Notes sur les formes géométriques - 1° partie, Notes de Géométrie analytique et calcul
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les formes géométriques - 1° partie, Notes de Géométrie analytique et calcul

PDF (178 KB)
9 pages
201Numéro de visites
Description
Notes de mathématique su les formes géométriques - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les surfaces connues, les polygones, le rectangle, le triangle,
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 9
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document

Les formes géométriques.

Nous avons déjà défini au début du chapitre de Géométrie Euclidienne les concepts de dimensions

topologiques, ce qu'était un point de dimension nulle et une courbe de dimension unité. Nous ne

reviendrons pas sur ces dernières et nous intéresserons aux formes de dimensions supérieures.

Le but du présent chapitre est de répertorier avec démonstrations quelques propriétés

mathématiques remarquables des formes et corps géométriques connus (surface, volume, centre

de masse, moment d'inertie). Effectivement, il existe nombre de formulaires les répertoriant sans

démonstration mais peu voire pas, d'ouvrages les démontrant toutes (nous n'en avons jamais vu

en tout cas...). La liste ci-dessous est à ce jour loin d'être exhaustive (puisqu'il existe une infinité

de formes géométriques) mais elle sera complétée avec le temps.

Les quelques formes que nous avons souhaité présenter permettent assez facilement de trouver

les propriétés remarquables d'un très grand nombre de formes non répertiorées sur cette page par

assemblage ou décomposition.

Remarques:

R1. Les relations trigonométriques remarquables dans les formes géométriques ci-dessous ne sont

pas démontrées dans ce chapitre. Celles-ci se trouvent déjà toutes dans le chapitre traitant

spécifiquement de la Trigonométrie.

R2. Nous entendons par "centre de gravité", le "barycentre" tel que vu dans le chapitre de

Géométrie Euclidienne.

SURFACES CONNUES

Il existe plusieurs définitions du concept de surface dont une due à Euclide et une autre moderne

due à la topologie (voir chapitre du même nom).

Définitions:

D1. Une "surface plane" est ce qui a longueur et hauteur.

D2. Une "surface" est une variété topologique de dimension 2

Remarque: Nous nous intéresserons dans un premier temps uniquement aux propriétés (périmètre,

surface, centre de gravité,...) de surfaces plongées dans des géométries euclidiennes.

POLYGONES

Définition: Un "polygone" est une figure plane limitée par des segments de droites consécutifs

(autrement dit: par une polyligne fermée).

(26.1)

Par définition, un "quadrilatère", "pentagone", "hexagone", "heptagone" sont des polygones à

respectivement quatre, cinq, six, sept... côtés.

Nous distinguons trois grandes familles (mais elles ne sont pas les seules!) de polygones : les

polygones croisés, les polygones concaves et les polygones convexes (nous retrouverons ces deux

familles dans différents chapitres du site).

Définition: Un polygone est dit "polygone croisé" si deux au moins de ses côtés sont sécants,

c'est-à-dire si au moins deux de ses côtés se coupent. C'est le cas du pentagone ABCDE ci-

dessous :

(26.2)

Remarque: "L'enveloppe" d'un polygone est le polygone obtenu en suivant le contour extérieur de

celui-ci. Par exemple, l'enveloppe du pentagone précédent est un décagone dont les sommets sont

les cinq sommets du pentagone et les cinq intersections de ses côtés.

Définition: Un polygone est dit "polygone concave" s'il n'est pas croisé et si une ou plusieurs de

ses diagonales ne sont pas entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone.

Par exemple, le pentagone ACDBE ci-dessous est dit concave car les diagonales BC et CE sont

respectivement à l'extérieur et partiellement à l'extérieur de la surface délimitée par le polygone.

(26.3)

Définition: Un polygone est dit "polygone convexe" s'il n'est pas croisé et si toutes ses diagonales

sont entièrement à l'intérieur de la surface délimitée par le polygone. Ainsi,

l'hexagone MNOPQR ci-dessous est dit convexe :

(26.4)

Relativement aux définitions données précédemment où les diagonales étaient mises en évidence,

voyons s'il y a une relation permettant de connaître leur nombre relativement au nombre d'arêtes

du polygone.

Partons pour cela d'un polygone de n côtés (notons qu'il a aussi n sommets) :

(26.5)

Nous définissons le total de segments s égale à la quantité de côtés (arêtes) n plus quantité de

diagonales d tel que :

(26.6)

Maintenant, prenons le premier point de notre pentagone. Nous voyons que nous pouvons joindre

tous les pointsn, sauf le point considéré (-1) soit la formation de n - 1 segments comme le

montre la figure ci-dessous :

(26.7)

Avec le deuxième point, nous pouvons aussi joindre tous les points n, sauf le point considéré (-

1) et le premier point déjà vu (-1) soit la formation de n - 2 segments :

(26.8)

Avec le troisième nous pouvons aussi joindre tous les points n, sauf le point considéré (-1) et

sauf les deux points déjà vu (-2) soit la formation de n - 3 segments

(26.9)

Nous continuons avec les autres points: le 4ème qui donne n - 4 segments, le 5ème qui

donne n - 5 segments... In extenso, nous voyons donc que le (n - 2)ème point donne donc n -

(n - 2) segments, etc.

