notes sur les mouvements oscillatoires - 1° partie, Notes de Physiques
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

notes sur les mouvements oscillatoires - 1° partie, Notes de Physiques

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Notes de physique sur les mouvements oscillatoires - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: qu'est-ce le mouvement oscillatoire? la pendule de Newton, le principe de fonctionnement, la pendule simple...
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MOUVEMENTS OSCILLATOIRES

Le mouvement oscillatoire est le mouvement d'un corps qui va et vient de part et d'autre de sa

position d'équilibre. Il existe une quantité incroyable de phénomènes physiques de ce genre. Nous

allons traiter dans cette section les grands classiques à partir desquels les développements sur des

phénomènes plus complexes s'inspirent.

Nous étudierons dans l'ordre les pendules des plus simples aux plus complexes et utiliserons

souvent des résultats antérieurs pour en déterminer de nouveaux.

Nous retreindrons notre étude des mouvements oscillatoires aux pendules. Les autres viendront au

fur et à mesure dans leurs chapitres respectifs.

Il existe neufs pendules très connus qui sont les suivants (ordre dans lequel nous les étudierons):

pendule de Newton, pendule simple, pendule physique, pendule élastique, pendule conique, pendule

de torsion, pendule de Foucault, pendule de Huygens.

PENDULE DE NEWTON

Nous n'allons pas trop nous étendre à décrire le pendule de newton. Une photo suffira:

(30.43)

Le principe de fonctionnement est le suivant:

Si vous lancez une bille, à l'extrémité une seule et unique bille se déplacera. Cela semble logique et

cohérent d'après la conservation de la quantité de mouvement qui découle de la conservation de

l'énergie comme nous l'avons déjà vu.

Un peu plus curieux, lorsque vous lancez initialement deux billes, ce sont deux billes qui se

déplacement à l'autre extrémité!

La démonstration est simple et le fonctionnement se base sur une condition très simple que nous

allons déterminer pour le cas particulier de deux billes (c'est toujours le même principe pour un

nombre de billes supérieur) :

Soit les quantités de mouvement des deux billes initiales et les deux billes se

situant à l'autre extrémité. Nous avons donc:

(30.44)

Nous avons pour l'énergie cinétique:

(30.45)

après regroupement et simplification:

(30.46)

Ensuite après division de la deuxième relation ci-dessus par la première, nous déduisons

l'expression des vitesses après le choc:

(30.47)

Hypothèse: supposons maintenant qu'en prenant une seule des billes ( ), il y en ait deux qui

partent à l'autre extrémité tel que:

(30.48)

Prenons le cas où toutes les billes du pendule de Newton ont la même masse (cas correspondant à

celui que l'on trouve dans le commerce). Alors:

(30.49)

Nous voyons que notre hypothèse initiale impossible: si à masses égales, une seule bille est lancée

alors, à l'autre extrémité, une seule bille partira (hypothèse des "chocs élastiques").

Par contre, si nous lançons deux billes dans un pendule de Newton composé de masses identiques

nous avons après simplification des équations:

(30.50)

deux billes qui partent à l'autre extrémité.

Il suffit de procéder à des raisonnements identiques pour 3, 4, 5, ... billes.

C.Q.F.D.

PENDULE SIMPLE

Soit, T la période de temps nécessaire pour qu'un pendule simple (voir figure ci-dessous) parcoure

un cycle complet et que l'on peut écrire:

(30.51)

qui est donc l'inverse de la "fréquence propre" du système en l'absence de frottement.

