Notes sur les éléments d'astronomie fondamentale - 3° partie, Notes de Astronomie
Eleonore_sa
Eleonore_sa7 mars 2014

Notes sur les éléments d'astronomie fondamentale - 3° partie, Notes de Astronomie

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Notes de sciences sur les éléments d'astronomie fondamentale - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La Terre, Représentation astronomique de la Terre, Figure de la Terre : le Géoïde
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4.3. EQUATION DU TEMPS : 51

FIG. 4.2 – Equation du temps (en minutes) pour 2003 (réalisé avec le logiciel “Shadow 1.5.4”)

où αm est la partie linéaire de α. De cette manière l’angle horaire du Soleil s’écrit

H = (θ − α) = (θ − αm) − E

, soit encore H = Hm − E

L’expression de E est appelée “équation du temps” et elle est représentée pour 2003 sur la figure (4.2).

Les notions introduites dans la section (4.2) restent vraies si on ajoute le qualificatif moyen.

52 CHAPITRE 4. LE MOUVEMENT DU SOLEIL

FIG. 4.3 – Courbe en 8 montrant l’effet de l’effet de l’équation du temps dans le ciel de Crimée (V. Rumyantsev/observatoire de Naucsny). On a superposé des images du Soleil prises de 10 jours en 10 jours le matin à la même heure

Le temps solaire moyen local est :

t = Hm ± 12 h (4.7)

Le jour solaire moyen est tel que dHm dt

= 1 tour par jour solaire moyen.

Les autres sont qualifiées de vraies : Le temps solaire vrai local est H ± 12h. Le terme de “temps” est ici impropre car il ne peut s’identifier au temps newtonien (celui que l’on utilise dans les équations de la mécanique). C’est pourtant ce “temps” qui est donné par les cadrans solaires.

Le temps newtonien est accessible par le temps solaire moyen.

Enfin, le temps solaire moyen local de Greenwich est appelé Temps Universel (TU ou UT pour Universal Time).

En superposant des images du Soleil prises de 10 jours en 10 jours à la même heure, on

4.4. PRÉCESSION 53

devine une courbe en 8. Si cette photo est faite vers midi l’axe du 8 est vertical sinon celui- ci est incliné comme sur la photo de la figure (4.3). L’axe de symétrie du 8 correspond aux variations en déclinaisons et l’axe perpendiculaire (donc suivant l’équateur céleste) représente les écarts dus à l’équation du temps.

Cette courbe en 8, appelée aussi analemne, est quelques fois déssinée sur les cadrans solaires. Cela permet d’effectuer, directement à la lecture, la correction due à l’équation du temps.

Quand E est maximun ou minimum, l’heure donnée par un cadran solaire est erronée (l’erreur atteint plus de 16 minutes le 31 octobre) mais la marche du cadran est juste puisquedE

dt = 0 pour ces dates. Inversement aux points d’inflexion dE

dt est extrémum. Par

exemple le 22 décembre, dE dt

= 3, 2 10−4 et donc le jour solaire vrai à cette date est 24h 0mn 28s.

4.4 Précession

Jusqu’à maintenant, on a supposé que le point γ était fixe. Or, l’action conjuguée de la Lune et du Soleil sur le bourrelet équatorial de la Terre fait que l’axe de rotation de la Terre tourne autour du pôle de l’écliptique à la manière d’une toupie dont l’axe de rotation tourne autour de la verticale (figure 4.4).

L’axe de rotation de la Terre parcourt le cercle de précession en 26 000 ans . Ainsi le point γ ou point vernal dont la longitude est 0 par définition se déplace parmi les étoiles. Ce mouvement est appelé précession des équinoxes (précession car il se déplace en sens inverse du Soleil). Le point γ tourne donc sur l’écliptique à raison de 1 tour en 26 000 ans (25 778 ans plus exactement).

Le temps que met la longitude du Soleil pour augmenter de 360◦ est l’année tropique qui est égale à 365,242 198 79 jours solaires moyens. Or partant du point vernal γ1 d’une année et arrivant au point γ2 de l’autre année, le Soleil doit encore parcourir l’arc γ̂1γ2 =

1 25778

tour = 50,′′ 275. Le temps mis pour faire un tour complet sur l’écliptique est donc plus long, c’est l’année sidérale.

54 CHAPITRE 4. LE MOUVEMENT DU SOLEIL

pole de l’écliptique

cercle de précession

l’orbite lunaire plans extremes de

écliptique

équateur

23°,5

^

^

ax e

de ro

ta tio

n te

rr es

tre

FIG. 4.4 – Action conjuguée de la Lune et du Soleil sur le bourrelet équatorial de la Terre qui induit le phénomène de précession.

4.4. PRÉCESSION 55

Calendrier grégorien

Ce calendrier est universellement reconnu.2 Il est basé sur l’année tropique afin que l’année civile soit calée sur le rythme des saisons.

En 46 avant JC, Jules César fixait l’équinoxe de printemps au 25 mars et imposait le système des années bissextiles : 3 années communes de 365 jours sont suivies d’une année bissextile de 366 jours (celle dont le millésime est divisible par 4). Ainsi la durée moyenne de l’année dite julienne vaut 365.25 jours. L’écart avec l’année tropique est donc de 0, 0078 jour (par an).

