Notes sur les éléments d'astronomie fondamentale - 2° partie, Notes de Astronomie. Université Claude Bernard (Lyon I)
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Notes sur les éléments d'astronomie fondamentale - 2° partie, Notes de Astronomie. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de sciences sur les éléments d'astronomie fondamentale - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le mouvement du Soleil, Coordonnées écliptiques.
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2.6. COORDONNÉES ÉQUATORIALES ET TEMPS SIDÉRAL LOCAL 25

soit : ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

sin h = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos H

cos h sin A = cos δ sin H

cos h cos A = − sin δ cos ϕ + cos δ sin ϕ cos H

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(2.3)

De la même manière, on peut établir les formules inverses :

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

sin δ = sin h sin ϕ − cos h cos ϕ cos A cos δ sin H = cos h sin A

cos δ cos H = sin h cos ϕ + cos h sin ϕ cos A

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(2.4)

2.6 Coordonnées équatoriales et temps sidéral local

On a vu que la sphère des fixes est animée d’un mouvement de rotation uniforme par rapport à la sphère céleste locale. Si on définit un système de coordonnées sur la sphère des fixes, les étoiles auront des coordonnées constantes dans ce système.

- Le pôle est le même que pour le repère horaire (ce point est fixe dans les deux re- pères). Le grand cercle origine est donc aussi l’équateur.

- L’origine sur l’équateur est le point γ. Ce point est a priori arbitraire. On verra dans le chapitre suivant (chap. 4) comment il est défini. Pour l’instant, il suffit de dire qu’il est proche de la constellation des Poissons.

Les coordonnées équatoriales sont :

- l’ascension droite α : angle γP∗ dans le sens direct

- la déclinaison δ : (la même que pour les coordonnées horaires)

Le mouvement de la sphère des fixes par rapport à la sphère locale permet de définir une échelle de temps : le temps sidéral local. Il est noté θ et c’est l’angle horaire du point γ.

26 CHAPITRE 2. COORDONNÉES SUR LA SPHÈRE CÉLESTE

Quelque soit l’étoile considérée et à chaque instant, on a :

H = θ − α (2.5)

P Z

*

γ α H θ

δ

Le mouvement diurne étant issu de la rotation de la Terre sur elle même, on peut relier les temps sidéraux de deux lieux différents. Soit deux lieux A et B sur la Terre, la différence entre leur heure sidérale est égale à la différence de leur longitude terrestre L. Si on compte positivement les longitudes à l’est, on a :

LA − LB = θA − θB (2.6)

Le jour sidéral est la durée qui s’écoule entre deux passages au Sud du point γ.

Chapitre 3

Le problème des deux corps

3.1 Formulation

On se donne un repère galiléen défini par le repère orthonormé suivant : <O = (Oxyz).

Soient deux points M1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x1

y1

z1

et M2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x2

y2

z2

de masses respectives m1 et m2. Ces

deux particules matérielles s’attirent selon la loi de Newton :

m1 d2 −−−→ OM1 dt2

= −K m1m2 r2

−−−−→ M2M1

r

m2 d2 −−−→ OM2 dt2

= −K m1m2 r2

−−−−→ M1M2

r

(3.1)

où r = M1M2 est la distance mutuelle et K la constante de gravitation universelle. (3.1) est un système différentiel d’ordre 2 avec 6 degrés de liberté. La résolution de ce problème d’ordre 12 nécessite donc d’introduire 12 constantes d’intégration arbitraires.

En ajoutant les deux équations de (3.1), on obtient d 2(m1

−−−→ OM1+m2

−−−→ OM2)

dt2 =

−→ 0 . En

introduisant le point G centre de gravité de M1 et M2 et si m1 + m2 6= 0, cette dernière expression devient d

2 −→ OG dt2

= −→ 0 . Le mouvement de G est donc rectiligne et uniforme. Sur

les 12 constantes arbitraires, 6 définissent ce mouvement (3 pour la position initiale de G, et 3 sa vitesse).

Le point O du repère : <O = (Oxyz) peut ainsi être pris en G. En utilisant −−−−→ M2M1 =

27

28 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

m1+m2 m2

−−−→ GM1 et

−−−−→ M1M2 =

m1+m2 m1

−−−→ GM2, on a :

d2 −−−→ GM1 dt2

= −K m 3

2

(m1+m2)2

−−−→ GM1 (GM1)3

d2 −−−→ GM2 dt2

= −K m 3

1

(m1+m2)2

−−−→ GM2 (GM2)3

(3.2)

Pour pouvoir écrire la première équation, on a simplifié les deux membres de l’égalité par m1. Cela signifie que m1 doit être non nulle. De la même manière m2 doit être elle aussi non nulle.

remarque :

Il n’est nécessaire de résoudre que l’une ou l’autre des deux équations car, par exemple, le mouvement de M2 se déduit de celui de M1 par

−−−→ GM2 = −m1m2

−−−→ GM1.

