Notes sur les polyèdres réguliers - 2° partie, Notes de Mathématiques Appliquées
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les polyèdres réguliers - 2° partie, Notes de Mathématiques Appliquées

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Notes de mathématique sur les polyèdres réguliers - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le calcul de la surface, Le calcul du volume, le dodécaèdre régulier.
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(26.155)

Connaissant les coordonnées des différentes sommets, calculons maintenant la surface et le

volume de l'icosaèdre régulier.

Le calcul de la surface est simple puisqu'il s'agit de 20 triangles équilatéraux. Nous avons doc :

(26.156)

donc :

(26.157)

Donc :

(26.158)

Donc :

(26.159)

Le calcul du volume est lui un peu plus subtil...

L'icosaèdre est construit autour du pentagone et de la section d'or comme nous avons pu nous en

apercevoir lors de notre étude de l'octaèdre.

Si jamais le lecteur n'est pas convaincu voici une figue supplémentaire où nous voyons bien que

chaque arête de l'icosaèdre est une arête d'un pentagone

(AFECB, LGHJK, DAJKC, DEGHA, BJILC, FELIH...) :

(26.160)

Utilisant la méthode des pyramides, nous avons 20 triangles équilatéraux qui servent de base à

une pyramide dont la hauteur va jusqu'à l'origine O de l'icosaèdre (où l'origine confondue de la

sphère inscrite ou circonscrite).

Prenons pour exemple la base ABD avec l'intersection des médiatrices se trouvant au

point M comme représenté ci-dessous.

(26.161)

Comme nous le savons, le volume de chaque pyramide est :

(26.162)

La surface b est dans notre situation celle du triangle équilatéral ADB et la hauteur h est le

segment OM.

Si nous notons a le côté de triangle, alors la surface est donnée par :

(26.163)

Pour trouver h, nous savons par construction du point M que les triangles OMA, OMB, OMD sont

des triangles rectangles.

Travaillions arbitrairement avec le triangle OMD. D'abord, déterminons la longueur DM. Nous

avons démontré lors de notre étude des médiatrices de longueur H du triangle équilatéral (cf.

chapitre de Géométrique Euclidienne) queDM vaut alors :

(26.164)

Or :

(26.165)

Donc finalement :

(26.166)

Pour trouver h nous devons trouver la longueur en termes de longueur des arêtes a de

l'icosaèdre. Pour cela, nous devons reconnaître une des propriétés géométrique élémentaires de

l'icosaèdre.

Avant d'aller plus loin, montrons une propriété du pentagone ci-dessous avec ses diagonales d et

ces cotés c :

(26.167)

BSEA est un parallélogramme. Effectivement, la diagonale BD est parallèle au côté AE (par

exemple, parce que tout deux sont perpendiculaire à l'axe de symétrie passant par OC).

Comme S est sur BD, cela prouve que BS et AEsont parallèles. Nous montrons de la même manière

que AB et SE sont parallèles.

Nous en déduisons que :

(26.168)

et de même pour CS :

(26.169)

Continuons..., nous avons l'égalité . Comme de plus CD et BE sont parallèles, les

triangles SCD etABE sont semblables. Par conséquent, les rapports de distances entre leurs côtés

sont conservés (Thalès) :

(26.170)

d'où la relation :

(26.171)

Si désigne maintenant le rapport d/c, la relation précédente devient :

(26.172)

et étant strictement positif, nous avons déjà vu lors de notre étude de l'octaèdre que l'unique

racine positive est le nombre d'or :

(26.173)

Nous venons donc de montrer qu'une diagonale d'un pentagone est égale au nombre d'or

multiplié par la longueur d'une arête de ce même pentagone.

Ainsi, nous avons dans les pentagones AFECB et LGHJK de notre icosaèdre :

(26.174)

Remarquons également le rectangle FBGK dont le barycentre est confondu avec celui de

l'icosaèdre. Par ailleurs, FKet BG représentent par construction le diamètre de la sphère

circonscrite à l'icosaèdre et donc en sont le rayon r que nous allons cherchons.

Nous avons :

(26.175)

Donc :

(26.176)

d'où :

(26.177)

Maintenant, nous pouvons calculer h :

(26.178)

Or :

(26.179)

puisque le nombre d'or est racine de l'équation .

