Notes sur les fractales, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez13 janvier 2014

Notes sur les fractales, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les fractales. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'espace métrique des fractales, les images fractales, l'ensemble de mandelbrot, les ensembles de julia, les ensembles de newton.
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(37)

et donc que f(X) est fermé. Il reste à montrer que f(X) est borné. Supposons le contraire. Il existe

donc une suite telle que :

(38)

pour tout n entier naturel (puisque justement elle est supposée non bornée). Soit une

sous-suite convergente de avec :

(39)

Alors :

(40)

et par suite :

(41)

mais ceci est en contradiction avec :

(42)

Donc f(X) est borné. Donc f(X) étant fermé et borné il est compact.

C.Q.F.D.

Appliquons maintenant cela (car c'est ce qui nous intéresse dans le cadre des espaces fractals)

au calcul de la distance d'un point à un ensemble : Soit .

L'application définie par f(y)=d(x, y) est continue.

Démonstration:

Pour tout , l'inégalité triangulaire nous donne :

(43)

En changeant les rôles de y,z nous obtenons :

(44)

et donc :

(45)

Ainsi pour donné implique :

(46)

c'est-à-dire :

(47)

et f est continue en y.

C.Q.F.D.

Définition: Pour et nous définissons la distance de x à A comme étant la valeur :

(48)

Si alors (trivial). La réciproque n'est pas vraie. En effet dans le

cas nous avons bien mais . Nous avons donc la proposition

(importante!) :

(49)

Démonstration:

entraîne l'existence d'une suite d'éléments de A telle que :

(50)

ce qui veut dire :

(51)

donc (voir développements plus hauts).

Réciproquement, si alors pour tout il existe tel que .

Mais . Ainsi pour tout , . C'est-à-dire :

(52)

C.Q.F.D.

En général la distance de x à A n'est pas atteinte. C'est-à-dire qu'il n'existe pas de tel

que il suffit pour cela de considérer l'exemple nous

avons mais pour tout , . Si A est compact, la situation est bien

évidemment différente selon la proposition (la plus important pour la distance de Hausdorff)

suivante :

Si est compact, il existe tel que . Ainsi :

(53)

Démonstration:

L'application définie par est continue comme déjà montré. Par

conséquent f(A) est compact (cf. une proposition précédente). Ainsi, f atteint ses bornes, c'est-

à-dire, il existe tel quef(a)=inf( f(A) ). Donc :

(54)

C.Q.F.D.

Remarque: La proposition précédente ne dit pas que a est unique, d'ailleurs en général, il en

existe plusieurs.

ESPACE MÉTRIQUE DES FRACTALES

Les fractales sont souvent perçus par les gens comme de jolis dessins sur une feuille, mais

lorsque nous voulons regarder en détail la géométrie fractale, nous avons besoin d'un espace

particulier où l'étudier, un peu comme le biologiste qui met des petits vers sur une plaquette

pour les observer en détail au microscope. Nous allons faire de même pour nos fractales en les

plaçant dans un endroit qu'ils apprécient.

Cet endroit a de fortes chances d'être un sous-espace de ou , puisqu'en fin de compte il

s'agira de produire des dessins, et pour illustrer nos propos nous nous placerons souvent dans

le cas (avec le métrique euclidienne) et sauf mention du contraire, nous considérerons

toujours le cas où est un espace métrique complet.

Rassemblons différentes éléments afin de pouvoir construire cet espace :

Définition: Nous définissons comme l'espace dont les points sont les sous-ensembles

compacts de X, autres que l'ensemble. Désormais nous appellerons "fractale" n'importe quel

élément de .

Exemple:

Il est immédiat que si , alors , mais n'est pas forcément

dans . Il suffit de voir l'exemple avec les deux ensembles compacts (fermés, bornés

donc) ci-dessous de . Ce sont donc deux points de . Leur réunion est encore un

ensemble compact, et donc :

(55)

Par contre, si les ensembles sont disjoints (comme ici), et par conséquent n'est pas

un point de (voir la théorie précédente).

Source: IFS et L-Système, V. Rezzonico, C. Hebeisen (56)

Définition: Soit et , nous définissons la distance d'un point x à l'ensemble B,

et nous la notons d(x,B) comme étant :

(57)

Remarques:

R1. Cette définition est tout à fait générale et s'applique à n'importe quel sous-ensemble non vide

de X, en remplaçant min par inf. Mais dans le cas particulier, nous somme intéressés à prendre

précisément comme sous-espace.

R2. Cette distance est bien définie (elle existe) du fait que B est non-vide et compact.