Le point G n’est pas un point physique dans le sens où il ne s’observe pas mais se calcule. C’est le mouvement relatif de M1autour de M2 qui est observé :

En soustrayant les deux équations de (3.1), toujours après avoir simplifié les deux membres de l’égalité par m1 ou m2, on obtient :

d2 −−−−→ M2M1 dt2

= −K(m1 + m2) −−−−→ M2M1

(M2M1)3 (3.3)

le problème képlérien :

(3.2) et (3.3) peuvent s’écrire :

∣∣∣∣∣∣∣ d 2−→r dt2

= −µ−→r r3

∣∣∣∣∣∣∣ (3.4)

où −→r = −−→OM et µ > 0. C’est le problème de Képler.

3.2. INVARIANCE DU MOMENT CINÉTIQUE ET DE L’ÉNERGIE 29

3.2 Invariance du moment cinétique et de l’énergie

Plan de l’orbite et loi des aires

Par l’équation (3.4), on a la relation suivante qui est vraie pour toute force centrale : −→r ∧ d2−→r

dt2 =

−→ 0 , que l’on peut encore écrire d

dt (−→r ∧ d−→r

dt ) =

−→ 0 , c’est à dire :

∣∣∣∣∣∣∣ −→r ∧ d −→r dt

= −→ G (Cste)

∣∣∣∣∣∣∣ invariance du moment cinétique (3.5)

Les vecteurs −→r et d−→r dt

seront donc toujours orthogonaux à −→G . Ce qui signifie que, si −→ G 6= −→0 , le mouvement se fait dans le plan passant par le point O et orthogonal à −→G .

De plus, si on note dS l’élément d’aire parcouru par le rayon vecteur −→r pendant l’élé- ment de temps dt,

dS

O M

dr −>

r−>

on a Gdt = 2dS puisque ∥∥∥−→r ∧ −→dr

∥∥∥ = Gdt. Ce qui donne la loi des aires : dS dt

= G/2

(=Cste). Ainsi, l’orientation de −→G indique le plan du mouvement et son module donne la loi des aires. Si −→G=−→0 , le mouvement est rectiligne et porté par la direction commune de −→r et d−→r

dt .

Energie d’une orbite

En remarquant que ∂ ∂ −→r (

µ r ) = −µ−→r

r3 , où ∂

∂ −→r correspond à l’opérateur

−−→Grad qui est un opérateur de dérivation, et en multipliant l’expression (3.4) par d

−→r dt

, on obtient :

d −→r dt

.d 2−→r dt2

− d−→r dt

. ∂ ∂ −→r (

µ r ) = 0

ou encore d dt

(1 2

d −→r dt

.d −→r dt

) − d dt

(µ r ) = 0

En notant v la vitesse (ie : v = √

d −→r dt

.d −→r dt

), on a d dt

(1 2 v2 − µ

r ) = 0. Soit :

∣∣∣∣∣∣∣ 12v 2 − µ

r = h (cste)

∣∣∣∣∣∣∣ intégrale de l’énergie (3.6)

30 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

Si h est négatif alors r est borné et le corps ne peut s’éloigner à l’infini. Inversement, si on suppose que le corps peut s’éloigner à l’infini (c’est à dire si r → ∞, et dans ce cas h doit être positif) alors

√ 2h représente la “vitesse à l’infini”.

