Notes sur les paramétrisations - 1° partie, Notes de Mathématiques Appliquées. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les paramétrisations - 1° partie, Notes de Mathématiques Appliquées. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur les paramétrisations - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation du plan, l'équation d'une droite, l'équation d'un cône, l'équation d'une sphère.
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Paramétrisations.

Pour certaines des formes présentées ci-dessous, il est possible de choisir un autre système de

coordonnées que les coordonnées cartésiennes tel que par exemple les coordonnées cylindriques

ou sphériques qui sont dans certains cas beaucoup plus simples à mettre en place. Nous

tacherons dans la mesure du possible de présentes les plus importantes.

ÉQUATION DU PLAN

Soit un plan P dont nous connaissons un vecteur normal et unitaire mais pas l'équation

et un point de P.

Pour qu'un point M de coordonnées (x, y, z) appartienne au plan P il faut et il suffit que les

vecteurs et soient orthogonaux. Donc soit le point donné par le vecteur étant de

coordonnées:

(24.72)

Si est perpendiculaire à alors le produit scalaire doit être nul tel que:

(24.73)

Ce qui s'écrit aussi :

(24.74)

tel que nous obtenions l'équation cartésienne générale du plan:

(24.75)

Cette équation où qui vérifie que les coordonnées d'un

point quelconque du plan P appartienne à ce plan est donc appelée "équation

cartésienne du plan P".

Si nous écrivons l'équation avec les cosinus directeurs de (cf. chapitre de Calcul Vectoriel), nous

avons dès lors aussi :

(24.76)

Remarque: Pour obtenir un cube dans l'espace, il suffit d'avoir six plans délimités par des conditions telles

que

ÉQUATION D'UNE DROITE

Comme nous l'avons vu en analyse fonctionnelle, une droite dans le plan peut-être décrite par la

fonction :

(24.77)

L'équation cartésienne généralisée de la droite est alors simplement donnée par :

(24.78)

Effectivement, en simplifiant nous retrouvons "l'équation cartésienne réduite" :

(24.79)

Définition: Nous appelons "vecteur directeur" d'une droite D , tout vecteur non nul de même

direction que la droite.

Montrons maintenant les deux petits théorèmes sympathiques suivants :

T1. Si une droite a pour équation alors le vecteur est directeur de cette droite

T2. Si une droite a pour équation alors le vecteur est directeur de cette

droite.

Démonstrations:

DM1. Soit et A, B deux points de cette droite pris tel que .

Comme A, B sont deux points de D alors est un vecteur directeur de D alors :

(24.80)

Un petit corollaire intéressant aus passage qui a une application en physique!:

Si une droite D1 à un vecteur directeur valant:

(24.81)

et une autre droite D2 un vecteur directeur valant:

(24.82)

alors leur produit scalaire (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) est nul, ce qui montre que deux droites

dont la multiplication des pentes (deuxième coordonnée du vecteur directeur) vaut -1 sont

perpendiculaires!

DM2. Soit donc alors le vecteur est un vecteur

directeur de D ainsi que tout vecteur . Ainsi, il existe une infinité de manières de

définir la même droite, puisque la droite est composée d'une infinité de points (qui peuvent tous

servir de point d'ancrage) et qu'il existe une infinité de multiples du vecteur directeur.

C.Q.F.D.

Souvent, nous recherchons la distance entre une droite et un point externe à celle-ci. Ainsi,

considérons la figure suivante :

(24.83)

avec H la projection orthogonale de A sur la droite d, P un point arbitraire de d et un vecteur

orthogonal (normal) à d.

Nous avons (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) :

(24.84)

car ou . Ainsi :

(24.85)

Nous obtenons donc la relation :

(24.86)

Considérons maintenant le point et la droite .

Choisissons un point ainsi qu'un vecteur , normal à (rappelons

que est vecteur directeur). Ainsi, en appliquant la relation précédente nous avons :

(24.87)

Si nous considérons maintenant deux plans non parallèles de l'espace, leur intersection est une

droite. Soit deux plans d'équations respectives:

(24.88)

et D leur droite d'intersection.

Un point de l'espace appartient à la droite D si et seulement si le point M satisfait le

système d'équations:

(24.89)

Remarque: Alors que dans le plan une droite est caractérisée par une équation du type (cf.

chapitre d'Analyse Fonctionnelle). Dans l'espace, une seule équation de la

forme caractérise un plan. Pour caractériser une droite en dehors des plans des axes,

il est nécessaire (équation paramétrique mis à part) d'avoir deux équations.

Il est trivial (mais nous allons quand même le démontrer) que l'équation paramétrique d'une droite

est un système d'équations du type :

(24.90)

Ainsi, chaque composante croit linéairement par rapport à la même variable à une constante et un

facteur près. Ceci s'écrit aussi sous forme vectorielle (plus traditionnelle) :

(24.91)

Le vecteur est appelé "vecteur directeur".

Démonstration: Nous avons donc le système d'équations (deux équations à trois inconnues, ainsi

une inconnue sera indéterminée) :

(24.92)

Eliminons une des variables (commençons arbitrairement par z) :

(24.93)

où donc d'où :

(24.94)

donc (c'est un peu bête à écrire mais bon...) :

(24.95)

De manière similaire avec tel :

(24.96)

Finalement nous avons :

(24.97)

Le vecteur directeur et le vecteur d'ordonnée sont des constantes. Ce qui nous permet d'écrire de

manière plus générale :

(24.98)

C.Q.F.D.

Remarques:

R1. L'équation d'une droite est presque ce qu'il y a de plus important en synthèse d'images 3D car à

partir de ces dernières nous pouvons construire des polygones et assembler ces derniers pour

construire des formes tridimensionnelles plus complexes.

R2. Pour savoir si une droite est perpendiculaire à un plan il faut déterminer au moins deux droites

sécantes dans ce même plan et effectuer le produit vectoriel de leur vecteur directeur et ensuite

calculer le produit scalaire entre le résultat du produit vectoriel et la première droite dont nous

cherchons l'orthogonalité. Effectivement, une seule droite du plan ne permet pas de déterminer

l'orientation de ce dernier il en faut au moins deux.

ÉQUATION D'UN CÔNE

Soit la figure ci-dessous:

(24.99)

Nous remarquons tout d'abord que , d'où (l'origine du repère est notée par la lettre ) :

(24.100)

Or ici, d'où:

(24.101)

étant donné que:

(24.102)

donc :

(24.103)

c'est l'équation cartésienne d'un cône dans l'espace que nous retrouverons en relativité restreinte

lors de notre étude des cônes de lumière.

ÉQUATION D'UNE SPHÈRE

Considérons le repère orthonormé , soit S la sphère de centre et de rayon r :

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