En 1582 le calendrier julien ayant pris de l’avance sur les saisons, le printemps tombait le 11 mars. C’est pourquoi le Pape Grégoire XIII décréta que le jeudi 4 octobre 1582 serait suivi du vendredi 15 octobre. Il ne supprima donc que 10 jours afin que le printemps soit le 21 mars ( pour respecter les choix du Concile de Nicée relatif à Pâques qui ne doit pas être fêté à la nouvelle lune). Mais surtout, il décréta une diminution de l’année civile de 0, 0075 jour : les années séculaires rondes ne sont bissextiles que si le nombre des centaines est divisible par 4. Ainsi, les années 1700, 1800, 1900 sont communes alors que l’année 2000 est bissextile. La durée moyenne de l’année civile est maintenant de 365 + 1/4 − 3/400 = 365, 2425 jours, la différence avec l’année tropique n’est plus que de 0, 0003 jour. Cette différence ne sera visible que dans environ 3000 ans (décalage de 1 jour).

Le calendrier grégorien a été adopté immédiatement en Italie, Espagne et Portugal. En France, c’est le roi Henri III qui décréta la suppression de 10 jours la même année, le dimanche 9 décembre 1582 étant suivi du lundi 20 décembre. Les anglais passèrent du calendrier julien au calendrier grégorien en 1752 (le lendemain du mercredi 2 septembre 1752 étant le jeudi 14 septembre3). Les autres pays n’ont adopté le calendrier grégorien que plus tard : le Japon en 1873, la Bulgarie et l’Albanie en 1912, la Russie en 19184, la Chine en 1912, la Roumanie et la Yougoslavie en 1919, la Grèce en 1923, la Turquie en 1926.

2Les autres calendriers sont éventuellement utilisés en parallèle pour organiser diverses traditions cultu- relles ou religieuses.

3Cela provoqua quelques émeutes car la population pensait que le gouvernement essayait de leur voler onze jours de salaire.

4Ce qui explique que les commémorations de la révolution d’octobre 1917 sur la place rouge se faisaient, du temps de l’Union Soviétique, en novembre.

56 CHAPITRE 4. LE MOUVEMENT DU SOLEIL

Chapitre 5

La Terre

Au chapitre 2, nous avions défini divers systèmes coordonnées sur la sphère céleste. Les coordonnées horaires et équatoriales utilisent la constatation du mouvement diurne, c’est-à-dire du mouvement de rotation uniforme de la sphère des fixes autour du pôle céleste nord (Fig :.2.2). Il n’était nullement nécessaire, à ce stade du cours, d’interpréter ce mouvement comme étant issu du mouvement de rotation de la Terre sur elle-même. Nous l’avons cependant fait en Sect. 2.4 (latitude terrestre) et en Sect. 2.6 (longitude terrestre), afin de permettre de faire des exercices d’application issus de la vie courante. Le but de ce chapitre est de définir précisément les coordonnées terrestres et, bien sûr, de voir les liens avec l’astronomie.

5.1 Représentation astronomique de la Terre

Définition : La figure sphérique formée par les zéniths de tous les lieux de la Terre est appelée Globe Terrestre.

En effet, la verticale ascendante d’un lieu situé à la surface de la Terre est représentable par un point de la sphère céleste que nous avions appelé zénith. Or il n’existe pas pas, à la surface de la Terre, deux lieux qui aient des verticales parallèles et de même sens (injectivité)1. Il existe toujours un lieu dont la verticale ait une direction et un sens donné (surjectivité). Il y a donc bijection entre les points de la surface de la Terre et les points sur la sphère céleste. Ainsi, un système de coordonnées permettant de repérer le zénith d’un

1Cette affirmation est évidente si la Terre est supposée sphérique et de répartition de masse uniforme. Ca l’est encore, si on considère la Terre comme une ellipsoïde. Pour les cas plus fins, cette affirmation est moins évidente mais elle est quand même facile à concevoir tant que les lieux considérés ne sont pas trop proches.

57

58 CHAPITRE 5. LA TERRE

lieu sur la sphère céleste permettra en même temps de repérer ce lieu sur la Terre.

On a rappelé que le mouvement diurne est le mouvement relatif de la sphère des fixes par rapport à la sphère locale. Donc, le zénith d’un lieu subit, relativement à la sphère des fixes, un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe des pôles PP ′, dans le sens direct, à la vitesse de un tour par jour sidéral. Par ailleurs, on observe que les zéniths de tous les lieux de la Terre sont animés de ce même mouvement. On en déduit que le Globe Terrestre constitue une figure indéformable. On peut donc y reporter des points représentatifs (villes, monuments, sommets de montagne, ...) ou des lignes remarquables (fleuves, frontières, ...). Une telle représentation n’est pas semblable à la Terre (car la Terre n’est pas sphérique). C’est une représentation de la Terre au sens géométrique du terme. Comme la Terre est quand même approximativement une sphère, sa représentation par le Globe Terreste lui est approximativement semblable. Dans les applications courantes de la Géographie, on admet cette approximation. C’est d’ailleurs ce que nous avons fait dans l’interprétation du mouvement diurne au Chapitre 2.

Représentations planes du Globe Terrestre

On peut définir une application du Globe Terrestre sur un plan, ce qui constitue une carte géographique. Les cartes marines sont ainsi construites. Il y a 2 raisons à cela : d’abord, elles permettent le tracé en toute rigueur des droites de hauteur (voir Sect. 5.5), et ensuite les points (sur l’Océan) que l’on y porte ne sont connus que par leur coordonnées astronomique (voir Sect. 5.4). Ce sont des cartes en représentation astronomique.

Pour les régions continentales dont la topographie est bien étudiée, il existe des cartes dont les points de la surface terrestre sont représentés d’après leurs positions relatives réelles. Ce sont des cartes géodésiques (celles de I.G.N. par exemple).

