Notes sur les niveaux de qualités - 2° partie, Notes de Aérotechnique et programmation informatique
Christophe
Christophe13 janvier 2014

Notes sur les niveaux de qualités - 2° partie, Notes de Aérotechnique et programmation informatique

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Notes d'ingénierie sur les niveaux de qualités - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: remarques, Modèle de Taguchi, exemple.
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(97)

Nous remarquons alors que sur une analyse long terme nous avons les intervalles:

(98)

Calculons maintenant la performance globale du procédé long terme (si supposé centré donc!).

Nous avons:

(99)

Mais avec un instrument ayant un de 4, cela correspond réellement à:

(100)

De plus, indiquons que comme nous savons faire un calcul d'intervalle de confiance

pour (voir le calcul fait précédemment), il est alors aisé d'en avoir un pour aussi!

Si l'analyse de la performance globale du procédé long terme est non centrée (ce qui est le cas

ici) nous utilisons donc:

(10

1)

et nous savons encore une fois qu'à cause de l'instrument, cette valeur est un peu sous-

évaluée! Nous avons bien évidemment:

(102)

donc le processus n'est pas centré (on s'en doutait...). Alors il faut calculer la capabilité

potentielle décentrée moyenne long terme du procédé selon les relations déterminées plus

haut:

(103)

Bref, que ce soit de la valeur de , ou , nous voyons que les valeurs sont toutes

limites capable (c'est-à-dire que la valeur est supérieure à 1 - voir définition plus haut pour un

rappel de ce que signifie "limite capable").

Si nous faisons alors nos calculs de PPM selon les relations obtenues plus haut avec la valeur

de et de obtenues, nous avons alors:

(104)

Ensuite dire ce chiffre est bon ou mauvais cela est difficile car il nous manque l'information de

savoir quel est le coût de production, le coût de revient et de réparation d'un produit et le tout

est lui-même dépendant de la quantité total fabriquée! Mais nous pouvons utiliser aussi le

modèle de Taguchi pour connaître la valeur des paramètres (moments) calculés qu'il serait

préférable de ne pas dépasser!

Calculons maintenant les indices de capabilité court terme! Pour cela, il nous faut l'estimateur

de la moyenne de l'ensemble en considérant chaque échantillon comme une variable aléatoire.

Nous savons (cf. chapitre de Statistiques) que cette moyenne est aussi la moyenne arithmétique

dans le cas d'une loi Normale et elle est strictement égale à celle que l'on calcule en considérant

l'ensemble des échantillons comme une seule et unique variable aléatoire. Donc il vient que:

(105)

En ce qui concerne l'écart-type par contre ce n'est pas pareil. Mais nous savons (cf. chapitre de

Statistiques) que la loi Normal est stable par la somme. Par exemple, nous avions démontré que

étant donné deux variables aléatoires indépendantes et distribuées selon une loi Normale (en

imaginant que chaque variable représente deux de nos dix échantillons), nous avions donc pour

leur some.:

(106)

Or nous avons aussi démontré dans le chapitre de Statistiques que de par la propriété de

linéarité de l'espérance, nous avons:

(107)

ce qui est conforme à notre remarque précédent pour la variance:

(108)

Donc in extenso:

(109)

et dans notre cas particulier:

(110)

nous avons une valeur supérieur à 1 ce qui est donc non-conforme à ce que Six Sigma exige

dans son niveau de qualité.

Donc l'erreur-standard (l'estimateur de l'écart-type de la moyenne) est de:

(111)

Donc l'intervalle de confiance à 95% de la moyenne est de (cf. chapitre de Statistiques):

(112)

Soit dans notre cas:

(113)

Nous remarquons donc qu'en court terme, l'intervalle est beaucoup plus large qu'en long terme

ce qui est normal étant donné la faible valeur de k (qui vaut donc 5 dans notre exemple).

Et l'inférence statistique avec notre écart-type long terme utilisant le test d'hypothèse bilatéral

du donne (cf. chapitre de Statistiques):

(114)

Ce qui nous donne dans notre cas:

(115)

soit:

(116)

Nous remarquons alors que sur une analyse long terme avec les intervalles:

(117)

Les variations peuvent donc être énormes avec une probabilité cumulée de 95% et il faudra

prendre garde dans un cas pratique d'apporter des réglages au plus vite afin de diminuer aux

maximum les moments!

Calculons maintenant la capabilité potentielle du procédé court terme (si supposé centré donc!).

Nous avons:

(118)

Donc nous avons:

(119)

ce qui est normal car si les mesures que nous avons étaient vraiment faites sur une longue

période alors ce serait très problématique alors que sur une courte période c'est déjà un peu

plus normal. D'où cette relation d'ordre entre les deux indices.

Mais avec un instrument ayant un de 4, cela correspond réellement à:

(120)

De plus, indiquons que comme nous savons faire un calcul d'intervalle de confiance

pour (voir le calcul fait précédemment), il est alors aisé d'en avoir un pour aussi!

