Notes sur les nombres rationnels, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les nombres rationnels, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les nombres rationnels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'ensemble des nombres rationnels, La logique de la création de l'ensemble des nombres rationnels, le tableau, les nombr...
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Nombres rationnels.

L'ensemble à aussi un défaut. Ainsi, la division de deux nombres dans n'a également pas

toujours un résultat dans (les nombres fractionnaires n'y existent pas). Nous disons alors dans

le langage de la théorie des ensembles que: la division n'est pas une opération interne dans .

Nous pouvons ainsi définir un nouvel ensemble qui contient tous les nombres qui peuvent s'écrire

sous forme de "fraction", c'est-à-dire du rapport d'un dividende et d'un diviseur. Quand un

nombre peut se mettre sous cette forme, nous disons que c'est une "nombre fractionnaire":

(2.31)

Une fraction peut être employée pour exprimer une partie, ou une part, de quelque chose

(d'un objet, d^'une distance, d'un terrain, d'une somme d'argent…).

Par définition, "l'ensemble des nombres rationnels" est donné par:

(2.32)

et où p et q sont des entiers sans facteurs communs (autrement dit la fraction p/q est écrite sous

forme irréductible).

Nous supposerons par ailleurs comme évident que :

(2.33)

La logique de la création de l'ensemble des nombres rationnels est similaire à celle des entiers

relatifs. Effectivement, les mathématiciens ont souhaité faire de l'ensemble des nombres relatifs

un "groupe" par rapport à la loi de multiplication et de division (cf. chapitre de Théorie Des

Ensembles).

De plus, contrairement à l'intuition, l'ensemble des nombres entiers et nombres rationnels sont

équipotents. Nous pouvons nous persuader de cette équipotence en rangeant comme le fit Cantor,

les rationnels dans un premier temps de la façon suivante:

(2.34)

Ce tableau est construit de telle manière que chaque rationnel n'apparaît qu'une seule fois (au

sens de sa valeur décimale) par diagonale d'où le nom de la méthode : "diagonale de Cantor".

Si nous éléminons de chaque diagonale les rationnels qui apparaissent plus d'une fois (les

"fractions équivalentes") pour ne garder plus que ceux qui sont irréductibles (donc ceux dont le

PGCD du numérateur et dénominateur est égal à 1), nous pouvons alors ainsi grâce à cette

distinction définir une application qui est injective (deux rationnels distincts

admettent des rangs distincts) et surjective (à toute place sera inscrit un rationnel).

L'application f est donc bijective: et sont donc bien équipotents !

La définition un peu plus rigoureuse (et donc moins sympathique) de se fait à partir de en

procédant comme suit (il est intéressant d'observer les notations utilisées) :

Sur l'ensemble , qu'il faut lire comme étant l'ensemble construit à partir de deux

éléments entiers relatifs dont on exclut le zéro pour le deuxième, on considère la relation R entre

deux couples d'entiers relatifs définie par :

(2.35)

Nous vérifions facilement ensuite que R est une relation d'équivalence (cf. chapitre sur les

Opérateurs) sur .

L'ensemble des classes d'équivalences pour cette relation R noté alors est par

définition . C'est-à-dire que nous posons alors plus rigoureusement :

(2.36)

La classe d'équivalence de est explicitement notée par:

(2.37)

conformément à la notation que tout le monde a l'habitude d'employer.

Nous vérifions facilement que l'addition et la multiplication qui étaient des opérations définies

sur passent sans problèmes à en posant :

(2.38)

De plus ces opérations munissent d'une structure de corps (cf. chapitre de Théorie Des

Ensembles) avec comme élément neutre additif et comme élément neutre multiplicatif. Ainsi,

tout élément non nul de est inversible, en effet :

(2.39)

ce qui s'écrit aussi plus techniquement :

(2.40)

Remarque: Même si nous aurions envie de définir comme étant

l'ensemble où représente les numérateurs et les dénominateurs des rationnels,

ceci n'est pas possible car autrement nous aurions par exemple tandis que nous nous

attendons à une égalité.