Projection stéréographique

Il y a autant de cartes astronomiques possibles qu’il y a d’applications de la sphère sur un plan. Un exemple intéressant est la projection stéréographique.

Soit S le point de la Terre dont son zénith est P ′ (appelé pôle géographique sud). Soit (Π)un plan parallèle au plan équatorial. Soit Mun point de la Terre différent de S. On appelle image de M par la projection stéréographique sur (Π) à partir de S, le point M ′intersection de la droite (SM) et du plan (Π).

5.1. REPRÉSENTATION ASTRONOMIQUE DE LA TERRE 59

S

N=N’

M

M’

Π

FIG. 5.1 – Projection stéréographique. Le plan Π est ici “posé” au pôle nord géographique N .

Propriétés et remarques

1. Le point S n’a pas d’image par cette projection. Il est d’ailleurs rejeté à l’infini dans toutes les directions du plan (en fait suivant le méridien pour lequel le point M tend vers S).

2. Tout cercle de la sphère a pour image un autre cercle (du plan (Π))

3. La projection stéréographique conserve les angles

4. Dans le cas où le plan (Π) est le plan de l’équateur, - L’équateur est invariant pendant la transformation - Un point de l’hémisphère nord a pour image un point à l’intérieur de l’équateur - Un point de l’hémisphère sud a pour image un point à l’extérieur de l’équateur

5. La projection stéréographique revient à observer la sphère depuis S.

Les démonstrations de ces propriétés sont faciles sauf peut-être la troisième. Elles utilisent toutes la géométrie élémentaire. Elles sont laissées en exercice.

60 CHAPITRE 5. LA TERRE

5.2 Coordonnées astronomiques d’un lieu.

Coordonnées sur la sphère des fixes

Le point Z en tant que point sur la sphère céleste peut être repéré par l’un des systèmes de coordonnées déjà connus : par exemple les coordonnées équatoriales αZ et δZ . Ces deux coordonnées sont définies sont sur la sphère des fixes. Or le point Z n’est pas fixe sur cette sphère, donc, au moins l’une des deux coordonnées est variable dans le temps.

P

W

N E

S

Z

équat eur

δ = ϕ Z

ϕ

αZ

HZγ

La déclinaison de Z s’identifie avec la lati- tude du lieu que nous avons déjà introduite. Elle est invariable avec le temps. Par contre ce n’est pas le cas de son ascension droite αZ . Cet angle est (Pγ, PZ) compté posi- tivement dans le sens direct. Il est égal à l’angle (PZ, Pγ) compté positivement dans le sens rétrograde.

On reconnaît ainsi l’angle horaire du point γ qui est égal au temps sidéral du lieu Z :

αZ = HZ(γ) = θ (5.1)

Coordonnées invariables

Pour obtenir pour les points Z (ou équivalemment des points de la surface terrestre) des coordonnées inva- riables, nous devons rapporter ces points à un repère lié au Globe Terrestre (donc tournant dans le sens di- rect par rapport à la sphère des fixes). Le système de coordonnées astronomiques du point Z est ainsi dé- fini :

P

P’

o

Z

Z

γ

– Le pôle est le pôle nord céleste P . – Le demi-cercle origine est le demi cercle PZ0P ′ passant par le zénith Z0 d’un point

particulier sur la Terre (Observatoire de Greenwich). – Le sens choisi est le sens direct.

5.3. RELATION ENTRE LONGITUDE ET TEMPS SIDÉRAL LOCAL 61

– Le demi-cercle PZP ′ passant par le zénith Z du lieu est appelé le méridien de ce lieu2.

– La première coordonnée, L, est appelée longitude astronomique. C’est l’angle (PZ0P

′, PZP ′). Il est compté de −180◦ à +180◦ ou de −12h à +12h. On dit que la longitude est Est lorsqu’elle est positive (Ouest lorsqu’elle est négative).

– La deuxième coordonnée, ϕ, est le complément à π 2

de la distance PZ. Elle est appelée latitude astronomique.

– Les lignes d’égales coordonnées sont appelées respectivement les méridiens et les parallèles.

5.3 Relation entre longitude et temps sidéral local

On considère, à un instant donné, le zénith Z0 de Greenwich, Z celui d’un lieu quel- conque. Par la relation de Chasles, on a :

(PZP ′, PZ0P ′) = (PZP ′, PγP ′) + (PγP ′, PZ0P

′)

où γ est l’origine des coordonnées équatoriales sur la sphère des fixes.

Comptons positivement ces 3 angles pris dans le sens rétrograde.

– (PZP ′, PZ0P ′) = L. En effet, on vient de voir dans la section précédente que (PZ0P

′, PZP ′) est la longitude lorsque le sens direct est choisi. – (PZP ′, PγP ′) = θ. C’est la définition même de l’angle horaire pour un lieu Z. De

plus, l’angle horaire est bien compté positivement dans le sens rétrograde. Comme il s’agit du point γ, c’est l’angle horaire du point γ pour le lieu Z, c’est-à-dire le temps sidéral local du lieu.

– (PγP ′, PZ0P ′) = −θ0 , puisque de même (PZ0P ′, PγP ′) est le temps sidéral du lieu Z0.

On a ainsi L = θ − θ0 (5.2)

Cette relation montre que les temps sidéraux de deux lieux diffèrent d’une quantité constante égale à la différence des longitudes.