3.3 Résolution dans le plan de l’orbite

Dans le plan du mouvement, on repère M par ses coordonnées polaires (r, θ). L’inté- grale des aires est :

−→r ∧ d −→r dt

= −→r ∧ (d −→r dθ

. dθ

dt ) =

−→ G

d’où : r2

dt = G (3.7)

On a aussi besoin de l’intégrale de l’énergie :

h = 1

2 v2 − µ

r

Puisque ∥∥∥∥∂ −→r ∂r

∥∥∥∥ = 1, ∥∥∥∥∂ −→r ∂θ

∥∥∥∥ = r et que ∂ −→r ∂r

⊥∂−→r ∂θ

, on peut écrire :

v2 = d−→r dt

. d−→r dt

= ( ∂−→r ∂r

dr

dt +

∂−→r ∂θ

dt )2 = (

dr

dt )2 + r2(

dt )2

éliminons dt par (3.7), c’est à dire dt = r 2

G dθ :

v2 = G2 [

1

r4 ( dr

dθ )2 +

1

r2

]

En posant u = 1 r

(et donc du = −u2dr), on obtient :

v2 = G2 [ u4(

du

−u2dθ ) 2 + u2

]

On en déduit la première formule de Binet :

v2 = G2 ( u2 + (

du

dθ )2 )

(3.8)

3.4. LES MOUVEMENTS ELLIPTIQUES, PARABOLIQUES ET HYPERBOLIQUES31

En substituant cette expression dans h, on a :

G2

2

( u2 + (

du

dθ )2 ) − µu = h

On dérive cette expression par rapport à θ :

G2 ( u du

dθ +

du

d2u

dθ2

) − µdu

dθ = 0

, ce qui donne la deuxième formule de Binet :

d2u

dθ2 + u =

µ

G2 (3.9)

C’est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants avec second membre. Les solutions peuvent s’écrire :

u = µ

G2 + λ cos(θ − α) , soit encore r = 1µ

G2 + λ cos(θ − α)

λ et α étant des constantes réelles arbitraires. En posant p = G2/µ et e = λG2/µ, on a :

r = p

1 + e cos(θ − α) (3.10)

Remarque : α représentante la direction du péricentre.

3.4 Les mouvements elliptiques, paraboliques et hyper- boliques

En coordonnées polaires dans un repère (O−→u0−→v0) où (O−→u0) est la direction du péri- centre on a la formule :

r = p

1 + e cos W avec p = G2/µ (3.11)

W est appelée anomalie vraie.

On a bien évidemment :

1 − e ≤ 1 + e cos W ≤ 1 + e

32 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

M

C O Ou

ae

W

2a

°

r

FIG. 3.1 – Ellipse du mouvement képlérien

Il faut donc discuter suivant la nature de la conique.

– Si e < 1, la trajectoire est une ellipse (si e = 0, c’est un cercle et (O−→u0) est choisi arbitrairement) et :

rm = p

1 + e ≤ r ≤ rM =

p

1 − e Ainsi rm est atteint pour W = 0, et rM pour W = π. Si on note 2a la distance entre le péricentre et l’apocentre, 2a = rm + rM (a est appelé le demi-grand axe) et on a

p = a(1 − e2) rm = a(1 − e) (3.12) rM = a(1 + e)

– Si e > 1, la trajectoire est une hyperbole et on a :

0 ≤ 1 + e cos W ≤ 1 + e

et donc : p

1 + e ≤ r (≤ +∞)

La limite ∞ correspond à 1 + e cos W = 0, c’est à dire quand W tend vers l’angle W∞ = + arccos(−1/e) ou vers l’angle −W∞. On utilisera plutôt l’angle δ, appelé angle de dévia-

3.4. LES MOUVEMENTS ELLIPTIQUES, PARABOLIQUES ET HYPERBOLIQUES33

ae

2a

C

O Ou °

W

W∞

δ

M

O’

r

FIG. 3.2 – Hyperbole du mouvement képlérien

tion puisqu’il correspond à la déviation angulaire d’un corps qui a mouvement (presque) rectiligne et uniforme et qui retourne, après avoir interagit avec un autre corps, sur un autre mouvement (presque) rectiligne et uniforme. δ est lié à W∞ par δ = π−2(π−W∞), soit :

δ = 2W∞ − π (3.13)

La branche de l’hyperbole en pointillés serait la courbe parcourue par M si p était négatif, c’est à dire si µ < 0 (répulsion). On peut encore noter 2a la distance entre le péricentre et “l’apocentre” (ici le symétrique du péricentre par rapport à C), d’où

2a = − p 1 − e −

p

1 + e =

p(1 + e) + p(1 − e) e2 − 1

soit encore :

p = a(e2 − 1) (3.14) rm = a(e − 1)

– Si e = 1, la trajectoire est une parabole on a p 2 ≤ r (≤ +∞). On ne peut définir dans

ce cas de demi-grand axe. La parabole est un cas limite entre l’ellipse et l’hyperbole. On peut se la représenter mentalement comme une ellipse dont le deuxième foyer (et donc l’apocentre ou même le centre C) est rejeté à l’infini1.