R3. Il est trivial de voir que si cette distance est nulle, alors .

Exemple:

Illustration dans le cas où

Source: IFS et L-Système, V. Rezzonico, C. Hebeisen (58)

Définition: Soient . Nous définissons la distance de A à B et nous la

notons comme étant :

(59)

Remarques:

R1. Comme avant, cette définition a un sens, et en particulier il existe deux

points tel que .

R2. Nous constatons que cette distance ne fournit pas de métrique : en

effet, en général (prendre par exemple le cas où avec , nous

aurons alors d(A,B)=0 mais ).

Définition: Soient . Nous définissons la "distance de Hausdorff" entre deux

ensembles , et nous la notons , comme étant :

(60)

Cette fois ci, de par cette dernière définition, nous avons bien une métrique sur . En

effet, vérifions que les 5 propriétés d'une distance soient vérifiées (cf. chapitre de Topologie) :

soit . Clairement nous avons sans démonstration (symétrie, nullité sur la

diagonale et séparation) :

(61)

De plus, comme A et B sont compacts, (cf. une des propositions précédentes)

pour un certain et un certain . Or, puisque par définition nous avons

(propriété positivité) et finalement tel que :

(62)

puisque B est fermé.

Enfin, puisque (cf. extension d'une des propositions précédentes), l'inégalité

triangulaire est alors forcément respectée et alors :

(63)

Donc h est bien une métrique sur , ce qui fait de un espace métrique. C'est

déjà un premier pas dans la direction souhaitée : nous avons désormais les moyens de

comparer deux ensembles appartenant à par la distance de Hausdorff qui les sépare. Si

les deux ne sont pas "trop différents", alors intuitivement cette distance devrait être assez

petite.

IMAGES FRACTALES

Plusieurs méthodes ont été proposées pour construire des images fractales, nous nous

intéresserons aux méthodes dites "méthodes d'échappement" :

On se place dans le plan complexe formé des points M de coordonnées

(x, y) d'affixe où i représente le nombre complexe tel que .

On considère une suite complexe définie par et , f étant une

fonction continue complexe. On suppose que f à un point fixe , c'est-à-dire qu'il

existe tel que (il s'agit du "théorème du point fixe" démontré dans la section

d'algèbre du site au chapitre sur les suites et séries). Sous certaines conditions sur f et sur ,

on constate que la suite des points ne divergent pas. Cette méthode est à la base de la

construction des ensembles de Mandelbrot et de Julia.

Construire une image fractale à partir d'un ensemble de suites ainsi définies, revient à étudier

pour chaque couple (x, y) du plan le comportement de la suite. On associe alors une couleur à

chaque suite (c'est-à-dire à chaque couple (x, y)) représentant la "rapidité" de divergence de la

suite.

Pour étudier la convergence d'une suite, on regarde ses n premiers éléments, si on détecte que

les conditions de divergence sont vérifiées alors on peut dire que cette suite diverge, sinon,

cette suite est potentiellement convergente. On remarque que plus n est grand plus les

résultats seront précis (mais plus le temps de calcul sera grand).

L'algorithme de base est le suivant:

Fractal=proc(x,y)

z:= valeur de z0;

j:=nombre max itérations

Tant que condition_de_divergence non vérifiée(z) et j non atteint faire

z:=formule_iteration(z)

changer de couleur;

Fin Tant que

Renvoyer couleur finale

Fin Fractal

ENSEMBLE DE MANDELBROT

On construit l'ensemble de Mandelbrot grâce à des itérations dans le plan complexe. La

fonction est de la forme:

(64)

où c est un paramètre constant tel que . Le premier terme de la suite est nul. On a donc la

suite Udéfinie par:

et (65)

Pourquoi commence-t-on avec ?: Car zéro est le point critique de , c'est-à-dire le

point qui satisfait à l'extremum:

(66)

Pour chaque point d'affixe x+iy du plan, on étudie la suite U pour . Si la suite diverge,

on dit que le point testé n'appartient pas à l'ensemble M, si la suite converge, on dit que le

point appartient à M.

Pour reproduire l'ensemble de Mandelbrot, on associe à c des valeurs du plan complexe. On

considère généralement la portion du plan complexe ayant comme partie réelle, les valeurs

entre -2.5 et 1.5 et comme partie imaginaire, les valeurs entre -1.5 et 1.5. Cette portion du

plan complexe est subdivisée de façon à former une grille dont les éléments seront associés à

des valeurs de C. Pour chaque valeur de C, on obtient une suite dont les modules peuvent

converger ou diverger. En pratique, on considère que la suite des modules converge si les 30

premiers modules sont inférieurs à 2. Lorsque la suite des modules converge, on colorie en noir

le point de la grille. Après avoir considéré tous les points de la grille, on obtient un ensemble

de points noircis: "l'ensemble de Mandelbrot" noté M. Ce qui constitue un résultat

remarquablement curieux!

