Notes sur les espaces vectoriels, Notes de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
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Notes sur les espaces vectoriels, Notes de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de sciences mathématiques sur les espaces vectoriels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la base canonique, un C-espace vectoriel.
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UNIVERSITE MOHAMED I Faculté Des Sciences Année Universitaire 2006/07

Département De Mathématiques Filière SMP-SMC Et Informatique, OUJDA Math.1 (S1, Algèbre)

Feuille 2 d’exercices d’algèbre Espaces vectoriels

Exercice 1 Soit E le sous-espace vectoriel de R4 engendré par la famille

{U1 = (1, 2, 2, 0), U2 = (0, 2, 0, 1), U3 = (1, 1, 1, 1), U4 = (2, 5, 3, 2)}.

1. Donner la dimension de E.

2. Compléter {U1, U2, U3} en une base de R4.

3. Existe-il une base de R4 contenant {U1, U2, U4}?

Exercice 2 Soient U = (1, 2, 3) et V = (3, 2, 1) deux vecteurs de R3.

1. Existe-il une base de R3 contenant {U, V }?

2. Pour quelle condition un élément (x, y, z) de R3 est dans vect{U, V }?

3. Justifier que tout élément de la base canonique de R3 peut Compléter {U, V } en une base de R3.

4. Donner une base de vect{(1, 2, 3), (2,−1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}.

Exercice 3

1. Les ensembles E1 = {(x, y, z) ∈ R3; x + y + z > 0} et E2 = {(x, y, z) ∈ R3; x + y + z = 1} sont-ils des sous-espaces vectoriels de R3?

2. (a) Montrer que E = {(x, y, z) ∈ R3; x + y + z = 0} est un sous-espace vectoriel de R3. (b) Donner la dimention de E.

(c) Justifier que tout élément de la base canonique de R3 peut Compléter une base qulconque de E en une base de R3.

Exercice 4

1. Soit X = (1, −2, k), où k ∈ R; trouver k pour que le vecteur X appartient à l’espace vectoriel engendré par {(3, 0,−2), (2,−1,−1)}.

2. (a) Soit {U, V, W} une famille libre d’un K−espace vectoriel E. Montrer que

{U + V, U − V, U − 2V + W}

est une famille libre de E.

(b) Appliquer a) à la base canonique de R3

(c) Montrer que R2[X] est un R−espace vectoriel. Appliqer a) à la base canonique de R2[X].

3. Comparer vect{sh(x), ch(x)} et vect{ex, e−x}.

1

Exercice 5 Soit E = {

P

X4 − 1 ; P ∈ C[X], deg(P ) ≤ 3

} .

1. Montrer que E est un C-espace vectoriel.

2. Comparer E à E′ = vect {

1 X − 1

, 1

X + 1 ,

1 X − i

, 1

X + i

} .

Exercice 6 Soient F, F ′ deux espaces vectoriels d’un même espace vectoriel E.

1. Montrer que l’intersection F ∩ F ′ et la somme F + F ′ sont des sous espaces vectoriels de E.

2. Montrer que la réunion F ∪ F ′ est un sous espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂ F ′ ou F ′ ⊂ F .

3. Dans R3, soient F = vect{(1, 2, −1), (2, −3, 2)} et F ′ = vect{(4, 1, 3), (−3, 1, 2)}

(a) Calculer dim(F ) et dim(F ′). F et F ′ sont-ils identiques?

(b) Déterminer une base de F ∩ F ′. (c) Déterminer une base de F + F ′.

(d) Est ce que la somme F + F ′ est une somme directe?

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