1Réciproquement, on peut aussi imaginer une “hyperbole limite” même si c’est plus difficile. Le

34 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

M

O Ou

W

°

r

p/2

FIG. 3.3 – Parabole du mouvement képlérien

On a vu que h = (e2 − 1)µ/p, d’où : ∥∥∥∥∥∥∥∥∥

h = − µ 2a

pour le cas elliptique h = 0 pour le cas parabolique h = + µ

2a pour le cas hyperbolique

(3.15)

C’est donc le signe de h qui caractérise la nature de la conique et |h| caractérise sa taille. Cette formule (3.15) est importante car avec l’intégrale de l’énergie (3.6), elles per- mettent de résoudre très facilement quelques petits problèmes comme ceux liés aux calculs de la vitesse de libération, la vitesse circulaire.

Exercice : vitesse de libération, vitesse de satellisation, nuage de Oort, ...

On a ainsi vu 5 constantes arbitraires (pour −→G 6= −→0 ) :

  

−→ G (3)

h (1)

direction de(Ou0) (1)

ou

  

direction de −→G (2 angles) a (1)

e (1)

direction de(Ou0) (1)

La sixième constante arbitraire est issue du mouvement sur la trajectoire que nous allons voir dans la section suivante.

deuxième foyer est rejeté à l’infini et donc aussi la deuxième branche. W∞ tend vers π mais le centre C étant rejeté à l’infini, cela “donne” une branche parabolique de direction asymptotique (Ou0).

3.5. MOUVEMENT SUR LA TRAJECTOIRE (CAS ELLIPTIQUE) 35

3.5 Mouvement sur la trajectoire (cas elliptique)

La trajectoire est définie par :

r = a(1 − e2)

1 + e cos W avec e < 1

, et le mouvement sur la trajectoire est donné par la loi des aires :

r2dW = Gdt où G2 = µp = a(1 − e2)µ

En définissant tp comme étant l’instant de passage au péricentre (ie : en t = tp, W = 0), on obtient : ∫ W

0 r2dW = G(t − tp)

soit encore :

I = ∫ W

0

dW

(1 + e cos W )2 = [ a(1 − e2)

]−3/2 √ µ (t − tp)

Calculons I . Pour ramener l’expression à celle d’une fraction rationnelle, on doit po- ser :

X = tan W

2 , d’où

dW

dX =

2

1 + X2 et cos W =

1 − X2 1 + X2

On obtient donc2 : I =

∫ X

0

2(1 + X2)dX

[(1 + X2) + e(1 − X2)]2

Pour intégrer une fraction rationnelle, il est souvent judicieux de la décomposer en élé- ments simples. Celle-ci est déjà un élément “simple” car l’expression dans le crochet (1 − e)X2 + (1 + e) est non nul. On pose donc

Y 2 = 1 − e 1 + e

X2 afin que le crochet devienne (1 + e)(1 + Y 2)

Puisque

Y dY = 1 − e 1 + e

XdX et 1 + X2 = 1 + 1 + e

1 − eY 2

2Mathématiquement la notation ∫ X 0

f(X)dX n’a pas de sens. Il faudrait utiliser une autre notation pour le X de l’une des deux bornes de l’intégrale ce qui alourdirait beaucoup les notations.

36 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

, on a :

I = ∫ Y

0

2 [(1 − e) + (1 + e)Y 2] (1 − e)(1 + e)2(1 + Y 2)2

√ 1 − e 1 + e

1 + e

1 − edY

= 2

(1 − e)3/2(1 + e)3/2 [∫ Y

0

dY

1 + Y 2 − e

∫ Y

0

1 − Y 2 (1 + Y 2)2

dY

]

Il suffit de poser Y = tan E 2

pour avoir simplement :

I = 1

(1 − e2)3/2 [∫ E

0 dE − e

∫ E

0 cos EdE

]

On a ainsi : a−3/2

√ µ(t − tp) = E − e sin E

Il est commode de poser

n = a−3/2 √

µ et M = n(t − tp)

M est un angle et n une vitesse angulaire appelée moyen mouvement. En un instant t+ 2π n

, M augmente de 2π. Or M = E − e sin E, donc E augment de 2π. Et puisque tan W

2 =√

1+e 1−e

tan E 2

, W augmente aussi de 2π. On en déduit que r est périodique de W , E et M de période 2π. De plus W , E et M s’annulent en même temps en t = tp. Le mouvement est périodique de période T = 2π

n et on a la troisième loi de Képler :

n2a3 = µ ou a3

T 2 =

µ

4π2 (3.16)