Nous avons donc finalement pour :

(26.10)

En simplifiant nous trouvons donc :

(26.11)

Nous nous retrouvons donc avec deux relations :

et (26.12)

Dès lors il vient que :

(26.13)

RECTANGLE

Définition: Le "rectangle" est un cas particulier du quadrilatère (forme à quatre côtés délimités par

des segments finis tel que : losange, carré, rectangle, trapèze, etc.) dans le sens où ses

côtés L et H (notation pour Longeur et Hauteur selon figure ci-dessous) sont égaux deux à deux et

à angle droit (en d'autres termes, L n'est pas forcément égal à H).

D'autres définitions possibles consistent à dire qu'un rectangle est un parallélogramme disposant

d'un angle ou un quadrilatère ayant quatre angles droits.

Remarque: Le rectangle peut être vu comme la composition de deux (ou plus) triangles rectangles

(voir plus loin la définition). Pour construire un rectangle, il suffirait d'avoir un seul et unique

triangle rectangle et lui faire subir une double réflexion et une rotation par rapport à un axe bien

choisi (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne).

(26.14)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre d'un rectangle

est donné par :

(26.15)

Et par définition, sa surface par :

(26.16)

et la longueur de sa diagonale par (application du théorème de Pythagore) :

(26.17)

La position du centre de gravité du rectangle, si nous posons le repère cartésien dans le coin

inférieur gauche de la forme, est trivialement donné par :

(26.18)

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le

rectangle serait ce que nous apercevrions si un parallélépipède traversait notre univers

parallèlement à ses faces.

carré

Définition: Le "carré" est un cas particulier du rectangle dans le sens où ses quatre côtés sont

égaux tel que .

(26.19)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre du carré est

donné par :

(26.20)

Ainsi, il vient pour la surface que :

(26.21)

et pour sa diagonale :

(26.22)

La position du centre de gravité du carré, si nous posons le repère cartésien dans le coin inférieur

gauche de la forme, est trivialement donné par :

(26.23)

Enfin, indiquons que si nous étions des êtres vivants dans un espace à deux dimensions, le carré

serait ce que nous apercevrions si un cube traversait notre univers parallèlement à ses faces.

triangle

Définition: Le "triangle quelconque" est un polygone à trois côtés et englobe dans les cas

particuliers, les triangles : isocèles, équilatéraux et rectangles.

(26.24)

De par les axiomes d'Euclide (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne), le périmètre d'un triangle

quelconque est donné par :

(26.25)

Le triangle quelconque est toujours décomposable en deux triangles rectangles. Ainsi, celui de la

figure ci-dessous peut se décomposer en deux triangles rectangles de base

respective et (définis par la projection orthogonale du sommet opposé au segment a) tels

que :

(26.26)

La surface de ces deux triangles rectangles sont comme nous l'avons déjà implicitement dit dans

notre étude du rectangle, la moitié de la surface d'un rectangle de même longueur et même

hauteur. Ainsi :

(26.27)

Ainsi la somme de ces surfaces, nous donne la surface du triangle quelconque :

(26.28)

Nous pouvons de cette dernière relation, que la surface tout triangle quelconque est assimilable à

la moitié de la surface d'un rectangle de longueur et hauteur .

Remarque: Quelque soit la base a, b, c et la hauteur respective , le raisonnement précédent

reste bien évidemment totalement juste.

La détermination du centre de gravité (ou barycentre) G (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) est

un peu moins intuitive que dans le cas du rectangle...

Nous pouvons bien sûr nous servir d'un repère et des outils du calcul vectoriel pour très

facilement déterminer ce dernier. Nous allons donc démontrer que le centre de gravité d'un

triangle quelconque est à l'intersection de toutes les médianes :

Démonstration:

Soit un triangle ABC. Nous appelons A' le milieu du segment BC, B' celui de AC et C' celui de AB:

(26.29)

Nous allons démontrer que le seul point G vérifiant (cf. le chapitre de Géométrie Euclidienne) :

(26.30)

est le point de concours des trois médianes du triangle ABC. Cette démonstration s'effectuera en

deux étapes, en deux propositions. Au terme, nous pourrons conclure par le théorème.

Propositions :

P1. Si ABC est un triangle alors il existe un et un seul centre de gravité G tel

que

P2. Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est ce point G.

Démonstrations:

DM1. Soit G un point du plan tel que . Nous pouvons alors écrire que :

(26.31)

d'où :

(26.32)

Cette relation vectorielle garantit que le point G est unique et que nous pouvons même le placer!

C.Q.F.D.

DM2. Pour démontrer que les trois médianes sont concourantes, nous allons prouver

que G appartient à chacune des trois médianes.

Au point P1., nous avons démontré que G vérifie l'égalité :

(26.33)

Comme A' est le milieu du côté BC, nous pouvons alors écrire que :

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 9 pages
Télécharger le document