Notes sur les dérivées usuelles - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 January 2014

Notes sur les dérivées usuelles - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les dérivées usuelles - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la dérivée d'une fonction réciproque, la dérivée de la fonction arccos(x), la dérivée de la fonction arcsin(x)...
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(10.107)

C.Q.F.D.

Donc la dérivée d'une fonction composée est donnée par la dérivée de la fonction multipliée par la

"dérivée intérieure". Par ailleurs, ce type de dérivation est très important car souvent utilisé en

physique sous la dénomination de "dérivation en chaîne".

Voyons de quoi il s'agit. La dernière relation obtenu peut être écrite sous une autre forme si nous

posons et :

(10.108)

Ce qui peut s'étendre à des cas plus compliqués par exemple si alors

:

(10.109)

8. Dérivée d'une fonction réciproque :

Si la fonction f est continue, strictement monotone sur un intervalle I, dérivable sur I, alors la

fonction réciproque est dérivable sur l'intervalle f(I) et admet pour fonction dérivée:

(10.110)

En effet, nous pouvons écrire :

(10.111)

C'est-à-dire (application identité) :

(10.112)

Par application de la dérivation des fonctions composées:

(10.113)

d'où:

(10.114)

Pour une variable x, nous poserons pour la dérivée de la fonction réciproque:

(10.115)

10. Dérivée de la fonction arccos(x) :

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la

fonction arccos(x) :

(10.116)

11. Dérivée de la fonction arcsin(x) :

En utilisant le résultat précédent de la fonction réciproque, nous pouvons calculer la dérivée de la

fonction arcsin(x) :

(10.117)

12. Dérivée d'un quotient de deux fonctions :

La fonction est dérivable sur tout intervalle où les fonctions u et v sont dérivable et où la

fonctionv est non nulle et:

(10.118)

Démonstration:

La fonction f peut être considérée comme le produit de deux fonctions : la fonction u et la fonction

1/v. Une produit de deux fonctions est dérivable si chacune d'elle est dérivable, il faut donc que la

fonction u soit dérivable et que la fonction 1/v soit également dérivable ce qui est le cas

quand v est dérivable non nulle.

(10.119)

C.Q.F.D.

13. Dérivée de la fonction tan(x) :

Par définition (cf. chapitre de Trigonométrie) nous avons :

(10.120)

et en appliquant donc la dérivée d'un quotient vu précédemment, nous avons :

(10.121)

ou encore :

(10.122)

14. Dérivée de la fonction cot(x) :

Par définition (cf. chapitre de Trigonométrie), :

(10.123)

et donc (dérivée d'un quotient à nouveau) :

(10.124)

ou encore :

(10.125)

15. Dérivée de la fonction arctan(x) :

Nous utilisons les propriétés dérivées des fonctions réciproques :

(10.126)

16. Dérivée de la fonction arccot(x) :

Selon la même méthode que précédemment :

(10.127)

17. Dérivée de la fonction :

Nous verrons lors de notre étude des méthodes numérique (cf. chapitre de Méthodes Numériques)

que le "nombre d'Euler" peut être calculé selon la série :

(10.128)

qui converge sur . En dérivant terme à terme cette série qui converge, il vient :

(10.129)

Ainsi l'exponentielle est sa propre dérivée. Ainsi, nous pouvons nous permettre d'étudier les

dérivées de quelques fonctions trigonométriques hyperboliques (cf. chapitre de Trigonométrie).

18. Dérivée de la fonction sinh(x) :

Rappel :

(10.130)

Donc trivialement :

(10.131)

19. Dérivée de la fonction cosh(x) :

Rappel :

(10.132)

Donc trivialement :

(10.133)

20. Dérivée de la fonction tanh(x) :

Puisque par définition :

(10.134)

Donc en appliquant la dérivée d'un quotient nous obtenons :

(10.135)

Ou encore :

(10.136)

21. Dérivée de la fonction coth(x) :

Rappel :

(10.137)

et donc :

(10.138)

22. Dérivée de la fonction arcsinh(x) :

Nous appliquons les propriétés des dérivées des fonctions réciproques :

(10.139)

Or (voir à nouveau le chapitre de Trigonométrie) :

(10.140)

et donc :

(10.141)

Etant donné que cosh ne prend que des valeurs positives, nous avons :

(10.142)

Donc finalement :

(10.143)

23. Dérivée de la fonction arccosh(x) :

Nous appliquons les propriétés des dérivées des fonctions réciproques :

(10.144)

Or selon la même méthode que précédemment :

(10.145)

d'où :

(10.146)

Etant donné que ne prend que des valeurs positives nous avons alors :

(10.147)

Donc :

(10.148)

24. Dérivée de la fonction arctanh(x) :

En appliquant les propriétés des dérivées des fonctions réciproques) :

(10.149)

25. Dérivée de la fonction arccoth(x) :

En appliquant les propriétés des dérivées des fonctions réciproques) si :

(10.150)

26. Dérivée de la fonction :

Avec :

(10.151)

Donc (dérivée d'une fonction composée) :

(10.152)

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