En résumé :

(a) r = a(1−e 2)

1+e cos W W est l’anomalie vraie

(b) tan W 2

= √

1+e 1−e

tan E 2

E est l’anomalie excentrique

(c) M = n(t − tp) M est l’anomalie moyenne (d) n2a3 = µ (e) M = E − e sin E équation de képler

(3.17)

De cette manière si les éléments d’orbite sont donnés3et si µ est donné alors, à une date t,

3soit la position du plan de l’orbite, la direction du périastre, l’excentricité, le demi-grand axe et tp.

3.5. MOUVEMENT SUR LA TRAJECTOIRE (CAS ELLIPTIQUE) 37

on calcule :

M par (c), n étant donné par (d)

E en résolvant l’équation de Képler (e)

W par (b)

r par (a)

Au lieu de calculer r et W , on peut vouloir les coordonnées cartésiennes x = r cos W

y = r sin W .

cos W = 1 − X2 1 + X2

= 1 − 1+e

1−e Y 2

1 + 1+e 1−e

Y =

(1 − e) − (1 + e)Y 2 (1 − e) + (1 + e)Y 2 =

(1 − Y 2) − e(1 + Y 2) (1 + Y 2) − e(1 − Y 2)

= cos E − e

1 − e cos E

sin W = 2X

1 + X2 =

√ 1 + e

1 − e Y

1 + 1+e 1−e

Y 2

= = √

1 − e2 2Y (1 − e) + (1 + e)Y 2 =

√ 1 − e2 2Y

(1 + Y 2) − e(1 − Y 2)

= √

1 − e2 sin E 1 − e cos E

1 + e cos W = (1 − e cos E) + (e cos E − e2)

1 − e cos E ⇒ r = a(1 − e cos E)

On a ainsi : r = a(1 − e cos E)

x = r cos W = a(cos E − e)

y = r sin W = a √

1 − e2 sin E

(3.18)

Ces formules permettent d’interpréter géométriquement l’angle E (fig.3.4). Une el- lipse est déduite de son cercle principal C(c, a) par une affinité de rapport b

a =

√ 1 − e2

perpendiculaire au grand axe. On peut aussi remarquer que, si on limite à l’ordre 1 en e,

38 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

(Ou ) °

P’

P

r

WE

C O

FIG. 3.4 – L’ellipse déduite de son cercle principal

on obtient x = a(cos E − e) y = a sin E

. Ainsi, pour de petites excentricités, l’ellipse pourra être

vue comme un cercle excentré, c’est à dire dont le centre est à la distance ae de O.

3.6 Eléments d’orbites

L’intégration du problème képlérien a fait apparaître 6 constantes arbitraires en plus du paramètre µ : 

 

−→ G/G (2)

direction de(Ou0) (1) h ou a (1)

e (1)

tp (1)

On a vu que R0 = (O−→u0,−→v0 , −→ G G

) est le repère propre de la trajectoire. Il faut repérer R0 par rapport à un repère extérieur indépendant R = (Oijk). Cela peut se faire par les classiques angles d’Euler4 : Ω, i, ω

4Les angles d’Euler sont issues de la succession de rotations dans “l’ordre 313”, c’est à dire une rotation de Ω autour du troisième axe, puis une rotation de i autour du (nouveau) second axe et une rotation de ω autour du (nouveau) troisième axe. On aurait pu imaginer d’autres successions mais celle définissant les angles d’Euler est la plus utilisée.

3.6. ELÉMENTS D’ORBITES 39

i

v °

°

G/G

u

k

Ω ω

i

j

i

Ω = longitude du noeud (ascendant)

i = inclinaison ω = argument du

péricentre

Ces trois angles dépendent évidemment du choix de R. Il se peut que i = 0◦, dans ce cas Ω n’est pas défini ainsi que ω. Plus généralement, si i est petit, Ω et ω sont mal déterminés. Pour éviter ce problème on utilise plutôt

$ = Ω + ω longitude du péricentre (3.19)

De la même manière si e est petit W , E et M sont mal déterminés. C’est pourquoi on utilise :

l = $ + W longitude vraie

F = $ + E longitude excentrique (3.20)

λ = $ + M longitude moyenne

A la place de tp, lui aussi mal défini si e est petit, on utilise λ0 = λ(t0), où t0 est une date origine choisie arbitrairement (par exemple : t0 = J2000 c’est à dire le 1 janvier 2000 à 12h).

