Notes sur les espaces vectoriels - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur les espaces vectoriels - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les espaces vectoriels - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: notion et définition, les combinaisons linéaires, les sous-espaces vectoriels, les familles génératrices, la...
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Espaces vectoriels

Définition: Nous appelons "espace vectoriel" un ensemble Ed'éléments désignés par et

appelés "vecteurs", muni d'une "structure algébrique vectorielle" définie par la donnée de l'addition

(soustraction) vectorielle et la multiplication par un scalaire. Ces deux opérations satisfaisant les

lois associativité, de commutativité, de distributivité, d'élément neutre et d'opposé comme nous

l'avons déjà vu dans le chapitre de Théorie Des Ensembles.

Pour plus d'informations sur ce qu'est un espace vectoriel dans le sens "ensembliste" le lecteur

devra se reporter au chapitre de Théorie Des Ensembles où ce concept est défini avec plus de

rigueur.

Remarque: Muni de ces deux opérations, un espace vectoriel est dit "vectorialisé".

Pour tout entier positif n, désignera l'ensemble des n-uplets de nombres disposés en colonne :

(12.14)

et est à l'évidence munie d'une structure d'espace vectoriel. Les vecteurs de cet espace seront

appelés "vecteurs-colonne". Il seront souvent désignés plus brièvement par :

(12.15)

ou encore plus simplement par :

(12.16)

Le nombre est parfois appelé "terme" ou "composante d'indice i" de .

combinaisons linéaires

Dorénavant, sauf mention explicite du contraire, les vecteurs seront les éléments d'un espace

vectoriel E.

Définition: Nous appelons "combinaison linéaire" des vecteurs tout vecteur de la forme

:

(12.17)

ou sont des nombres appelés "coefficients de la combinaison linéaire".

Le vecteur nul est combinaison linéaire de avec tous les coefficients égaux à

zéro. Nous parlons dès lors de "combinaison linéaire triviale".

Définition: Nous appelons "combinaison convexe", toute combinaison linéaire dont les coefficients

sont non négatifs et de somme égale à 1. L'ensemble des combinaisons convexes de deux

points P et Q d'un espace ponctuel (ayant un origine) est le segment de droite P et Q. Pour s'en

rendre compte, il suffit d'écrire:

(12.18)

de faire varier de 0 à 1 et de constater que tous les points du segment sont ainsi obtenus.

Si le vecteur est combinaison linéaire des vecteurs et chacun de ces vecteurs est

combinaison linéaire des vecteurs , alors est combinaison linéaire de .

SOUS-ESPACES VECTORIELS

Définition: Nous appelons "sous-espace vectoriel de E" tout sous-ensemble de E qui est lui-même

un espace vectoriel pour les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire définies

dansE.

Un sous-espace vectoriel, en tant qu'espace vectoriel, ne peut être vide puisqu'il comprend au

moins un vecteur, à savoir son vecteur nul, celui-ci étant d'ailleurs forcément le vecteur nul de E.

En outre, en même temps que les vecteurs et (s'il en contient d'autres que le vecteur nul), il

comprend également toutes leurs combinaisons linéaires .

Inversement, nous voyons aussitôt que tout sous-ensemble jouissant de ces propriétés est un

sous-espace vectoriel. Nous avons ainsi établi la proposition suivante :

Un sous ensemble S de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulement si S est non vide

et appartient à S pour tout couple de vecteurs de S et tout couple .

FAMILLES GÉNÉRATRICES

Il en découle que si nous avons une famille de vecteurs l'ensemble des

combinaisons linéaires de peut être un sous-espace vectoriel S de E, plus précisément

le plus petit sous-espace vectoriel de Ecomprenant .

Les vecteurs qui satisfont à la condition ci-dessus sont appelés "générateurs" de S et la

famille , famille génératrice de S. Nous disons aussi que ces vecteurs ou cette famille

engendrent S.

Remarque: Le sous-espace vectoriel engendré par un vecteur non nul est formé de tous les multiples

de ce vecteur. Nous appelons un tel sous-espace "droite vectorielle". Un sous-espace vectoriel

engendré par deux vecteurs non multiples l'un de l'autre est appelé "plan vectoriel".

DÉPENDANCE ET INDÉPENDANCES LINÉAIRES

Ce qui va suivre est très important en physique nous conseillons donc au futur physicien de

prendre vraiment le temps de bien lire les développements qui vont suivre.

Si sont trois vecteurs de dont les représentants ne sont pas parallèles à un même plan

(par convention une flèche d'intensité nulle est parallèle à tout plan), alors tout vecteur de

peut s'écrire de manière unique sous la forme :

(12.19)

où sont des nombres.

(12.20)

En particulier, la seule possibilité d'obtenir le vecteur nul comme combinaison linéaire

de est d'attribuer la valeur triviale 0 à .

Réciproquement, si pour trois vecteurs de la relation :

(12.21)

implique , aucun des vecteurs ne peut être combinaison linéaire des deux autres,

autrement dit, leurs représentants ne sont pas parallèles à un même plan.

Sur la base de ces observations, nous allons étendre la notion d'absence de parallélisme à un

même plan au cas d'un nombre quelconque de vecteurs d'un espace vectoriel E.

Nous disons que les vecteurs sont "linéairement indépendants" si la relation :

(12.22)

implique nécessairement , autrement dit, si la combinaison linéaire triviale

est la seule combinaison linéaire de qui soit nulle. Dans le cas contraire, nous disons

que les vecteurs sont "linéairement dépendants".

Si l'attention est fixée sur la famille plutôt que sur les termes dont elle est constituée,

nous disons que celle-ci est une "famille libre" ou "famille liée" suivant que les

vecteurs sont linéairement indépendants ou dépendants.

BASES D'UN ESPACE VECTORIEL

Définition: Nous disons qu'une famille finie de vecteurs est une base de E si et seulement si :

1. Elle est libre

2. Elle engendre E

D'après cette définition, toute famille libre est une base du sous-espace vectoriel

qu'elle engendre.

Exemple:

Si nous considérons comme -espace vectoriel (cf. chapitre de Théorie des Ensembles), alors

puisque tous les éléments de s'écrivent , les éléments qui engendrent sont 1 et i (les

deux sont libres).

Une base de (qui est de dimension 2) comme -espace vectoriel est donc la famille finie libre

{1,i}.

Pour qu'une famille de vecteurs soit une base de E, il faut et il suffit donc que tout

vecteur de E s'exprime de manière unique sous la forme d'une combinaison linéaire des

vecteurs :

(12.23)

La relation ci-dessus est une décomposition de suivant la base où les

coefficients sont les composantes de dans cette base. En présence d'une base, tout

vecteur est donc entièrement déterminé par ses composantes.

Proposition:

Si sont les composantes de et celles de , alors:

(12.24)

sont les composantes de .

En d'autres termes, additionner deux vecteurs revient à additionner leurs composantes et

multiplier un vecteur par un scalaire revient évidemment à multiplier ses composantes par ce

même scalaire. La base est donc un outil important car elle permet d'effectuer les opérations sur

les vecteurs au moyen d'opérations sur les nombres.

Exemple:

Les vecteurs colonnes de :

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