L’horloge du lieu Z retarde sur celle de Greenwich si sa longitude est ouest (L < 0). Elle avance sur celle de Greenwich dans la cas contraire.

2Exemple : le méridien de Paris qui est matérialisé régulièrement par des disques en bronze dans la ville (Observatoire, Eglise St Sulpice, ...)

62 CHAPITRE 5. LA TERRE

5.4 Mesure précise des coordonnées d’un lieu

Latitude

Pour avoir la latitude, il suffit de mesurer la hauteur du pôle céleste nord. La méthode la plus classique utilise l’instrument méridien. Le principe est de mesurer les distances zé- nithales zm et zM d’une même étoile lors de ces culminations et d’en prendre la moyenne :

π

2 − ϕ = zm + zM

2 (5.3)

.

W

N E

S

Z

équa teur

P

0 zm

zM

Pour pouvoir utiliser cette formule même dans le cas où la culmination su- périeure se situe au delà du zénith, il suf- fit que les distances zénithales soient des distances algébriques.

Longitude

Pour la longitude, il suffit de faire la différence des indications données, à un même instant, par deux horloges réglées selon les temps sidéraux des lieux Z0 et Z. Le réglage d’une horloge en temps sidéral local se fait aussi au moyen de l’instrument méridien.

La comparaison de deux horloges situées en des lieux éloignés n’offre actuellement pas de difficulté grâce aux moyens de transmission. On peut considérer que le temps sidéral local de Greenwich est diffusé en permanence. En réalité, il s’agit du temps universel qui est diffusé, mais on sait comment se déduisent ces deux temps l’un de l’autre.

Avant l’utilisation des moyens de transmission moderne, les déterminations de longi- tudes faisaient intervenir des moyens délicats et imprécis de comparaisons à distance de deux horloges : signaux optique, transport de chronomètres. Depuis l’invention des hor- loges atomiques facilement transportable, la méthode de transport d’horloge reprend toute sa valeur.

Pour s’affranchir du transport d’horloge, il ne reste que des moyens astronomiques pour déterminer l’heure. Ce sont alors les positions d’astres de mouvement plus ou moins rapides qu’il faut utiliser (Soleil, Lune, planètes, satellites de Jupiter, ...). Les tables qui donnent ces positions sont appelées éphémérides, elles sont publiées en France par l”’Ins-

5.5. LE POINT EN MER : DROITES DE HAUTEUR 63

titut de Mécanique Céleste et de Calcul des Ephémérides” (IMCCE). Historiquement, cette publication se fait sous la responsabilité du “Bureau des Longitudes”, et la publication cor- respondante s’intitule “Connaissance des Temps”. A l’époque de la création du Bureau des Longitudes, connaître les longitudes partout sur la Terre permet de contrôler les océans. Le 7 messidor an III (25 juin 1795), une loi de la Convention Nationale fixe le rôle du Bureau des Longitudes : publier “un annuaire propre à régler ceux de la République”. On pourra consulter http ://www.imcce.fr

5.5 Le point en mer : droites de hauteur

Loin des continents et des repères visuels ou radio qu’ils procurent, on déterminait autrefois le point où l’on se trouvait par des moyens simples et moins précis. On ne faisait intervenir que des mesures de hauteur d’astres au moyen du sextant. Cette technique est toujours utilisée dans les cas où les moyens modernes de navigation sont indisponibles ou inefficaces. A l’heure du GPS, les méthodes de l’astronomie nautique ne sont pas révolues. Evidemment, en termes de précision et de commodité les progrès apportés par ce type de système sont considérables. Cependant, ces systèmes hautement sophistiqués ont pour contrepartie une grande dépendance envers les prestataires de service3 (en temps de crise ou de conflit, par exemple) ou envers des causes plus banales comme les pannes (système, pile défectueuse, ...). D’ailleurs le sextant et les tables astronomiques adaptées (comme les “Ephémérides Nautiques” publiées par l’IMCCE) sont obligatoires pour les navires en haute mer.

Le sextant

Le sextant est un instrument qui mesure l’angle entre l’horizon et un astre. Le principe est de voir en superposition, deux images provenant de deux directions différentes et de mesurer ainsi l’angle entre ces deux directions. Si l’instrument est tenu verticalement, cet angle est la hauteur de l’astre.

3Le système européen GALIEO sera lui aussi un système de positionnement par satellite. Il devrait en partie remédier à ce problème de dépendance à un unique prestataire de service. En ce sens le lancement du système GALILEO par l’Europe est une décision autant politique que scientifique, tout comme l’a été la création du Bureau des Longitudes. Il s’agit, dans les deux cas, de contrôler l’espace (terrestre, maritime ou aérien).

64 CHAPITRE 5. LA TERRE

horizon

grand miroir

petit miroir

limbe

alidade

lunette

La lunette est alignée avec le petit mi- roir qui est solidaire de l’instrument. Ce miroir est à moitié transparent. Ainsi, l’observateur peut voir l’horizon à travers. Ce petit miroir réfléchit aussi l’image provenant du grand miroir. Ce grand miroir est mobile et s’oriente grâce à l’alidade. L’observateur vise ainsi l’astre et le positionne sur l’ho- rizon. La position de l’alidade sur le limbe permet de lire l’angle recherché.

Le point

Mesurons la distance zénithale z1 d’une étoile E1, à un instant donné. Sur la sphère des fixes, on porte l’étoile E1 par ses coordonnées équatoriales α1 et δ1. On trace ensuite (sur cette sphère) le cercle de centre E1 et de rayon z1. Ce petit cercle est appelé cercle de hauteur. C’est le lieu géométrique des positions possibles du zénith Z du lieu considéré.