40 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

TAB. 3.1 – Eléments moyens des orbites héliocentriques des principales planètes du système solaire, rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe moyens J2000 et pour la date t0 =J2000.

a e i Ω $ λ0 n ua ◦ ◦ ◦ ◦ ′′/jour

Mercure 0, 38710 0, 2056 7, 00 48, 33 77, 46 252, 25 14732, 42 Vénus 0, 72333 0, 0068 3, 39 76, 68 131, 56 181, 98 5767, 67 Terre 1, 00000 0, 0167 0, 00 - 102, 94 100, 47 3548, 19 Mars 1, 52368 0, 0934 1, 85 49, 56 336, 06 355, 43 1886, 52

Jupiter 5, 20260 0, 0485 1, 30 100, 46 14, 33 34, 35 299, 128 Saturne 9, 55491 0, 0555 2, 49 113, 66 93, 06 50, 08 120, 455 Uranus 19, 21845 0, 0463 0, 77 74, 01 173, 00 314, 05 42, 231

Neptune 30, 11039 0, 0090 1, 77 131, 78 48, 12 304, 39 21, 534 Pluton 39, 44 0, 2485 17, 13 110, 7 224, 6 237, 7 14, 3

Ainsi on considère souvent les éléments d’orbite suivant :

(a, e, i, Ω, $, λ0)

ou encore (a, z, ζ, λ0)

où z = e exp

√ −1$ et ζ = sin i

2 exp

√ −1Ω

Ces variables complexes ont l’avantage d’être régulières. En effet si e est nul, $ n’est pas définie mais les deux coordonnées cartésiennes le sont puisque z = 0 (de même avec ζ).

Le tableau (3.1) donne les éléments moyens des orbites héliocentriques des principales planètes du système solaire, rapportés à l’écliptique et à l’équinoxe moyens J2000 (voir Chap. 4) et pour la date t0 =J2000.

De plus, le tableau (3.2) donne les masses des principales planètes du système solaire et le tableau (3.3) celles de quelques uns des satellites de ces planètes.

3.7 La navigation spatiale

La technique du tremplin gravitationnel qui est très utilisée en navigation spatiale, consiste à utiliser la masse d’un gros corps (par exemple Jupiter) pour dévier une trajec-

3.7. LA NAVIGATION SPATIALE 41

TAB. 3.2 – Inverse de la masse des principales planètes du système solaire. L’unité de masse est la masse du Soleil.

Mercure 6 023 600 Saturne 3498,5 Vénus 408 523,5 Uranus 22 869

Terre + Lune 328 900,5 Neptune 19 314 Mars 3 098 710 Pluton 130 000 000 ∗

Jupiter 1047,355 Cérès 1 700 000 000

∗ Avant la découverte de son satellite Charon en 1978 qui a permis d’évaluer correctement la masse de Pluton grâce à la toisième loi de Képler, cette masse était surestimée à 1 / 3 000 000.

TAB. 3.3 – Inverse de la masse des principaux satellites de planètes. L’unité de masse est la masse de la planète correspondante.

planète satellite mplanète msatellite

planète satellite mplanète msatellite

Terre Lune 81, 301 Mars Phobos 50 500 000 Deimos 360 000 000

Jupiter Io 21 276, 6 Europe 39 062, 5 Saturne Mimas 15 800 000

Ganymède 12 755, 1 Encelade 11 000 000 Callisto 17 857, 1 Téthys 943 400

Dioné 509 400 Uranus Miranda 1 300 000 Rhéa 231 000

Ariel 64 000 Titan 4225, 86 Umbriel 74 000 Hypérion 30 000 000 Titania 24 600 Japet 320 000 Obéron 28 800

Neptune Triton 4780 Pluton Charon 8, 0 Néréide 5 000 000

42 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

toire.

Une sonde voyage dans le système solaire suffisamment loin des autres planètes et notamment de Jupiter. Ainsi on suppose que son mouvement est képlérien avec

µ = KM d’origine ⊙

Ensuite, cette trajectoire amène la sonde dans le voisinage de Jupiter. On peut défi- nir une “sphère d’influence” à Jupiter, à l’intérieur de laquelle l’influence du Soleil est (considérée) négligeable par rapport à celle de Jupiter (et inversement à l’extérieur de cette sphère). Dans la description qui suit, il n’est pas nécessaire de définir plus précisé- ment cette sphère5car on suppose que la sonde passe très rapidement près de Jupiter de manière à ce que l’on puisse négliger le temps d’interaction avec Jupiter (quelques heures) par rapport au temps de parcours de l’orbite héliocentrique (quelques années). On a donc à l’intérieur de la sphère d’influence un mouvement képlérien hyperbolique avec

µJ = KMJ d’origine J

Le mouvement est nécessairement hyperbolique puisque, vue de Jupiter, la sonde “ar- rive de l’infini” avec une vitesse (à l’infini) non nul (voir 3.6).