Soit :

(26.180)

Donc finalement :

(26.181)

et :

(26.182)

Ainsi, le volume d'une pyramide de l'icosaèdre est :

(26.183)

Comme il y a 20 pyramides :

(26.184)

DODÉCAÈDRE RÉGULIER

Faut d'avoir trouvé dans la littérature une manière esthétiquement et simple de faisabilité de

construction du dodécaèdre, nous nous en passerons pour l'instant (il est possible de vivra sans).

Remarquons simplement que le dodécaèdre est composé de 12 pentagones réguliers et son

volume est assimilable à un parallélépipède sur lequel nous avons posé sur chacune des faces une

sorte de petit toit qui au final donner les pentagones :

(26.185)

Pour notre étude du dodécaèdre, nous nous intéresserons uniquement à déterminer sa surface et

son volume.

Pour cela, considérons dans un premier temps le pentagone régulier ci-dessous :

(26.186)

Nous allons d'abord devoir déterminer la longueur de h et de b.

Rappelons d'abord que nous avons lors de notre étude l'icosaèdre déjà démontré que la diagonale

d'un pentagone est reliée à la longueur de ses côtés par la relation :

(26.187)

où est donc le nombre d'Or. Il nous reste alors à déterminer h.

Il est d'abord évident que et que :

(26.188)

Or, deux informations nous manquent ici : l'angle et c. Commençons par déterminer combien vaut

le cosinus sans utiliser la calculatrice (vous comprendrez pourquoi...).

Nous avons d'abord selon la relation (cf. chapitre de Trigonométrie) :

(26.189)

Ce qui s'écrit aussi :

(26.190)

Mais cela s'écrit également en utilisant toujours la même relation trigonométrique remarquable :

(26.191)

Soit après simplification :

(26.192)

En faisant un changement de variable et en réarrangeant les différents termes :

(26.193)

Nous avons -1 et 1/2 qui sont deux racines évidentes et nous obtenons donc (cf. chapitre de

Calcul Algébrique) :

(26.194)

Nous n'avons plus qu'à résoudre une simple équation du deuxième degré dont la solution est

triviale en appliquant les méthodes vues dans le chapitre de Calcul Algébrique, et nous obtenons :

(26.195)

Soit en ne prenant que la seule solution admissible nous avons alors :

(26.196)

nous retrouvons donc nombre d'Or là aussi! et ceci nous amène directement à écrire que :

(26.197)

Il nous reste à déterminer c. Nous avons :

(26.198)

et comme nous avons :

(26.199)

et donc :

(26.200)

d'où :

(26.201)

Nous avons donc pour le calcul de la surface du pentagone, une surface composée de 12

pentagones dont chacun est composé d'un triangle de base a et de hauteur h.

(26.202)

Pour calculer le volume nous allons faire usage de l'astuce mentionnée au début. C'est-à-dire de

découper dans un premier temps le dodécaèdre en un parallélépipède de côté :

(26.203)

puisque le côté du parallélépipède est une diagonale du pentagone de côté s et de 6 petits toits

(qui sont bien visibles sur la figure du dodécaèdre donnée précédemment).

Chaque petit toit selon deux vues différentes aura les longueurs suivantes (où nous retrouvons

bien évidemment pour certaines arêtes celles des pentagones s ou encore les diagonales c de

ceux-ci) :

(26.204)

Pour chaque petit toit nous traitons à part les extrémités en les séparant et en les réunissant.

Finalement nous avons deux morceaux à traiter : la partie majeure du toit visible à gauche sur la

figure ci-dessous et la partie secondaire du toit à droite sur la figure qui n'est d'autre que la

réunion des extrémités du toit :

(26.205)

Il nous faut donc déterminer x et l et h puisque c et s nous sont déjà connus.

D'abord nous voyons trivialement que :

(26.206)

Du théorème de Pythagore, nous avons alors :

(26.207)

En combinant ces deux relations, nous avons :

(26.208)

Il vient alors :

(26.209)

Donc :

(26.210)

Nous pouvons maintenant calculer le volume de chacune des 6 petits toits :

(26.211)

Donc le volume total du dodécaèdre est finalement le volume des 6 petits toits sommé au volume

du parallélépipède central :

(26.212)

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