Mesurons, au même instant, la distance zénithale z2 d’une deuxième étoile E2. On construit de la même manière un second cercle de hauteur. Ces deux cercles se coupent au point Z représentatif du lieu, ainsi qu’en un autre point Z ′, symétrique de Z par rapport à E1E2. La mesure des deux distances zénithales permet donc, de déterminer (graphique- ment ou par le calcul) deux points Z et Z ′ parmi lesquels se trouve le zénith recherché (voir Fig.5.2). On pourra choisir entre ces deux points, généralement fort éloignés, si l’on connaît de façon approximative la région de la Terre où l’on se trouve.

Remarque : la méthode ne dispense pas de connaître le temps sidéral de Greenwich θ0. En effet, par la méthode précédente, on connaît la position du zénith sur la sphère des fixes mais dans le système de coordonnées équatoriales. Or, l’origine des longitudes sur une carte n’est évidemment pas celle des coordonnées équatoriales (car il y a le mouvement diurne entre les deux). La connaissance de θ0 permet justement de déterminer l’origine des longitudes.

Droites de hauteurs

La détermination par le calcul de l’intersection de deux cercles ne pose pas de réel problème. Mais en mer on se contente habituellement de construire le point Z sur une carte. Cette carte représentant une petite partie du globe terrestre, le point s’obtient par

5.5. LE POINT EN MER : DROITES DE HAUTEUR 65

P’

P

E1

E2 Za

Z

Z’

FIG. 5.2 – Tracé des cercles de hauteur des étoiles E1 et E2.

l’intersection de deux petites portions des cercles de hauteur assimilables à des droites dites droites de hauteur. Ces droites étant les tangentes en un point donné des cercles de hauteur, il nécessaire de positionner au préalable ce point, c’est-à-dire de connaître approximativement le point d’intersection recherché.

Dans les explications qui suivent, la Figure (5.2) ne constitue pas le tracé du point en mer proprement dit. Cette figure n’est donnée qu’à titre explicatif pour mieux comprendre la Figure (5.3) qui correspond elle, au tracé des droites de hauteur que les marins font sur leur carte.

Soit Za une position approchée du lieu, en fixant par exemple sa longitude et sa latitude est des valeurs rondes

La et ϕa

On connaît l’instant θ0 de l’observation en temps sidéral de Greenwich. Le temps sidéral local du lieu Za est donc

θa = θ0 + La

66 CHAPITRE 5. LA TERRE

(D )1

Sud

Nord

Za

A a1

E1

E 2

(D ) 2

l2

|l |1

Z

FIG. 5.3 – Tracé des droites de hauteurs des étoiles E1 et E2

Par l’ascension droite α1 de l’étoile E1, on calcule son angle horaire :

Ha1 = θa − α1 = θ0 + La − α1

On a ainsi les coordonnées horaires de E1,

(Ha1, δ1)

, dans le système du lieu Za. On en déduit, par les formules de formules de changements de coordonnées (2.3) et avec ϕa, les coordonnées horizontales

(Aa1, ha1) ou (Aa1, za1)

Ce sont les coordonnées horizontales de E1 pour le lieu Za.

Avec cette valeur de za1, on peut tracer le cercle de hauteur correspondant ; ce qui est fait en pointillé sur la Figure (5.2). En fait l’observateur, au lieu Z où il se trouve, a mesuré la distance zénithale z1. Cette mesure correspond au cercle en trait plein de la Figure (5.2).

On note l1 la longueur algébrique suivante, appelée intercept :

l1 = za1 − z1 (5.4)

5.5. LE POINT EN MER : DROITES DE HAUTEUR 67

Pour les deux étoiles prises en exemple dans les Figures (5.2) et (5.3), l1 est négatif et l2 est positif. Leur valeur numérique est petite puisque Z est proche de Za. Dans la pratique du point en mer, l’intercept ne dépasse pas quelques dizaines de minutes de degré.

Sur la sphère céleste, l’angle (P ′ZaE1) cor- respond à l’azimut Aa1 de l’étoile E1. C’est que rappelle la figure ci-contre. Attention, ne pas oublier que l’azimut est compté dans le sens rétrograde.

E P

N S

A

Za

P’

a

La construction sur une carte marine se fait alors de la manière décrite ci-après. Cette carte est à considérer comme le plan tangent de la sphère de la Figure (5.2) au voisinage de Za. La construction est faite à la Figure (5.3).

– On se munit une carte de la région concernée, où figure au moins l’échelle de la carte (la longueur qu’occupe un arc de 1′ de la sphère céleste), son orientation (la direction Nord-Sud) et les lignes coordonnées du globe terrestre (ou tout autre repère terrestre).

– On positionne Za – On trace la demi-droite [ZaE1) grâce à l’azimut Aa1 = ̂P ′ZaE1 . Le point P ′ n’est

pas sur cette carte (tout comme E1) mais sa direction par rapport à Za est celle du Sud.

– La droite (ZaE1) est perpendiculaire à la (cercle)droite de hauteur cherchée. La première droite de hauteur D1 est positionnée à la distance l1 de Za.

– La deuxième droite de hauteur D2 est positionnée de la même façon grâce à Aa2 et l2 (par une observation de l’étoile E2 faite au même instant θ0).

– Le point Z cherché est l’intersection de D1 et de D2. Si le canevas des coordonnées L et ϕ figure sur la carte, une simple lecture sur les échelles de la carte donne les valeurs de L et de ϕ cherchées.

