Notes sur les distributions statistiques physiques - 1° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur les distributions statistiques physiques - 1° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur les distributions statistiques physiques - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la distribution de maxwell (distribution des vitesses), La loi des probabilités composées, la r...
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Nous distinguerons quatre différentes statistiques qui proviennent ou non d'effets quantiques et qui

conduiront à quatre distributions distinctes connues. Ce sont les distributions de Maxwell, Maxwell-

Boltzmann, Fermi-Dirac et de Bose-Einstein. Elles trouvent de nombreuses applications en physique

comme le rayonnement du corps noir qui sera démontré dans le chapitre de Thermodynamique.

DISTRIBUTION DE MAXWELL (distribution des vitesses)

Pour un gaz en état d'équilibre, posons la question suivante :Quelle probabilité existe qu'une

molécule ait ses composantes de vitesse comprise

entre et , et , et dans un repère cartésien habituel ?

Cette probabilité dépend de (c'est-à-dire : ) et de . Elle ne dépend

pas de la position de la molécule puisque le gaz est supposé à l'équilibre par rapport à son centre de

masse.

Nous postulons dans un premier temps que est proportionnelle à chacun des

intervalles tel que :

(32.41)

et qu'il n'y a pas de directions privilégiées. Nous pouvons faire une rotation circulaire des axes

cartésiens, la probabilité sera inchangée (isotropie de l'espace).

L'isotropie amène que la fonction ne dépend pas du vecteur , au mieux elle dépend de la

norme de cette vitesse, tel que :

(32.42)

Soit la probabilité pour une molécule d'avoir sa composante suivant l'axe Ox comprise

entre et alors :

(32.43)

de même :

(32.44)

L'isotropie de l'espace impose :

(32.45)

La loi des probabilités composées implique :

(32.46)

Déterminer les fonctions f et relève de la méthodologie mathématique suivante :

(32.47)

Puisque :

(32.48)

Ce qui nous donne finalement :

(32.49)

Le membre de gauche de la dernière égalité dépend uniquement de v , celui de droite uniquement

de . Le résultat ne peut être qu'une constante que nous noterons . Il suit que :

(32.50)

En intégrant :

(32.51)

Donc :

(32.52)

et posons . Il vient donc :

(32.53)

Donc identique :

(32.54)

La loi des probabilités composées impliquant :

(32.55)

Nous avons finalement :

(32.56)

Remarquons que est nécessairement négatif sinon la probabilité pour une molécule d'avoir une

composante de vitesse infinie serait infinie ce qui voudrait dire que toutes les molécules seraient à

vitesse infinie et que l'énergie serait infinie !!!

Nous posons :

avec (32.57)

Finalement, il vient que :

(32.58)

Il nous reste à normaliser A. La probabilité pour une molécule d'avoir une composante de vitesse

comprise entre ou une intensité de vitesse comprise entre est égale à (100% de

chances).

Ainsi en utilisant exactement la même méthode calcul que celle vue dans le chapitre de Statistique

pour la loi Normale, nous avons:

(32.59)

Nous avons jusqu'ici parlé en terme de probabilités. Un langage équivalent consiste à chercher, dans

une enceinte contenant N molécules, le nombre dN de molécules ayant certaines caractéristiques, à

savoir par exemple, le nombre de molécules ayant une composante de vitesse comprise

entre et . Ce nombre étant bien évidemment égal dans une dimension à :

(32.60)

Plus généralement :

(32.61)

Pour obtenir dP nous nous plaçons dans l'espace des vitesses c'est-à-dire un repère cartésien de

coordonnées . Les composantes ne sont pas indépendantes puisque liées par la

relation :

(32.62)

L'extrémité des vecteurs vitesse ayant une intensité de vitesse v, c'est à dire des composantes de

vitesse liée par la relation ci-dessus, se trouve dans l'espace des vitesses sur la sphère de rayon v. Il

en sera de même pour l'extrémité des vecteurs vitesse ayant une intensité .