(67)

La liste des générés par l'itération s'appelle "l'orbite" de .

On peut colorer les points à l'extérieur de l'ensemble de Mandelbrot en utilisant des couleurs

qui dépendent du nombre de termes calculés avant d'obtenir un module supérieur ou égal à 2.

Les points d'une même couleur peuvent être interprétés comme étant des points s'éloignant à

la même vitesse de l'ensemble de Mandelbrot.

On peut aussi faire une incursion dans l'ensemble de Mandelbrot en utilisant MapleV

(disponible habituellement au collège). Il suffit de copier le programme ci-dessous sur une

feuille de travail du logiciel et d'indiquer à la place de -2 .. 1, -1.5 .. 1.5 de la dernière ligne,

l'étendue des parties réelles et imaginaires de c que l'on désire visualiser:

restart: with(plots):

couleur:=proc(a,b)

local x,y,xi,yi,n;

x:=a;

y:=b;

for n from 0 to 30 while evalf(x^2+y^2) < 4 do;

xi:=evalf(x^2-y^2+a);

yi:=evalf(2*x*y+b);

x:=xi;

y:=yi;

od;

n

end:

plot3d(0,-2..1,-1.5..1.5,orientation=[-90,0],style=patchnogrid,

scaling=constrained,axes=framed,numpoints=20000,color=couleur);

Vous obtiendrez dès lors le résultat ci-dessous:

(68)

Pour information, le domaine de l'analyse complexe qui étudie des systèmes dynamiques

s'intéressant principalement à l'étude d'itération d'applications holomorphes (cf. chapitre

d'Analyse Complexe) se nomme la "dynamique holomorphe".

ENSEMBLES DE JULIA

L'ensemble de Julia se construit presque de la même façon que l'ensemble de Mandelbrot. Dans

l'ensemble de Mandelbrot, c balaye le plan. Pour l'ensemble de Julia, c est fixé pendant tout le

calcul de l'image. A chaque ccorrespond donc un ensemble particulier que l'on notera J(c). Ce

qui varie, c'est , qui prend la valeur du point à tester. C'est donc qui balaie le plan.

Le point A de coordonnées (x, y) et d'affixe x+iy appartient à J(c) si et seulement si la suite

définie par:

et (69)

converge.

En fait, l'ensemble de Mandelbrot est l'ensemble des points c tels que l'ensemble de Julia de

paramètre c soit connexe. Si à nouveau on développe l'algorithme, on obtient à un facteur

d'échelle près donné, le fractal représenté ci-dessous obentu grâche au petit programme Maple

V ci-dessous similaire à celui de Mandelbrot :

restart; with(plots):

julia := proc(c,x, y)local z, m;

z := evalf(x+y*I);

for m from 0 to 30 while abs(z) < 3 do

z := z^2 + c

od;

m

end:

J := proc(d)

global phonyvar;

phonyvar := d;

(x, y) -> julia(phonyvar, x, y)

end:

plot3d(0, -2 .. 2, -1.3 ..1.3, style=patchnogrid,orientation=[-90,0], grid=[270,

270],scaling=constrained, color=J(-1.25));

(70)

ENSEMBLES DE NEWTON

Les ensembles de Newton sont ainsi appelés car ils découlent de la résolution de problème de

la recherche des zéros d'une fonction par la méthode de Newton.

Soit une fonction f à valeur dans , et dérivable dans , on prend dans tel que:

(71)

Il y a alors deux manières de procéder:

1. Soit nous nous intéressons à et alors nous faisons comme précédemment

2. Soit nous nous demandons vers quel zéro la suite converge et nous nous intéressons

à

Si à nouveau nous développons l'algorithme, nous obtenons à un facteur d'échelle près donné,

le fractal représenté ci-dessous obtenu à nouveau avec Maple :

restart:

newton := proc(x, y)

local z, m;

z := evalf(x+y*I);

for m from 0 to 50 while abs(z^3-1) >= 0.001 do

z := z - (z^3-1)/(3*z^2)

od;

m

end:

plot3d(0, -2 .. 2, -1.5 .. 1.5, orientation=[-90,0],grid=[250, 250], style=patchnogrid,

scaling=constrained,color=newton);

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