Notes sur les lois fondamentales de l'arithmétique - 2° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les lois fondamentales de l'arithmétique - 2° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les lois fondamentales de l'arithmétique - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: La division, les exemples.
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pour tout nombre k tel que:

(3.62)

Nous avons aussi par exemple:

(3.63)

2. Nous définissons également la "factorielle" simplement (car il existe aussi un manière complexe

de la définir en passant par la fonction Gamma d'Euler comme cela est fait dans le chapitre de

Calcul Différentiel Et Intégral) par :

(3.64)

Exemples:

Voyons quelques exemples simples de multiplications élémentaires. La multiplication de deux

nombres relativement petits est assez facile dès que nous avons appris par coeur à compter

jusqu'à au moins le nombre résultant de cette opération. Ainsi:

, , (3.65)

Pour les beaucoup plus grands nombres il faut adopter une autre méthode qu'il s'agit d'apprendre

par coeur. Ainsi par exemple:

(3.66)

nous multiplions colonne par colonne et nous additionnons l'ensemble des résultats décalés d'un

chiffre comme ci-dessous (8x4=32, 8x7=56, 8x5=40, 8x4=32) ainsi nous obtenons :

(3.67)

Cette méthodologie est très logique si vous avez bien compris comment nous construisons un

chiffre en base dix. Ainsi, nous avons (nous supposerons pour l'instant la distributivité comme

connue):

(3.68)

Pour ne pas surcharger l'écriture dans la multiplication par la méthode "verticale", nous ne

représentons pas les zéros qui surchargeraient inutilement les calculs (et ce d'autant plus si le

multiplicateur le multiplicande sont de très grands nombres).

2.4. DIVISION

Définition: La division de nombres entiers (pour commencer par le cas le plus simple...) est une

opération, qui a pour but, étant donné deux nombres entiers, l'un appelé "dividende", l'autre

appelé "diviseur", d'en trouver un troisième appelé "quotient" qui soit le plus grand nombre dont le

produit par le diviseur puisse se retrancher (donc la division découle de la soustraction!) du

dividende (la différence étant nommé le "reste" ou la "congruence").

Remarque: Dans les cas des nombre réels il n'y a jamais de reste à la fin de l'opération de division (car le

quotient multiplié par le diviseur donne exactement le dividende)!

D'une façon générale dans le cadre des nombres entiers, si nous notons D le dividende, d le

diviseur, Q le quotient et R le reste nous avons la relation:

(3.69)

en sachant que la division était initialement notée de la manière suivante:

(3.70)

Nous désignons également souvent par "fraction" (au lieu de "quotient"), le rapport de deux

nombres ou autrement dit, la division du premier par le deuxième.

Remarque: Le signe de la division ":" est dû à Leibniz. La barre de fraction se trouve elle pour la première

fois dans les ouvrages de Fibonacci (1202) et elle est probablement due aux Hindous.

Si nous divisons deux nombres entiers et que nous souhaitons un entier comme quotient et

comme reste (s'il y en a un...), alors nous parlons de "division euclidienne".

Nous indiquons l'opération en plaçant entre les deux nombres, le dividende et le diviseur un " : "

ou une barre de division " / ".

Si nous avons :

(3.71)

nous appelons l'inverse du dividende. A tout nombre est associé un inverse qui satisfait cette

condition.

De cette définition il vient la notation (avec x étant un nombre quelconque différent de zéro) :

(3.72)

Dans le cas de deux nombres fractionnaires, nous disons qu'ils sont "inverses" ou "réciproques",

lorsque leur produit est égal à l'unité (comme la relation précédente) pour toute valeur de x,

positive ou négative.

Remarques:

R1. Une division par zéro est ce que nous nommons une "singularité". C'est-à-dire que le résultat de

la division est indéterminé.

R2. Lorsque nous multiplions le dividende et le diviseur d'une division (fraction) par un même

nombre, le quotient ne change pas (il s'agit d'une fraction équivalente), mais le reste est multiplié

par ce nombre.

R3. Diviser un nombre par un produit effectué de plusieurs facteurs revient à diviser ce nombre

successivement par chacun des facteurs du produit et réciproquement.

Les propriétés des divisions avec les notations condensées de puissances (exponentation) sont les

suivantes (nous laisserons le soin au lecteur de le vérifier avec des valeurs numériques):

(3.73)

ou :

(3.74)

Rappelons qu'un nombre premier (entier relatif) est un nombre qui n'a d'autres diviseurs que lui-

même et l'unité (rappelons 1 n'est pas unn nombre premier). Donc tout nombre qui n'est pas

premier a au moins un nombre premier comme diviseur (excepté 1 par définition!). Le plus petit

des diviseurs d'un nombre entier est donc un nombre premier (nous détaillerons les propriétés des

nombres premiers relativement au sujet de la division dans le chapitre de Théorie des Nombres).

Voyons quelques propriétés de la division (certaines nous sont déjà connues car elles découlent

d'un raisonnement logique des propriétés de la multiplication) :

(3.75)

où la deuxième ligne est ce que nous appelons une "amplification des termes" et la cinquième

ligne une "mise au dénominateur commun".

Nous avons aussi les propriétés suivantes:

P1. La division de plusieurs nombres dépend de l'ordre des termes. Nous disons alors que la

division est une "opération non-commutative". Ce qui signifie que nous avons quant A est

différent de B:

(3.76)

P2. La résultat de la division de plusieurs nombres change si nous remplacons deux ou plusieurs

d'entre eux par leur résultat intermédiaire. Nous disons alors que la division est "opération non-

associative":

(3.77)

P3. L'unité est l'élément neutre à droite de la division car tout dividende divisé par le diviseur 1 est

égal au dividende mais l'unité n'est par contre pas neutre à gauche.

P4. La division peut comporter un terme de telle façon à ce que la division soit égale à l'unité

(l'élément neutre). Nous disons alors qu'il existe un "symétrique pour la division".

Si a et b sont deux nombres réels positifs et non nuls nous avons :

, (3.78)

(3.79)

Nous pouvons maintenant définir la racine q-ième principale d'un nombre quelconque a :

(3.80)

la dernière relation n'étant définie que pour . Au niveau de la terminologie, nous avons :

(3.81)

qui est une racine, le nombre a est le "radicante" et q est l'indice de la racine. Le symbol est

appelé le "radical".

De ce qui a déjà été dit pour les puissances, nous pouvons conclure aisément que:

(3.82)

et :

(3.83)

il en ressort que :

et (3.84)

Nous avons également si :

(3.85)

si est impair et :

(3.86)

si est pair.

Si et est impair, alors :

(3.87)

est le nombre réel négatif b tel que:

(3.88)

Si est pair alors bien sûr, comme nous l'avons déjà vu, la racine est complexe (cf. chapitre

sur les Nombres).

Si le dénominateur d'un quotient contient un facteur de la forme avec , en multipliant

la numérateur et le dénominateur par , nous supprimerons la racine au dénominateur,

puisque :

(3.89)

Nous appelons communément ce procédé "rendre un dénominateur rationnel". Nous pouvons bien

sûr faire de même avec le numérateur.

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