Dans l'espace des vitesses, nous délimitons une portion d'espace comprise entre la sphère de

rayon vet la sphère de rayon , de volume égale à .

La probabilité est proportionnelle à c'est-à-dire au volume élémentaire dans l'espace

des vitesses. Pour obtenir dP(v), nous devons intégrer à tous les vecteurs vitesse possibles c'est

à dire ayant leur extrémité entre les deux sphères. Cette intégration est particulièrement simple

puisque l'intensité v de la vitesse dans cette espace (inter-volume) est constante. Nous obtenons

donc :

(32.63)

et ainsi, dans une enceinte contenant N molécules, le nombre de molécules dN(v) ayant un module

de vitesse compris entre v et est :

(32.64)

Rappelon maintenant que conformément à ce que nous avons longuement étudié dans le chapitre de

Statistique, la valeur moyenne d'une grandeur G est le produit de G multipliée (pondérée) par

la probabilité d'obtenir G intégré à toutes les valeurs possibles de cette grandeur telle que :

(32.65)

où l'intégrale a été calculée en faisant un changement de variable et où nous avons ensuite

utilisé une intégration par parties.

Nous avons respectivement:

(32.66)

où l'intégrale a été calculée de la même manière.

Donc :

ou (32.67)

La thermodynamique, ou la mécanique des fluides (voir théorème du Viriel) nous donne pour un gaz

parfait monoatomique (cf. chapitres de Mécanique Des Milieux Continus et de Thermodynamique),

de capacité calorifique et volume constant :

(32.68)

Si nous formulons l'hypothèse que la partie de l'énergie liée à la température est due à l'agitation

cinétique des molécules, nous pouvons écrire :

(32.69)

Nous définissons alors la vitesse thermique moyenne par:

(32.70)

Une application pour l'électron dans le cas des semi-conducteurs (où nous approximons certaines

relations par une distribution de Maxwell-Boltzmann) donne une vitesse thermique à température

ambiante de 120'000 [m/s].

Mais pour en revenir à notre distribution.... Nous avons donc :

(32.71)

Ainsi, nous avons finalement :

(32.72)

Qui est donc la distribution des vitesses dans un gaz monoatomique dont voici un exemple de tracé

(les unités des axes en ordonnées sont arbitraires) :

(32.73)

La relation précédente donne donc la proportion des molécules de gaz ayant à un instant t donné

une vitesse v. Nous avons alors pour une direction spatiale (en adoptant les développements

précédents on tombe relativement facilement sur ce résultat):

(32.74)

Cette fonction de distribution correspond donc à une répartition gaussienne (cf. chapitre de

Statistiques) et permet donc de définir la vitesse la plus probable (le "mode" comme on dirait en

statistiques) notée , qui correspond au maximum de la courbe f(v), soit la où la dérivée première

est nulle :

(32.75)

Dès lors :

(32.76)

d'où :

(32.77)

et la vitesse moyenne (l'espérance) est alors donnée par :

(32.78)

Nous avons donc une intégrale du type :

(32.79)

Le mieux est de décomposer en et on intègre par parties. Nous avons alors :

(32.80)

La dernière intégrale est facilement calculable. C'est la même que dans le chapitre de Statistiques

pour la loi de Gauss-Laplace. Donc :

(32.81)

Il vient finalement :

(32.82)

DISTRIBUTION DE MAXWELL-BOLTZMANN (non corrigée)

En physique quantique corpusculaire, nous apprenons que l'énergie d'une particule est quantifiée,

c'est à dire que les valeurs possibles pour l'énergie forment un spectre discret. Même si, dans un

certain nombre de situations courantes, pour une particule et encore plus pour un système constitué

d'un grand nombre de particules, les niveaux d'énergie sont si serrés que nous pouvons traiter, sur

le plan mathématique, ce spectre comme continu (approximation du continuum), il n'empêche qu'en

toute rigueur ils sont quantifiés. Cette approche quantifiée de distributions physique au niveau

corpusculaire de la matière est souvent désignée sous le nom de "statistique quantique".

