Notes sur les espaces vectoriels - 2° partie., Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur les espaces vectoriels - 2° partie., Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les espaces vectoriels - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les angles directeurs, les dimensions d'un espace vectoriel, le prolongement d'une famille libre, le rang d'...
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(12.25)

forment un base que nous appelons "base canonique" de (nous travaillerons dans les espaces

complexes dans un autre chapitre).

Remarque: Dans le cadre de l'espace à trois dimensions, les bases sont très souvent assimilées à un

trièdre (effectivement si vous reliez les extrémités des trois vecteurs par des traits vous obtiendrez

un trièdre imaginaire).

ANGLES DIRECTEURS

Il est clair qu'un seul angle ne peut décrire la direction d'un vecteur dans l'espace. Nous utilisons

alors la notion "d'angles directeurs". Il s'agit de mesurer l'angle du vecteur par rapport à chacun

des axes positifs de la base :

(12.26)

Si :

(12.27)

alors:

(12.28)

Les valeurs :

(12.29)

sont appelées les "cosinus directeurs" de .

Les 3 angles mentionnés ne sont pas complètement indépendants. En effet, 2 suffisent pour

déterminer complètement la direction d'un vecteur dans l'espace, le troisième pouvant se déduire

de la relation suivante (obtenue à partir du calcul de la norme du vecteur, concept que nous

verrons un peu plus loin):

(12.30)

De plus, les cosinus directeurs sont les composantes scalaires d'un vecteur de norme

unitaire ayant la même direction que :

(12.31)

DIMENSIONS D'UN ESPACE VECTORIEL

Nous disons que E est de "dimension finie" s'il est engendré par une famille finie de vecteurs. Dans

le cas contraire, nous disons que E est de "dimension infinie" (nous aborderons ce type d'espaces

dans un autre chapitre). Tout espace vectoriel de dimension finie et non réduit au vecteur nul

admet une base. En fait, de toute famille génératrice d'un tel espace nous pouvons extraire une

base.

La dimension d'un espace vectoriel est notée:

dim(E) (12.32)

Tout espace vectoriel E de dimension finie non nulle n peut être mis en correspondance

biunivoque (c'est-à-dire en bijection) avec . Il suffit de choisir une base de E et de faire

correspondre à tout vecteur de E le vecteur-colonne dont les termes sont les composantes

de dans la base choisie (c'est du bla bla de mathématicien mais ce sera utile quand nous

aborderons des espaces plus complexes) :

(12.33)

Cette correspondance conserve les opérations d'addition et de multiplication par un scalaire que

nous avons déjà vues; en d'autres termes, elle permet d'effectuer les opérations sur les vecteurs

par des opérations sur les nombres.

Remarque: Nous disons alors que E et sont "isomorphes" ou que la correspondance est un

isomorphisme (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

PROLONGEMENT D'UNE FAMILLE LIBRE

Soit une famille libre et une famille génératrice de E.

Si n'est pas une base de E, nous pouvons extraire une sous-

famille de de telle manière que la

famille soit une base de E.

Remarque: Une telle étude a son utilité lors de passage d'espace mathématique ayant des propriétés

données à un autre espace ayant des propriétés mathématiques différentes.

Démonstration:

H1. Nous supposons qu'au moins un des vecteurs n'est pas combinaison linéaire des

vecteurs , sinon engendrerait E et serait donc une base possible de E.

Notons ce vecteur . La famille est alors une famille libre. En effet, la relation :

(12.34)

implique alors tout d'abord que , autrement serait combinaison linéaire des

vecteurs , et ensuite , puisque les vecteurs sont

linéairement indépendants.

Si la famille engendre E, elle est une base possible de E et le théorème est

démontré. Dans le cas contraire, le même raisonnement nous assure l'existence d'un autre

vecteur .... Si la nouvelle famille en découlant n'est pas un base de E, alors le procédé

d'extraction de vecteurs de se poursuit. Lorsqu'il s'arrête, nous aurons obtenu un

"prolongement" de en une famille libre engendrant E, c'est-à-dire une base de E.

C.Q.F.D.

Il en retourne un corollaire: Tout espace vectoriel de dimension finie et non réduit au vecteur nul

admet une base. En fait, de toute famille génératrice d'un tel espace, nous pouvons donc extraire

une base.

RANG D'UNE FAMILLE FINIE

Définition: Nous appelons "rang d'une famille" de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel

de E qu'elle engendre.

Montrons que le rang d'une famille de vecteurs est inférieur ou égal à k et qu'il est

égal à k si et seulement si cette famille est libre.

Démonstration:

Ecartons d'abord le cas trivial où le rang de la famille est nul. D'après le corollaire vu

précédemment, nous pouvons alors extraire de cette famille une base du sous-espace vectoriel

qu'elle engendre. Le rang est donc inférieur ou égal à k suivant que est une famille

liée ou non.

C.Q.F.D.

SOMMES DIRECTES

Définition: Nous disons que la somme S+T de deux sous-espaces vectoriels S et T de E (cas

particulier appliqué à un espace de dimensions 2 !) est une "somme directe" si :

(12.35)

Dans ce cas, nous la notons :

(12.36)

En d'autres termes, la somme de deux sous-espaces vectoriels S et T de E est directe si la

décomposition de tout élément de S+T en somme d'un élément de S et d'un élément de T est

unique.

Ce concept de décomposition trivial va nous être très utile dans certains théorèmes dont le plus

important sur ce site est certainement le théorème spectral (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

De la somme directe nous pouvons introduire la notion de "sous-espace complémentaire" appelé

encore "sous-espace supplémentaire" (selon les pays...) :

Supposons que E soit de dimension finie. Pour tout sous-espace vectoriel S de E, il existe un sous-

espace vectoriel T (non unique) de E tel que E soit somme directe de S et T. Nous disons alors

que T est un "sous-espace complémentaire" de S dans E.

Démonstration:

Ecartons d'abord les cas triviaux où et S=E. Le sous-espace vectoriel S admet une

base , où est inférieur à la dimension n de E. Par le théorème du prolongement

d'une famille libre, cette base peut se prolonger en une base de E. Soit T le

sous-espace vectoriel engendré par la famille . Si est un vecteur quelconque de E,

alors , où est un vecteur de S et un vecteur de T. En outre, car aucun

vecteur, excepté le vecteur nul, ne peut être combinaison linéaire des vecteurs et des

vecteurs . Nous en concluons donc que :

(12.37)

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