(30.52)

La variation de l'énergie potentielle du système étant:

(30.53)

Nous savons que et que la conservation de l'énergie nous permet de poser:

(30.54)

Après simplification nous obtenons:

(30.55)

Nous pouvons exprimer par rapport à la distance parcourue par le pendule:

(30.56)

Si nous dérivons cette expression par rapport au temps... Nous obtenons alors:

(30.57)

Si nous revenons à:

(30.58)

et que nous le dérivons, nous obtenons:

(30.59

)

Si l'angle est petit, nous pouvons remplacer avec l'aide de la série de Taylor et sans erreur trop

grave, par le premier terme de son développement en série:

(30.60)

et comme nous obtenons:

(30.61)

Etant donné que dans un cadre périodique:

(30.62)

nous pouvons alors écrire que:

(30.63)

d'où:

(30.64)

Comme nous pouvons poser:

(30.65)

Donc la période de balancement est indépendante de l'amplitude ce qui explique pourquoi le

nombre de balancements par minute d'un pendule simple est constant, quelle que soit l'ardeur que

nous mettions à le faire balancer...

Si:

(30.66)

où est la position du centre de masse de l'objet et P le nombre éventuels de maillons que l'on

aurait pris pour la longueur L de la chaîne et P étant le pas de la chaîne.

Ce qui nous donne finalement:

(30.67)

PENDULE PHYSIQUE

Nous appelons "pendule physique" un solide quelconque pouvant osciller librement dans la

pesanteur, autour d'un axe A, avec une petite amplitude ( ).

Son mouvement est déterminé par l'équation suivante:

(30.68)

où M est le moment de rappel et le moment d'inertie du pendule par rapport à son axe d'appuiA.

En faisant une analyse des forces sur notre pendule nous obtenons une autre relation pour M:

(30.69)

pour et où d est la distance de l'axe d'appui du pendule à son centre de masse. Le

terme négatif apparaît ici pour exprimer le fait que la période diminue avec le temps. Comme

l'angle est petit, nous avons remplacé et sans erreur trop grave par le premier terme de son

développement en série de Taylor:

(30.70)

Donc le moment de rappel peut s'écrire:

(30.71)

d'où l'équation différentielle du mouvement:

(30.72)

Nous avons vu dans les mouvements harmoniques oscillants que nous obtenions la position

angulaire d'une masse par la relation:

(30.73)

ce qui nous permet d'écrire:

(30.74)

et par simplification nous obtenons:

(30.75)

d'où:

(30.76)

En exprimant le moment d'inertie au moyen du théorème de Steiner en déduisons que:

(30.77)

et en introduisant encore le rayon de giration k:

(30.78)

d'où:

(30.79)

Soit x la position de l'axe de rotation A mesurée par rapport à une origine quelconque et a la

position du centre de gravité par rapport à la même origine nous avons:

(30.80)

tel que représenté ci-dessous:

(30.81)

d'où:

(30.82)

ce qui nous donne aussi pour la période:

(30.83)

comme la racine nous gêne nous élevons le tout au carré, ce qui nous donne finalement

(30.84)

Comme nous connaissons x et T, cette relation nous permettrait à partir du tracer un graphique

permettant de déterminer la position de G et k.

Ainsi, en portant sur un graphique en fonction de x:

(30.85)

La courbe obtenue présente une asymptote verticale ( ) pour et deux minima.

En dérivant par rapport à x et en annulant les dérivées, nous trouvons la position des minima :

(30.86)

PENDULE ÉLASTIQUE

Étudions maintenant les oscillations propres d'un solide suspendu à un ressort élastique tel qu'il

oscille. Après l'écart du solide de la position d'équilibre, il accomplira des oscillations harmoniques

dans le sens vertical, si le ressort élastique subit des déformations proportionnelles à l'allongement

du ressort.

Nous aurons souvent dans ce site à faire avec de petits mouvements autour d'une position

d'équilibre. Ce type de mouvement caractéristique de ce que nous appelons un "oscillateur

harmonique" est très fréquent. Il se généralise à toutes sortes de situations physiques, telles que les

circuits RLC (cf. chapitre de Génie Électrique), le modèle quantique corpusculaire et ondulatoire de

l'atome, les résonateurs à quartz ou toute autre structure vibrante faiblement autour de son point

d'équilibre.

Nous savons que la force de rappel d'un ressort est proportionnelle et opposée à la déformation telle

que (voir le chapitre de Génie Civil pour la démonstration):

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