Notes sur les primitives usuelles - 1° partie, Notes de Mathématiques Appliquées
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les primitives usuelles - 1° partie, Notes de Mathématiques Appliquées

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Notes de mathématique sur les primitives usuelles - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les différents types de primitives.
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Primitives usuelles.

Il existe en mathématique et en physique un grand nombre de primitives ou de fonctions définies

sur des intégrales que nous retrouvons assez fréquemment (mais pas exclusivement). Comme

dans n'importe quel formulaire, nous vous proposons les primitives connues mais avec les

démonstrations.

Cependant, nous omettrons les primitives qui découlent déjà des dérivées que nous avons

démontrées plus haut.

Sinon voici déjà une liste de quelques intégrales fréquentes (le lecteur en rencontrera de toute

façon bien d'autres - développées dans les détails - lors de son parcours du site) :

1. Primitive de :

Par définition nous avons donc :

(10.222)

Nous utilise le changement de variable et ainsi :

(10.223)

Donc :

(10.224)

2. Primitive de :

Par définition nous avons donc :

(10.225)

Nous utilisons le changement de variable et :

(10.226)

Donc :

(10.227)

3. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

(10.228)

Si nous posons , ce qui nous donne , nous obtenons :

(10.229)

Donc :

(10.230)

4. Primitive de :

Nous intégrons à nouveau par parties :

(10.231)

Si nous posons , ( ), nous obtenons :

(10.232)

Donc :

(10.233)

5. Primitive de :

Nous intégrons encore une fois par parties :

(10.234)

Si nous posons , ( ), nous obtenons :

(10.235)

Donc :

(10.236)

6. Primitive de :

Encore une fois... nous intégrons par parties :

(10.237)

Si nous posons , ( ), nous obtenons :

(10.238)

Donc :

(10.239)

7. Primitive de avec :

Une intégration par parties nous donne :

(10.240)

Donc :

(10.241)

Remarque: Une autre intégrale très importante avec l'exponentielle en physique est celle que nous

avions démontrée lors de notre étude de la loi de Gauss-Laplace en statistiques et probabilités

(détermination de la moyenne).

8. Primitive de :

(10.242)

en intégrant par parties nous trouvons :

(10.243)

Donc :

(10.244)

9. Primitive de avec :

Une intégration par parties nous donne :

(10.245)

Donc :

(10.246)

10. Primitive de pour :

(10.247)

Ainsi il vient :

(10.248)

Il vient :

et (10.249)

d'où :

(10.250)

11. Primitive de :

Pour ( ) sachant que (voir les propriétés des logarithmes dans le chapitre d'analyse

fonctionnelle) :

(10.251)

nous avons en utilisant la primitive de ln(x) :

(10.252)

12. Primitive de :

Nous avons :

(10.253)

Nous utilisons le changement de variable et obtenons :

(10.254)

Donc :

(10.255)

13. Primitive de :

Nous avons donc :

(10.256)

Nous utilisons le changement de variable et obtenons:

(10.257)

Donc :

(10.258)

14. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

(10.259)

Si nous posons , ( ) nous obtenons :

(10.260)

Donc :

. (10.261)

15. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

(10.262)

Si nous posons , ce qui nous donne , nous obtenons :

(10.263)

Donc finalement :

(10.264)

16. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

(10.265)

Si nous posons , ce qui nous donne , nous obtenons :

(10.266)

Donc finalement :

(10.267)

17. Primitive de :

Nous intégrons par parties :

(10.268)

Si nous posons , ( ) nous obtenons :

(10.269)

Donc finalement :

(10.270)

18. Primitive de avec :

Posons . Une intégration par partie donne :

(10.271)

en remplaçant par dans la dernière intégrale, nous obtenons :

(10.272)

et donc :

(10.273)

19. Primitive de avec :

Dans ce cas nous avons la formule de récurrence

(10.274)

qui se démontre de la même façon que la relation de récurrence précédente.

20. Primitive de :

Sachant que , nous avons :

(10.275)

Donc :

(10.276)

21. Intégrale de :

Sachant que , nous avons :

(10.277)

Donc :

(10.278)

22. Primitive de :

En utilisant les relations trigonométriques remarquables, nous avons :

(10.279)

Selon la primitive . Donc :

(10.280)

23. Primitive de :

En utilisant encore une fois les relations trigonométriques remarquables, nous avons :

(10.281)

Selon la primitive . Donc :

(10.282)

24. Primitive de :

Nous faisons la substitution ( ). Sachant que :

(10.283)

(cf. chapitre de Trigonométrie) nous obtenons alors :

et (10.284)

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