Une particule, ayant un niveau d'énergie , peut être dans différents sous-états.

Nous savons (nous n'avons pas utilisé l'équation de Schrödinger dans le chapitre de Physique

Quantique Corpusculaire pour le montrer strictement) que, pour décrire un atome, nous introduisons

quatre nombres quantiques, à savoir :

- le nombre quantique principal qui quantifie l'énergie

- le nombre quantique secondaire qui quantifie le moment cinétique

- le nombre quantique magnétique qui quantifie le moment magnétique

- le spin qui quantifie la rotation propre des électrons de l'atome

Ainsi pour une même énergie (pour une valeur particulière du nombre quantique principal), un

atome ou un électron peuvent posséder différentes valeurs des nombres quantiques secondaire,

magnétique ou de spin.

Pour qualifier la possibilité de sous-états correspondant à une même énergie, nous employons

l'expression "dégénérescence" et nous traduisons par la variable le nombre de dégénérescences

correspondant à un même niveau d'énergie .

Nous allons considérer un système composé de N particules qui se placent sur K différents niveaux

d'énergie . Nous trouvons particules sur le niveau d'énergie . Nous avons les relations

suivantes pour l'énergie totale (que nous notons par la même lettre que celle utilisée en

thermodynamique) et pour le nombre de particules (même remarque que pour l'énergie totale) :

(32.83)

Nous supposerons (c'est important) ces quantités constantes. Le système est entièrement déterminé

par la distribution des particules sur les K niveaux.

Il existe un grand nombre de configurations microscopiques possibles qui sont compatibles avec

la distribution . Il y en a (voir les permutations avec répétition dans le chapitre de Probabilités) :

(32.84)

Mais nous avons négligé la dégénérescence possible des niveaux i. S'il existe sous-niveaux dont

l'énergie est , nous avons alors :

(32.85)

Remarque: est donc la dégénérescence de l'état d'énergie , à savoir le nombre d'états

possédant cette énergie.

En prenant le logarithme, il vient :

(32.86)

et en utilisant la formule de Stirling (cf. chapitre de Méthodes Numériques) :

(32.87)

Nous avons :

(32.88)

Nous recherchons maintenant la distribution la plus probable, c'est-à-dire celle qui maximise .

Pour trouver l'extremum, nous allons différencier cette expression tel que :

(32.89)

Or, comme :

(32.90)

où sont des constantes qui permettent de s'assurer de la cohérence de l'analyse

dimensionnelle (des unités quoi...).

Il est donc équivalent et nécessaire d'écrire pour prendre en compte également ses paramètres

intrinsèques (le fait d'ajouter ainsi des termes nuls est nommé "méthode des multiplicateurs de

Lagrange"):

(32.91)

Donc :

(32.92)

ce qui donne après une première simplification (élimination simple de la dérivée des constantes):

(32.93)

Ce qui nous amène à écrire :

(32.94)

Ce qui nous donne finalement :

(32.95)

Mais cela équivaut aussi à rechercher :

(32.96)

d'où :

(32.97)

Rappelons que nous avons pour l'entropie de ce système :

(32.98)

et donc :

(32.99)

et comme :

(32.100)

Nous avons donc :

(32.101)

La thermodynamique nous conduit à (cf. chapitre de Thermodynamique) :

(32.102)

Or, si toutes les particules sont identiques donc :

(32.103)

Ce qui finalement conduit à :

(32.104)

et nous amène à :

(32.105)

et donc :

et (32.106)

Nous pouvons donc récrire la relation de Maxwell-Boltzmann :

(32.107)

Que nous retrouvons plus fréquemment dans la littérature sous la formes suivante:

(32.108)

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