Pour positionner la droite de hauteur avec la valeur de l du bon côté de Za, il faut se rappeler la définition de l’intercept (5.4). Elle indique que la droite est du côté de l’étoile E. Ainsi, pour la Figure (5.3), D1 est du côté opposé à E1 (l1 < 0) et D2 est du côté de E2

68 CHAPITRE 5. LA TERRE

(l2 > 0). A titre de vérification, les navigateurs construisent habituellement une troisième droite

de hauteur. Elle doit concourir avec les deux premières aux erreurs de mesures sur z1 et z2. La précision obtenue est de 0, 5 à 1′ en navigation maritime et de plusieurs minutes de degré en navigation aérienne.

5.6 Un illustration littéraire

Les romans d’aventure avec des voyages au long cours abondent d’exemples d’utili- sation et de mesure des coordonnées terrestres. Nous avons choisi ici, un exemple tiré du roman de Jules Verne “Vingt mille lieues sous les mers”4,5

Le capitaine Némo, muni de son sextant, prit la hauteur du Soleil, qui de-

vait lui donner sa latitude. Il attendit pendant quelques minutes que l’astre vint

affleurer le bord de l’horizon. Tandis qu’il observait, pas un de ses muscles

ne tressaillait, et l’instrument n’eût pas été plus immobile dans une main de

marbre.

“Midi, dit-il. Monsieur le professeur, quand vous voudrez ?...”

Je jetais un dernier regard sur cette mer un peu jaunâtre des atterrages

japonais, et je redescendis au salon.

Là, le capitaine fit son point et calcula chronométriquement sa longitude,

qu’il contrôla par de précédentes observations d’angles horaires. Puis il me

dit :

“Monsieur Aronax, nous sommes par cent trente-sept degrés et quinze

minutes de longitude à l’ouest ...

- De quel méridien ? demandai-je vivement, espérant que la réponse du

capitaine m’indiquerait peut-être sa nationalité.

- Monsieur, me répondit-il, j’ai divers chronomètres réglés sur les méri-

diens de Paris, de Greenwich et de Washington. Mais, en votre honneur je me

servirai de celui de Paris.” 4Dans ces romans Jules Verne peine à utiliser le système métrique pourtant en vigueur en France. Peut-

être est-ce par souci d’internationalisation? En effet, ses héros sont quelques fois français mais aussi anglais, américains, ... Or la première puissance maritime à cette époque est anglo-saxonne et n’utilise pas le système métrique.

5Si on suppose que l’unité utilisée par Jules Verne est “une lieue marine”, celle-ci vaut la vingtième partie de degré comptée sur un grand cercle de la Terre (Larousse classique) soit 5,56 km. “Vingt mille lieues sous les mers” correspondrait à “Cent onze mille kilomètres sous les mers”. Notez toutefois, que une lieue kilométrique vaut 4 km, une lieue de poste 3898 m et une lieue terrestre 4444 m.

5.6. UN ILLUSTRATION LITTÉRAIRE 69

FIG. 5.4 – “Le capitaine Némo prit la hauteur du soleil.” Extrait de “Vingt mille lieues sous les mers” de Jules Verne avec les dessins de Neuville et Riou.

Cette réponse ne m’apprenait rien. Je m’inclinai, et le commandant re-

prit :

“Trente-sept degrés et quinze minutes de longitude à l’ouest du méridien

de Paris, et par trente degrés et sept minutes de latitude nord, c’est-à-dire à

trois cents milles6 environ des côtes du Japon. C’est aujourd’hui 8 novembre,

à midi, que commence notre voyage d’exploration sous les eaux.

- Dieu nous garde ! répondis-je

- Et maintenant, monsieur le professeur, ajouta le capitaine, je vous laisse

à vos études. J’ai donné la route à l’est-nord-est par cinquante mètres de

profondeur. Voici les cartes à grands points, où vous pourrez la suivre. Le

salon est à votre disposition, et je vous demande la permission de me retirer.”

6n.m. Mesure itinéraire, qui valait chez les romains mille pas. || Mille marin, unité de longueur corres- pondant à la distance moyenne de deux points de la surface de la Terre qui ont même longitude et dont les latitudes diffèrent de 1 minute. Sa valeur est fixée conventionnellement à 1852 m. Son emploi est autorisé seulement en navigation aérienne ou maritime. (Larousse classique)

70 CHAPITRE 5. LA TERRE

5.7 Figure de la Terre : le Géoïde

Tout ce qui a été dit précédemment ne fait pas intervenir la forme de la Terre (sauf quand même de manière grossièrement qualitative), ni ses dimensions. La détermination de cette forme et de ces dimensions (ou figure de la Terre) est l’objet de la Géodésie.

La surface du sol tel qu’il se présente à nous (ou surface topographique de la Terre) est fort irrégulière. La détermination de ces irrégularités est l’objet d’une branche de la Géo- désie, la Topographie. Elle se propose notamment de déterminer, pour tout lieu terrestre, une altitude par rapport à une surface de référence, d’altitude zéro, appelée le géoïde. La définition et la détermination du géoïde constitue l’objet majeur de la géodésie.

Hors des continents, le géoïde est défini comme la surface moyenne des mers, ou sur- face des mers supposées au repos. Cette surface est partout perpendiculaire à la verticale. Sous les continents, on définit de même le géoïde comme étant une surface perpendicu- laire, en chacun de ses points, à la verticale en ce point. Bien qu’approchée, cette définition suffit généralement.