A la sortie de la sphère d’influence, la vitesse jovicentrique a simplement changé de direction et donc la vitesse héliocentrique a changé (en direction et en module).

La formule (3.13) nous donne la déviation de la vitesse jovicentrique (figure 3.5) :

sin δ

2 = sin(

−π + 2W∞ 2

) = − cos W∞ = 1/e

Or h = + µ 2a

= V 2 ∞

2 et rm = a(e − 1). On en déduit :

sin δ

2 =

1

1 + rmV 2 ∞

µ

(3.21)

5Si on le faisait notre description resterait quand même une approximation.

3.7. LA NAVIGATION SPATIALE 43

V

V V

Jup/Sol

V Jup/Sol

e α /Jup

VV α /Jup s

V eα /Jup

V s/Jupα

δ

J b

rm

en sortie:

en entrée:

FIG. 3.5 – Principe du tremplin gravitationnel

Puisque b = a √

e2 − 1, on peut aussi écrire :

sin2 δ

2 =

1

1 + b 2V 4

µ2

(3.22)

La figure (3.5) aide à comprendre l’approximation qui est faite ici. Celle-ci consiste à supposer que le mouvement héliocentrique de la sonde juste avant l’interaction avec Jupiter est rectiligne et uniforme (avec la vitesse

−→ V e ∞

) ce qui permet de l’assimiler à la première asymptote (de même après l’interaction avec la deuxième asymptote). Cette sup- position signifie que le temps d’interaction est très court. C’est en ce sens que le tremplin gravitationnel peut être assimilable à un choc : “instantanément” le vecteur vitesse de la trajectoire est changé. C’est pour cela que l’on parle aussi de “billard” gravitationnel, la loi du changement de vitesse étant donnée ici par (3.21) ou (3.22).

44 CHAPITRE 3. LE PROBLÈME DES DEUX CORPS

Chapitre 4

Le mouvement du Soleil

Le Soleil se déplace sur la sphère des fixes, c’est à dire α et δ ne sont pas constants. - Les variations de δ s’observent par

la variation de la durée du jour de la hauteur du Soleil à midi d’azimut au coucher du Soleil (ou au lever)

- Les variations de α s’ “observent” par

le déplacement du Soleil dans les constellations du zodiac.

4.1 Coordonnées écliptiques

Puisque le mouvement du Soleil autour de la Terre est pratiquement une courbe plane, le mouvement du Soleil parmi ces constellations est un grand cercle. On le nomme écliptique. On observe que le Soleil parcourt tout l’écliptique en 366,2 jours sidéraux. Ce temps est appelé l’année.

Soit E le pôle de l’écliptique, on a :

ÊP = ω = 23◦26′

P étant le pôle céleste nord. ω est appelé l’obliquité.

Le point γ, vu au chapitre 2) est défini par l’intersection de l’écliptique avec l’équateur pour lequel le Soleil passe avec une déclinaison croissante (équinoxe de printemps).

Ce point est l’origine sur l’écliptique et les coordonnées écliptiques sont donc :

45

46 CHAPITRE 4. LE MOUVEMENT DU SOLEIL

M ω

b

l

δ

γ éclipt

ique

équateur

P E

α

π/2 − δ

π/2 − b

M

E

P

π/2 − l

π/2 + α

FIG. 4.1 – Coordonnées équatoriales et écliptiques

l = longitude céleste b = latitude céleste La figure (4.1) permettrait d’écrire, comme précédemment, les formules de change-

ments de coordonnées. Il n’est pas utile ici de le faire. Ecrivons seulement ces formules dans le cas du Soleil, c’est à dire le cas où b = 0. On a :

sin δ = sin ω sin l

tan α = cos ω tan l (4.1)

S

l

ωγ α

δ

4.2 Première approximation :

mouvement uniforme du Soleil en ascension droite

Cette “hypothèse” serait exacte si e = 0 (en fait e = 0, 0167) et si ω = 0 ! Cette approximation grossière a été utilisée en France jusqu’en 1816 pour l’établissement des échelles de temps. Ces échelles de temps sont matérialisées par les cadrans solaires.

