sur les démonstrations - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur les démonstrations - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les démonstrations - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la méthode classique, la méthode pseudo-formelle, la méthode formelle en arbre, la méthode formelle en ligne.
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(1.51)

Que faisons, nous ici ? Nous introduisons d'abord la formule F deux fois en tant qu'axiome afin de

la décortiquer plus tard à gauche et à droite (nous n'introduisons pas l'égalité supposée déjà

introduite en tant que règle). Une fois ceci fait, nous éliminons à gauche et à droite la conjonction

sur la formule pour travailler sur les termes gauches et droites seuls et introduisons l'égalité sur

les deux termes ce qui fait qu'à partir de la formule nous avons l'égalité transitive. Il s'ensuit que

sans aucune hypothèse cela implique automatiquement que l'égalité est transitive et finalement

nous disons que ceci est valable pour tout valeur des différentes variables (si la formule est vraie,

alors l'égalité est transitive).

E3. L'objectif sera de démontrer que toute involution est une bijection (cf. chapitre de Théorie Des

Ensembles). Soit f un symbole de fonction unaire (à une variable), nous notons (pour plus de

détails voir le chapitre de Théorie Des Ensembles) :

- la formule:

(1.52)

qui signifie que f est injective.

- la formule:

(1.53)

qui signifie que f est surjective

- la formule:

(1.54)

qui signifie que f est bijective.

- la formule:

(1.55)

qui signifie que f est une involution (nous notons également cela c'est-à-dire que la

composition def est l'identité).

Nous aimerions savoir si :

(1.56)

Nous allons présenter (en essayant que ce soit au plus clair) cette démonstration de quatre

manières différentes : classique (informelle), classique (pseudo-formelle) et formelle en arbre et

formelle en ligne.

Méthode classique :

Nous devons montrer que si f est involutive alors elle est donc bijective. Nous avons donc deux

choses à montrer (et les deux doivent être satisfaites en même temps) : que la fonction est

injective et surjective.

1. Montrons que l'involution est injective. Nous supposons pour cela, puisque f est involutive elle

est donc injective, tel que :

(1.57)

implique:

(1.58)

Or, cette supposition découle automatiquement de la définition de l'involution que:

(1.59)

et de l'application de f à la relation :

(1.60)

(soit trois égalités) tel que:

(1.61)

nous avons donc:

(1.62)

2. Montrons que l'involution est surjective : si elle est surjective, alors nous devons avoir:

(1.63)

Or, définissons la variable x par définition de l'involution elle-même:

(1.64)

(puisque ...) un changement de variables après nous obtenons:

(1.65)

et donc la surjectivité est assurée.

Méthode pseudo-formelle :

Nous reprenons la même chose et nous y injectons les règles de la théorie de la démonstration :

Nous devons montrer que f involutive est donc bijective. Nous avons donc deux choses à

montrer (et les deux doivent être satisfaites en même temps) : que la fonction est injective et

surjective:

(1.66)

1. Montrons d'abord que l'involution est injective. Nous supposons pour cela, puisque f est

involutive et donc injective, que:

(1.67)

implique:

(1.68)

Or, cette supposition découle automatiquement de la définition de l'involution que:

(1.69)

et de l'application de f à la relation:

(1.70)

(soit trois égalités ) tel que:

(1.71)

nous avons donc:

(1.72)

2. Montrons que l'involution est surjective. Si elle est surjective, alors nous devons avoir:

(1.73)

Or, définissons la variable x par définition de l'involution elle-même:

(1.74)

(puisque ...) un changement de variables après nous obtenons:

(1.75)

et donc:

(1.76)

la surjectivité est assurée.

Méthode formelle en arbre :

Faisons cela avec la méthode graphique que nous avons déjà présentée plus haut.

1. Montrons que l'involution est injective :

Pour cela, d'abord montrons que

(1.77)

Remarque: Cette dernière relation est abrégée et appelée (comme d'autres existantes) "règle dérivée"

car c'est un raisonnement qui est très souvent fait lors de démonstrations et un peu long à développer à

chaque fois...

Dès lors :

(1.78)

2. Montrons que l'involution est surjective :

(1.79)

Il s'ensuit :

(1.80)

Méthode formelle en ligne :

Nous pouvons faire la même chose sous une forme un peu moins... large... et plus tabulée... (cela

n'en est pas moins indigeste) :

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