L’existence d’une telle surface résulte de la propriété que présente le champ de pesan- teur de dériver d’un potentiel :

Potentiel du champ de gravité

Nous allons déterminer ce potentiel dans l’hypothèse d’une Terre sphérique et pour une rotation uniforme. L’existence de ce potentiel sera admise pour le cas général.

On considère une particule de masse m en un lieu A de latitude ϕ de la surface terrestre. La Terre est donc supposée sphérique de centre O, de rayon r et de masse M . On note ω sa vitesse angulaire de rotation autour de l’axe des pôles. On note G la constante de gravitation universelle.

Donnons les composantes du poids −→P de la particule par rapport au référentiel terrestre (Axyz) orthonormé direct où (Ax), situé dans le plan méridien, est dirigé vers le sud et (Ay) dans la direction de −→OA. Les forces d’inertie d’entraînement sont

−→ Fc = −2m−→ω ∧ −→vr où −→vr est la vitesse du point

−→ Fe = +mω

2−→ρ pour un point tournant à la vitesse angulaire ω sur un cercle de rayon ρ

La première force (force de coriolis) est ici nulle. La deuxième est la force d’entraîne-

5.8. PREMIERS ÉLÉMENTS DE GÉODÉSIE 71

ment. Avec ρ = r cos ϕ, on obtient les composantes du poids, puis les composantes de −→g puisque −→g =

−→ P m

: gx =

1 2 ω2r sin 2ϕ

gy = ω 2r cos2 ϕ − GM

r2

gz = 0

(5.5)

Ce champ de pesanteur −→g dérive du potentiel

V = GM

r +

1

2 ω2r2 cos2 ϕ (5.6)

On rappelle qu’en coordonnées polaires la composante radiale de −−−−→Grad V est ∂V ∂r

et que sa composante orthoradiale est 1

r ∂V ∂ϕ

.

Géoïde

Comme −→g dérive du potentiel V, toutes les surfaces V = Cste (surfaces équipoten- tielles) sont normales à −→g . Il existe7 une famille de telles surfaces, et par un point donné on peut en mener une et une seule.

Le géoïde est la surface équipotentielle du champ de pesanteur mené par un point pris

au niveau de la mer.

5.8 Premiers éléments de géodésie

5.8.1 Courbure du géoïde

Soit deux points voisins A et B pris sur le géoïde. On peut mesurer l’angle des nor- males au géoïde en ces points : c’est l’angle de leur verticales, et c’est donc aussi l’arc ZAZB de la sphère céleste joignant les zéniths de ces deux lieux. On note α cet arc. Si les points A et B ont la même longitude (ou des longitudes très voisines), l’angle α est simplement la différence de leur latitude. La longueur AB est alors mesurée.

Définition : Le rapport R = AB α

(ou plutôt sa limite lorsque α tend vers zéro) est appelé rayon de courbure du géoïde le long de la direction AB.

Pour une surface quelconque, le rayon de courbure en un point dépend de la direction AB le long de laquelle on le mesure. Il admet une valeur maximale et une valeur minimale,

7L’existence d’une telle surface suppose que l’on soit à l’extérieur de la Terre (physique). Or le géoïde de référence passe sous les continents. La définition rigoureuse du géoïde utilise un prolongement mathéma- tique de V (prolongement dit analytique) qui correspond à (5.6) à la surface des océans.

72 CHAPITRE 5. LA TERRE

dans deux directions perpendiculaires : ce sont les rayons de courbure principaux.

Le principe de la détermination géodésique de la forme du géoïde est le suivant : on mesure les coordonnées astronomique de nombreux points de la Terre et on associe ces mesure à celles des distances séparant ces points. Cela permet de déterminer les rayons de courbure en ces points.

Malheureusement cette méthode n’est applicable qu’aux points où ces mesures sont possibles. Les régions océaniques lui échappent complètement. De plus ces mesures doivent être suffisamment précises et denses (par exemple : 1000 stations pour l’étendue de la France). La méthode est donc extrêmement lourdes et elle n’a été appliquée que dans un petit nombre de régions (Europe, USA, Inde, ...). Elle ne fournit qu’une description frag- mentaire du géoïde pour des parties de sa surface non rattachées les unes des autres.

Déterminations gravimétriques

Cela consiste à mesurer l’intensité de la pesanteur (et non plus sa direction). Or on a vu que le champ des vecteurs −→g est un champ de gradient. Ainsi son intensité et sa direction ne varie pas indépendamment l’une de l’autre. Ces mesures du module de −→g permettent de déterminer sa direction et par suite la forme du géoïde.

Géodésie spatiale

C’est une discipline qui a pris un essor considérable depuis l’avènement des satellites artificiels. Elle est encore en plein développement (GPS, GALILEO, ...).

Tout d’abord, par leur simple présence, ces satellites constituent des cibles qui peuvent être visées simultanément, à partir de deux endroits très éloignés (deux continents). IL s’agit alors d’une géodésie géométrique tout comme la méthode de triangulation terrestre (voir ci-dessous).

Par ailleurs, la trajectoire de ces satellites est presque entièrement déterminée par le champ de gravité terrestre. L’observation astrométrique d’un satellite d’un lieu terrestre permet de définir la position de ce lieu par rapport à la trajectoire du satellite, avec une précision bien meilleur que le mètre.

5.8. PREMIERS ÉLÉMENTS DE GÉODÉSIE 73

5.8.2 Triangulation

Origines de la géodésie

La détermination de la figure de la Terre s’est faite par approximation successives, basées sur des hypothèses de plus en plus proches de la réalité.