4.3. EQUATION DU TEMPS : 47

On suppose donc que :

dθ = 1 tour par an (=Cst) =

1

366, 2 tour par jour sidéral

, et puisque en (2.5) on a vu que H = θ − α :

dH

dθ = 1 − dα

= 1 − 1 366, 2

= 365, 2

366, 2 tour par jour sidéral

On définit le jour solaire par dH dt

= 1 tour par jour solaire.

On a donc

366, 2 jours sidéraux = 365, 2 jours solaires = 1 an

1 jour solaire = 1 j 0 h 3 mn 56, 6 s de temps sidéral

1 jour sidéral = 23 h 56 mn 4, 1s de temps solaire

On définit aussi le temps solaire local par :

t = H ± 12 h (4.2)

Il est ainsi 12h quand le Soleil est au méridien.

Comme pour le temps sidéral, les temps solaires de deux lieux A et B de longitudes terrestres respectives LA et LB sont reliés par :

tB − tA = LB − LA (4.3)

4.3 Equation du temps :

mouvement “réel” du Soleil

Le mouvement du Soleil n’est pas uniforme le long de l’écliptique puisque l’orbite de la Terre a une excentricité de 0, 0167. De plus, si on “lit” l’heure par l’ascension droite, il faut tenir compte de l’obliquité. Pour ces deux raisons, le mouvement du Soleil n’est

48 CHAPITRE 4. LE MOUVEMENT DU SOLEIL

pas uniforme en α. C’est l’écart au mouvement uniforme qui sera appelé l’“équation du temps”.

4.3.1 partie due à l’excentricité

Le mouvement du Soleil dans le plan de l’écliptique suit la loi des aires. Celle-ci est donnée par les formules vues au chapitre 3 que nous rappelons ici :

M = E − e sin E M = 2π T

(θ − θ0)

tan W

2 =

√ 1 + e

1 − e tan E

2 θ0 ≈ 4 janvier

l = $ + W $ = 282◦ 56′

θ0 représente l’instant de passage au péricentre et $ la longitude du péricentre. Ainsi l est bien la longitude du Soleil comptée sur l’écliptique à partir du point γ.

Calculons W en fonction de M à l’ordre 1 par rapport à e :

W = M + (W − E) + (E − M)

Or E − M = e sin E ' e sin M

Par ailleurs, W − E se calcule par tan W 2

= √

1+e 1−e

tan E 2

qui est une formule de la forme tanu = (1 + ε) tan v, car

√ 1 + e

1 − e ' √

(1 + e)(1 + e) = 1 + e

Développons tan u au voisinage de v :

tan u ' tan v + 1 cos2 v

(u − v)

, ainsi

tan u − tan v = ε tan v ' u − v cos2 v

c’est à dire u − v ' ε sin v cos v

4.3. EQUATION DU TEMPS : 49

On en tire le petit lemme suivant :

L’expression tanu = (1 + ε) tan v s’exprime approximativement

(à l’ordre 1 en ε) par u − v = ε 2 sin 2v.

On en déduit ici :

W

2 − E

2 ' e

2 sin 2

E

2 c.a.d. W − E ' e sin E ' e sin M

, d’où finalement :

W = M + (W − E) + (E − M) = M + 2e sin M

La longitude du Soleil s’écrit ainsi :

l = $ + M + 2e sin M (4.4)

avec $ = 282◦ 56′ , e = 0, 0167 , M =

T (θ − θ0) et θ0 ≈ 4 janvier

application à la durée des saisons

L’équinoxe de printemps correspond à l = 0◦, il faut donc résoudre (numériquement) :

0◦ = 282◦56′ + M + 115′ sin M

On trouve M = 75◦13′ = 0, 2089 tour, d’où θ − θ0 = 0, 2089 an = 76, 3 jours solaires (moyens). On en déduit encore que θ = 4 janvier +76, 3 jours = 80, 3 janvier = 49, 3 février = 21, 1 mars.

De même, en faisant l = 90◦ (solstice d’été), l = 180◦ (équinoxe d’automne) et l = 270◦ (solstice d’hiver), on trouve :

début de la saison durée (jours)

printemps 21,1 mars 92,7 été 21,8 juin 93,7

automne 23,5 septembre 89,8 hiver 22,3 décembre 89,0

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