D'où le besoin d'introduire une relation d'équivalence qui nous permet d'identifier, pour revenir à

l'exemple précédent, (1,2) et (2,4). La relation R que nous avons définie ne tombe pas du ciel, en

effet le lecteur qui a manipulé les rationnels jusqu'à présent sans jamais avoir vu leur définition

formelle sait que :

(2.41)

Il est donc naturel de définir la relation R comme nous l'avons fait. En particulier, en ce qui

concerne l'exemple ci-dessus, car (1,2)R(2,4) et le problème est résolu.

Outre les circonstances historiques de sa mise en place, ce nouvel ensemble se distingue des

ensembles d'entiers relatifs car il induit la notion originale et paradoxale de quantité partielle.

Cette notion qui à priori n'a pas de sens, trouvera sa place dans l'esprit de l'homme notamment

grâce à la géométrie où l'idée de fraction de longueur, de proportion s'illustre plus intuitivement.

2.4. Nombres IRRATIONNELS

L'ensemble des rationnels est limité et non suffisant lui aussi. Effectivement, nous pourrions

penser que tout calcul mathématique numérique avec les opérations communément connues se

réduisent à cet ensemble mais ce n'est pas le cas.

Exemples :

E1. Prenons le calcul de la racine carrée de deux que nous noterons . Supposons que cette

dernière racine soit un rationnel. Alors s'il s'agit bien d'un rationnel, nous devrions pouvoir

l'exprimer comme a/b, où par de par la définition d'un rationnel a et b sont des entiers sans

facteurs commun. Pour cette raison, a et b ne peuvent tous les deux êtres pairs. Il y a trois

possibilités restantes :

1. a est impair (b est alors pair)

2. a est pair (b est alors impair)

3. a est impair (b est alors impair)

En mettant au carré, nous avons :

(2.42)

qui peut s'écrire :

(2.43)

Puisque le carré d'un nombre impair est impair et le carré d'un nombre pair est pair, le cas (1) est

impossible, car serait impair et serait pair.

Le cas (2) est aussi est aussi impossible, car alors nous pourrions écrire , où c est un entier

quelconque, et donc si nous le portons au carré nous avons où nous avons un nombre

pair des deux côtés de l'égalité. En remplaçant dans nous obtenons après simplification

que . serait impair alors que serait pair.

Le cas (3) est aussi impossible, car est donc alors impaire et est pair (que b soit pair ou

impaire!).

Il n'y a pas de solution! C'est donc que l'hypothèse de départ est fausse et qu'il n'existe pas deux

entiers a etb tels que .

E2. Démontrons, aussi par l'absurde, que le fameux nombre d'Euler e est irrationnel. Pour cela,

rappelons que e(cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle) peut aussi être défini par la série de Taylor

(cf. chapitre sur les Suites Et Séries):

(2.44)

Alors si e est rationnel, il doit pouvoir s'écrire sous la forme p/q (avec , car nous savons

que e n'est pas entier). Multiplions les deux côtés de côtés de l'égalité par q! :

(2.45)

Le premier membre q!e serait alors un entier, car par définition de la factorielle:

(2.46)

est un entier.

Les premiers termes du seconde membre de la relation antéprécédente, jusqu'au terme q!/q!=1

sont aussi des entiers car q!/m! se simplifie si q>m. Donc par soustraction nous trouvons :

(2.47)

où la série à droite devrait aussi être un entier!

Après simplification, le second membre de l'égalité devient :

(2.48)

le premier terme de cette somme est strictement inférieur à 1/2, le deuxième inférieur à 1/4, le

troisième inférieur à 1/8, etc.

Donc, vu que chaque terme est strictement inférieur aux termes de la série harmonique suivante

qui converge vers 1:

1/2+1/4+1/8+...=1 (2.49)

alors par conséquent, la série n'est pas un entier puisque étant strictement inférieure à 1. Ce qui

constitue une contradiction!

Ainsi, les nombres rationnels ne satisfont pas à l'expression numérique de comme de e (pour

citer seulement ces deux exemples particuliers).

Il faut donc les compléter par l'ensemble de tous les nombres qui ne peuvent s'écrire sous forme

de fraction (rapport d'un dividende et d'un diviseur entiers sans facteurs communs) et que nous

appelons des "nombres irrationnels".

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