Si l'analyse de la capabilité potentielle du procédé court terme est non centrée (ce qui est le cas

ici) nous utilisons donc:

(121)

et nous savons encore une fois qu'au cause de l'instrument, cette valeur est un peu sous

évaluée! Nous avons bien évidemment:

(122)

donc le processus n'est pas centré (on s'en doutait...). Alors il faut calculer la capabilité

potentielle décentrée moyenne court terme du procédé selon les relations déterminées

plus haut:

(123)

Bref, que ce soit de la valeur de , ou , nous voyons que les valeurs sont toutes

limites capable.

Si nous faisons alors nos calculs de PPM selon les relations obtenues plus haut avec la valeur

de et de obtenues, nous avons alors:

(124)

Ensuite dire ce chiffre est bon ou mauvais cela est difficile car il nous manque l'information de

savoir quel est le coût de production, le coût de revient et de réparation d'un produit et le tout

est lui-même dépendant de la quantité total fabriquée! Mais nous pouvons utiliser aussi le

modèle de Taguchi pour connaître la valeur des paramètres (moments) calculés qu'il serait

préférable de ne pas dépasser!

Modèle de Taguchi

Dans le cadre des SPC il est intéressant pour un industriel d'estimer les pertes financières

générées par les écarts à la cible (attention on peut appliquer également cette approche dans

d'autres domaines que l'industrie!)

Nous pouvons avoir une estimation relativement simple et satisfaisante de ses pertes (coûts)

sous les hypothèses suivantes:

H1. Le processus est sous contrôle (écart-type constant) et suit une loi de densité symétrique

décroissante à gauche et à droite par rapport à la cible (qui peut être une côte, un nombre

d'erreurs par périodes, etc.)

H2. Le coût est nul lorsque la production (ou le travail) est centrée sur la cible (minimum).

H3. Le coût augmente de manière identique lorsque la production se décentre sur la gauche et

sur la droite (ce qui n'est plus le cas dans le domaine de l'administration par exempl). La

fonction de coût passe donc selon H2 et H3 par un minimum sur la cible.

Dès lors, si nous notons Y le décentrage par rapport à la cible T et L la perte financière ("loss"

en anglais d'où leL). Nous avons:

(125)

Même si nous ne connaissons pas la forme de cette fonction, nous pouvons l'écrire sous forme

de développement de Taylor autour de T tel que (cf. chapitre de Suites et Séries):

(126)

Si nous développons au troisième ordre:

(127)

Or par l'hypothèse H2, nous avons L(T) qui est nul. Il reste alors:

(128)

et comme par H3, la dérivée de la fonction L(Y) est nulle en T puisqu'il s'agit d'un minimum

alors:

(129)

Ce qui est noté en SPC:

(130)

et est appelée "fonction de perte de Taguchi" ou plus simplement "fonction perte de qualité".

Bon c'est bien joli d'avoir cette relation mais comment doit-on l'utiliser?

Au fait, c'est relativement simple. Sous les hypothèses mentionnées plus haut, si nous avons en

production des mesures de défauts (côtes, retards, pannes, bug, etc.) alors il suffit de calculer

leur moyenne arithmétique (estimateur de la moyenne d'une loi Normale) et ensuite de

savoir le coût financier ou horaire L que cela a engendré pour l'entreprise ou l'institution

(parfois cette moyenne est calculée sur la base d'un unique échantillon...).

Donc la relation précédente devient:

(131)

avec L et connus.

Et comme T est donné par les exigences du client ou du contexte alors il est aisé d'obtenir le

facteur k:

(132)

qui est au fait mathématiquement parlant le point d'inflexion de la fonction mathématique L .

Cette dernière relation est parfois notée:

(133)

Une fois que nous avons k avec une bonne estimation, il est possible de connaître L pour toute

valeur Y et ainsi nous pouvons calculer en production le coût d'une déviation quelconque par

rapport à la cible.

Exemple:

Considérons une alimentation pour une chaîne stéréo pour laquelle T vaut 110 [V]. Si la tension

sort des alors la stéréo tombe en panne et doit être réparée. Supposons que le

coût de réparation est (tous frais directs et indirects compris!) de 100.-. Alors le coût associé

pour une valeur donnée de la tension est:

(134)

Voyons maintenant une manière élégante de calculer le coût moyen de Taguchi (perte unitaire

moyenne). Nous avons bien évidemment dans une chaîne de production sur plusieurs pièces

d'une même famille:

(135)

où les sont des variables aléatoires normales (gaussiennes par hypothèse). Or, nous avons

démontré dans le chapitre de Statistique lors de notre étude de l'intervalle de confiance sur la

variance avec moyenne empirique connue que:

(136)

Donc:

(137)

Donc:

(138)

Cette dernière expression présente l'avantage de montrer très clairement que pour minimiser la

perte il faut agir sur la dispersion et l'ajustement de la moyenne sur la valeur nominale.

Or nous avons démontré que (il est important dans les présents développements que nous

utilisions les notations qui distinguent les différents estimateurs!):

(139)

Donc:

(140)

Et si n est grand nous avons alors pour un lot de produits:

(141)

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