Notes sur les opérateurs différentiels - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les opérateurs différentiels - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les opérateurs différentiels - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'expression de l'opérateur, les rotationnels d'un champ de vecteurs, les exemples.
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(12.209)

Par rapport à la première expression de , le terme dxdydz est donc un élément de volume et

non plus de surface. Nous avons aussi un résultat intéressant :

(12.210)

Remarque: Voir les exemples pratiques dans le chapitre d'électrodynamique où par exemple pour le

champ électrique la divergence est nulle pour un charge sphérique libre car les vecteurs pointent

dans des directions différentes (divergence directionnelle) et les modules décroissent comme

l'inverse du carrée du rayon (convergence modulaire). Les deux contributions sont en oppositions et

donc la divergence totale est nulle.

Le développement ci-dessus est appelé "théorème d'Ostrogradsky" ou "théorème de Gauss-

Ostrogradsky" ou encore "théorème de la divergence" et définit en fait la divergence totale

de dans un volume comme le flux de à travers les parois du volume (surface Gauss), ce

qu'exprime bien le nom divergence.

Nous définissons "l'opérateur divergence" par la relation suivante (la notation tensorielle a été

utilisée afin d'abréger l'écriture) dans un espace à n dimensions:

(12.211)

Ainsi, nous avons pour l'opérateur "divergence en coordonnées cartésiennes" :

(12.212)

Si la divergence d'un champ de vecteurs est identiquement nulle en tous les points d'un repère

Eulérien, l'intégrale triple du flux de ce champ à travers un volume V sera:

(12.213)

Il en résulte que le flux de ce champ de vecteurs à travers les bords du volume est nul, c'est-à-

dire que le flux entrant compense le flux sortant. Nous disons qu'un tel champ de vecteurs de

divergence nulle présente un flux conservatif.

Pour déterminer l'expression de la divergence en coordonnées polaires rappelons les relations

démontrées plus haut :

(12.214)

Soit à présent une fonction vectorielle. Nous avons :

(12.215)

Connaissant l'expression de en fonction de , à partir de l'expression ci-dessus nous en

déduisons :

(12.216)

La divergence de est définie par . Nous avons :

(12.217)

Le premier terme vaut (application du gradient en coordonnées cylindriques):

(12.218)

de la même façon nous obtenons (nous pouvons détailler sur demande) :

(12.219)

En additionnant les trois termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions en

fonction des dérivées partielles des fonctions à l'aide des relations :

(12.220)

Nous obtenons :

(12.221)

Après simplification :

(12.222)

L'expression de l'opérateur "divergence en coordonnées polaires" est alors :

(12.223)

Pour déterminer l'expression de l'opérateur divergence en coordonnées cylindriques rappelons les

relations :

(12.224)

Soit à présent une fonction vectorielle. Nous avons :

(12.225)

Connaissant l'expression de en fonction de , à partir de l'expression ci-dessus

nous en déduisons :

(12.226)

La divergence de est définie par . Nous avons :

(12.227)

Le premier terme vaut (application du gradient en coordonnées cylindriques):

(12.228)

de la même façon nous obtenons (nous pouvons détailler sur demande) :

(12.229)

et :

(12.230)

En additionnant les trois termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions en

fonction des dérivées partielles des fonctions à l'aide des relations :

(12.231)

Nous obtenons :

(12.232)

Après simplification :

(12.233)

L'expression de l'opérateur "divergence en coordonnées cylindriques" est alors :

(12.234)

Pour obtenir l'expression de la divergence en coordonnes sphériques, rappelons les relations :

(12.235)

Soit à présent une fonction vectorielle. Nous avons :

(12.236)

Connaissant l'expression de en fonction de , à partir de l'expression ci-dessus

nous en déduisons :

(12.237)

La divergence de est définie par . Nous avons :

(12.238)

Le premier terme vaut (application du gradient en coordonnées sphériques):

(12.239)

de la même façon nous obtenons (nous pouvons détailler sur demande) :

(12.240)

et :

(12.241)

En additionnant les trois termes et en exprimant les dérivées partielles des fonctions en

fonction des dérivées partielles des fonctions à l'aide des relations :

(12.242)

nous obtenons (nous pouvons développer les détails intermédiaires sur demande) :

(12.243)

Ainsi, l'expression de la divergence en coordonnées sphériques devient :

(12.244)

et donc l'opérateur de "divergence en coordonnées sphériques" est alors :

(12.245)

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions de la divergence d'un champ vectoriel dans

les systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.

ROTATIONNELS D'UN CHAMP DE VECTEURS

Le rotationnel d'un champ de vecteurs peut être vu (c'est une simplification!) comme le champ de

vecteurs dont les lignes de champs sont perpendiculaires à celles dont nous avons calculé le

rotationnel comme le montre l'exemple particulier ci-dessous:

(12.246)

Le rotationnel transforme ainsi un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Plus difficile

à se représenter précisément que le gradient et la divergence, il exprime intuitivement la tendance

qu'a un champ à tourner autour d'un point (la manière dont il est tordu).

Exemples:

E1. Dans une tornade, le vent tourne autour de l'oeil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du

vent a un rotationnel non nul autour de l'oeil.

E2. Le rotationnel du champ des vitesses d'un disque qui tourne à vitesse constante est constant,

dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la rotation ait lieu, par rapport à lui, dans

le sens direct.

Un champ de vecteurs est dit "irrotationnel" lorsque le rotationnel de ce champ est identiquement

nul en tous les points de l'espace. Dans le cas contraire, nous disons qu'il est "tourbillonnaire".

Dans le cas usuel où dx représente un élément de longueur, l'unité du rotationnel est alors l'unité

du champ considéré divisée par une unité de longueur. Par exemple, en mécanique des fluides:

l'unité du rotationnel d'un champ de vitesse est le radian par unité de temps, comme une vitesse

angulaire!

La divergence donne certaines indications sur le comportement d'un vecteur ou d'un champ de

vecteurs : comment il se dirige par rapport à la normale et comment il traverse les surfaces, mais

c'est insuffisant. Prenons un champ qui aurait la forme d'un cylindre et un autre champ qui aurait

la forme d'une hélice de même diamètre que le cylindre. S'ils se dirigent dans la même direction

leur divergence sera identique alors que les mouvements sont bien différents. Il faut donc que

nous déterminions la manière dont le champ est courbé quand il traverse une surface : ceci va être

déterminé par la circulation (comme le travail d'une force par exemple) du vecteur le long d'une

courbe fermée, obtenue avec la somme des produits scalaires sur le contour :

(12.247)

en fait ça revient au même de regarder comment est tordu le vecteur par rapport à la normale à la

surface ce qui nous amène à définir le "rotationnel" ou "vecteur tourbillon" en écrivant :

(12.248)

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