Notes sur les méthodes numériques et la programmation, Notes de Logique mathématique
Emmanuel_89
Emmanuel_8928 février 2014

Notes sur les méthodes numériques et la programmation, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique au sujet des méthodes numériques et la programmation. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Analyse numérique, Exemple, Calcul de l’erreur, Conditionnement et stabilité numérique.
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MATHEMATIQUE

Méthodes numériques et programmation

Introduction

Analyse numérique : Etude et la construction d’algorithmes (du nom du mathématicien Al

Khawarizmi) ´de résolution numérique d’un problème donne.

En pratique, l’Analyse Numérique se propose d’étudier les propriétés mathématiques des

algorithmes et leur mise en œuvre (programmation).

Objectifs ? L’objectif de l’analyse numérique est de : concevoir et d’étudier des méthodes de

résolution de certains problèmes mathématiques (en général issus de la modélisation de problèmes

réels), et dont on cherche à calculer la solution ou son approximation a l’aide d’un ordinateur.

Enjeux de l’analyse numérique ? Résoudre des problèmes :

– que l’on ne sait pas résoudre autrement

– mieux qu’on ne le faisait avant :

– plus précisément, ´

– moins cher...

Etique (Objectifs) de l’analyse numérique.

– Plus vite :

– complexité des algorithmes

– complexité des problèmes

– Plus précis :

– erreur d’arrondi (liées à la machine)

– erreur d’approximation (liées a l’algorithme)

– Plus fiable :

– stabilité d’un algorithme ´

– Facile a programmer : `

– comprendre pour mieux réutiliser

1ere Conclusion. La confiance aveugle dans ce que l’on appelle les résultats fournis par l’ordinateur

peut être la cause d’erreurs qui peuvent couter très chères Alors que faire ?

Sources d’Erreurs. Il y a en 3 catégories :

– Erreurs lies´ a la machine, `

– Erreurs à la méthode (algorithme), ´

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– Erreurs sur les donnes (résultat d’un calcul approche, d’une mesure physique,...) ´

2eme Conclusion Arithmétique des calculateurs et Sources d’erreurs ´

Si sophistique qu’il soit, un calculateur ne peut fournir que des réponses approximatives.

Les approximations utilisées dépendent `a la fois des contraintes physiques (espace mémoire, vitesse de l’horloge...) et du choix des méthodes retenues par le concepteur du programme. Le but de ce chapitre est de prendre connaissance de l’impact de ces contraintes et de ces choix méthodologiques. Dans certains cas il doit être pris en compte dans l’analyse des résultats dont une utilisation erronée pourrait être couteuse. La première contrainte est que le système numérique de l’ordinateur est discret, c’est `a dire qu’il ne comporte qu’un nombre fini de nombres ; Il en découle que tous les calculs sont entaches d’erreurs. Evaluation de l’erreur. Rappelons d’abord quelques notion de base ; Si X est une quantité `a calculer et X_ la valeur calculée, on dit que : – X − X_ est l’erreur et | E |=| X − X_ |est l’erreur absolue.

Exemple : Calculer la valeur de (11111111)2 La valeur fournie par une petite calculatrice `a cinq chiffres est 1, 2345x1014 Mais la réponse exacte est 123456787654321. La machine a donc tronque le résultat `a 5 chiffres et l’erreur absolue est de 6 *109. L’erreur relative est de 0.005%. Cet exemple montre qu’il faut établir clairement l’objectif visée. Cet objectif est double ; 1) Nous voulons un bon ordre de grandeur (ici 1014) et avoir le maximum de décimales exactes, 2) Ce maximum ne peut excéder la longueur des mots permis par la machine et dépend donc de la machine La mémoire de l’ordinateur : Le stockage des nombres. La mémoire d’un ordinateur est formée d’un certain nombre d’unités adressables appelées OCTETS. Un ordinateur moderne contient des millions voir des milliards d’octets. Les nombres sont stock´es dan2.3. Les nombres entiers : Les nombres entiers sont ceux que l’on utilise d’habitude sauf que le plus grand nombre représentable dépend du nombre d’octets utilises : - avec deux (2) octets, on peut représenter les entiers compris entre −32768 et 32767 - avec quatre (4) octets on peut représenter les entiers compris entre −2147483648 et 2147483647 . Les nombres réels. Dans la mémoire d’un ordinateur, les nombres réels sont représentes en notation flottante. Cette notation a ´et´e introduite pour garder une erreur relative a peu prés constante ; quelque soit l’ordre de grandeur du nombre qu’on manipule. En notation flottante, un nombre a la forme : x = ±Y × be

b est la base du système numérique utilise Y est la mantisse : une suite de s entier y1y2...ys avec y1 6= 0 si x 6= 0 et 0 _ yi _ (b − 1) e est l’exposant (un nombre entier relatif)

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La norme choisie est celle o`u la mantisse est comprise entre 0 et 1 et o`u le premier chiffre après la virgule est différent de zéro . Calcul de l’erreur Nous terminons ce chapitre en définissant les notions de troncature et d’arrondie. Exemple : En base 10, x = 1/15 = 0.066666666...... Dans le cas d’une représentation tronquée nous aurons, pour s = 5, fl(x) = 0.66666 _ 10−1. Remarquez comment nous avons modifie l’exposant afin de respecter la règle qui veut que le premier chiffre de la mantisse ne soit pas nul . Dans ce cas, l’erreur absolue X − fl(X) est de 6 × 10−7. L’erreur relative est de l’ordre de 10−5 Dans une représentation tronquée `a s chiffres, l’erreur relative maximale est de l’ordre de 10−s Dans une représentation arrondie, lorsque la première décimale négligée est supérieure `a 5, on ajoute 1 a la dernière d´décimale conservées un ordinateur comme ENTIERS ou REELS.

Conditionnement et stabilité numérique. Le fait que certains nombres ne soient pas représentes de façon exacte dans un ordinateur entraine que l’introduction même de donnée d’un problème en machine modifie quelque peu le problème initial Il se peut que cette petite variation des données entraine une variation importante des résultats. C’est la notion de conditionnement d’un problème. On dit qu’un problème est bien (ou mal) conditionne, si une petite variation des données entraine une petite (une grande) variation sur les résultats. Cette notion de conditionnement est liée au problème mathématique lui même et est indépendante de la méthode utilisée pour le resoudre. Une autre notion importante en pratique est celle de stabilite numérique. Un problème peut être bien conditionne et la méthode utilisée pour le resoudre peut être sujette `a une propagation importante des erreurs numériques . Ces notions de conditionnement d’un problème et de stabilite numérique d’une méthode de résolution sont fondamentales en analyse numérique. Si un problème est mal conditionne alors la solution exacte du problème tronque ou arrondi a t digits pourra être très différente de la solution exacte du problème initial. Aucune méthode ne pourra rien ; il faudra essayer de donner une autre formulation au problème. Instabilité numérique : Si les erreurs introduites dans les étapes intermédiaires ont un effet négligeable sur le résultat final, On dira que le calcul ou l’algorithme est numériquement stable. Si des petits changements sur les données entrainent des petits changements sur le résultat. Sinon, on dira que l’algorithme est numériquement instable.

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