Les astronomes ont admis très tôt que la Terre pouvait être un corps rond isolé dans l’espace. En la supposant sphérique, le seul paramètre à déterminer est son rayon. Il suffit alors de mesurer l’angle α des verticales et la distances AB. Ces deux points A et B n’ont même pas besoin d’être voisins. Il est admis qu’Erathostène a le premier, en 205 avant J- C, déterminer le rayon de la Terre par le rayon de courbure entre Syène et Alexandrie. La détermination d’un angle est relativement facile. La mesure de distances a été longtemps très délicate. La distance de Syène à Alexandrie a été estimée uniquement par la durée du voyage des caravanes allant entre ces deux villes. Ce n’est qu’en 1530 que la mesure de distance été améliorée par Fernel. Il estima la distance de Paris à Amiens par le nombre de tours de roue d’une voiture.

Triangulation

En 1669, l’abbé Picard inaugure la méthode moderne de dé- terminations de grandes distances par la triangulation. Sa pre- mière mesure a été faite encore entre Paris et Amiens. Il s’agit d’établir des signaux géodésiques entre deux points éloignés et séparés par des obstacles naturels. Ces signaux sont des constructions visibles de loin, pointables dans la lunette d’un théodolite. Ces points constituent les sommets d’une suite de triangles. Les côtés de ces triangles ont une trentaine de kilomètres de long environ. Avec le théodolite, on mesure tous les angles de tous ces triangles. Si on connaît l’un des côtés d’un des triangles. Il est possible de résoudre complètement ce triangle puis par suite tous les triangles de la chaîne.

Figure de gauche : Triangulation géodésique de la “méridien- ne” réalisée entre 1683 et 1718.

Il reste donc à déterminer l’un des côtés de l’un des triangles. On le mesure directement

74 CHAPITRE 5. LA TERRE

avec une règle ou un fil de longueur connue. On choisit pour cela un côté de triangle particulièrement favorable (terrain plat, quelques kilomètres de longueur seulement) : c’est la base de la triangulation. On mesure souvent deux (voir plusieurs) bases aux extrémités de la chaîne de triangles. On peut ainsi vérifier l’ensemble des mesures et des calculs.

Si cette chaîne est assez petite et pour une certaine précision, on suppose que les tri- angles sont plans. De cette manière que Picard faisait. Dans cette hypothèse, une autre vérification est de s’assurer que la somme des angles de chaque triangles fait bien 180◦. Mais, si en deuxième approximation, on suppose que la Terre est sphérique, on considère ces triangles comme des triangles sphériques. Il est alors nécessaire de connaître au moins une approximation du rayon de la Terre.

Par la suite, lorsqu’il c’est avéré que la Terre est aplatie, il est devenu utile de passer à la troisième approximation. Il s’agit de triangles géodésiques tracés sur une ellipsoïde et de leur appliquer les formules convenables ...

Aplatissement de la Terre

Les triangulations du début de XVIIIe siècle (Cassini, de Dunkerque à Perpignan), associées aux déterminations de latitude en plusieurs endroits de la chaîne, montrèrent que la courbure de la Terre pouvait être variable d’un endroit à un autre. On posa donc comme hypothèse que la Terre était un ellipsoïde de révolution autour de son axe de rotation. Il y a alors deux paramètres à déterminer : les demi-axes a et b de l’ellipse méridienne, ou encore le demi-axe équatoriale a et l’aplatissement :

α = 1 − b a

(5.7)

Le problème est que si on se doutait que la Terre est une ellipsoïde, on ne savait pas si elle était aplatie (a < b, α > 0) ou si elle était allongée (a > b, α < 0). Cassini penchait pour la deuxième hypothèse sur la foi de mesure peu probante. Newton avec des arguments de dynamique penchait pour la première hypothèse : il s’appuyait sur l’existence de forces centrifuge dues à la rotation de la Terre. On devait d’ailleurs démontrer par la suite que la figure d’équilibre d’une masse fluide homogène, en mouvement de rotation uniforme, est un ellipsoïde de révolution aplati.

5.8. PREMIERS ÉLÉMENTS DE GÉODÉSIE 75

Océan

Ellipsoide

Géoide

Géoide

Ellipsoide

Montagne

Surface topographique

Pole Céleste Nord

ϕa

Point de base

FIG. 5.5 – Latitude astronomique (par rapport au géoïde) ϕa et latitude géodésique (par rapport à l’ellipsoïde de référence) ϕg.

Equateur

r

R

S

N Cette controverse fut à l’origine de grandes ex- péditions scientifiques en deux régions de la Terre où les rayons de courbure diffèrent beau- coup. Elles commencèrent en 1735 : une expé- dition dirigée par Maupertuis mesura un arc de méridien en Laponie, tandis qu’une autre expé- dition (Bouger et La Condamine) en mesurait un autre au Pérou et en Equateur.

Le degré de latitude dut trouver plus grand en Laponie qu’au Pérou. Ce qui prouva que la Terre était aplatie.

5.8.3 Coordonnées géodésiques

Pour faire la carte d’une région à une échelle déterminée, seules comptent les dis- tances, et le comportement des verticales n’a pas lieu d’être considérées. Les cartes dites géodésiques utilisent les distances mesurées par triangulation. Les coordonnées se réfèrent à une ellipsoïde de référence de paramètres a et α donnés : ce sont les coordonnées géo- désiques (pour la latitude géodésique voir la Figure 5.5). Cet ellipsoïde de référence est

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