Notes sur les principes d'analyse - 3° partie, Notes de Physique

Télécharge Notes sur les principes d'analyse - 3° partie et plus Notes au format PDF de Physique sur Docsity uniquement! 22 3. EQUATIONS DIFFERENTIELLES par y(x) = (C(x) +λ)e−B(x), où B est une primitive particulière de x 7→ b(x)a(x) sur I, λ est un scalaire quelconque, et C est une primitive particulière de x 7→ c(x)a(x)e B(x) sur I. Remarques – L’expression précédente montre que pour obtenir la solution générale SE de (E) sur I, il suffit d’ajouter à une solution particulière de (E) sur I la solution générale de (H) sur I. – Par exemple, une solution particulière de (E) : xy′ + y = 2x est l’application x 7→ x. La solution générale de (E) sur I = R+∗ ou R−∗ est donc y(x) = x + λx , avec λ ∈ K. – Autre exemple : considérons l’équation (E) : cos(x)y′ + sin(x)y = 1, sur I =]− π2 , π 2 [.Une solution particulière de (E) (resp. de (H)) sur I est x 7→ sin(x) (resp. x 7→ cos(x).) La solution générale de (E) sur I s’écrit donc y(x) = sin(x) + λ cos(x), avec λ ∈ K. Exercice : Résoudre sur ]0,+∞[ l’équation xy′(x) − y(x) = x2ex. Proposition 3.3 (Problème de Cauchy). On considère (E) : a(x)y′ + b(x)y = c(x), sur un intervalle I où a(x) ne s’annule pas. Soit x0 un point de I, et soit y0 un élément quelconque de K. Il existe une unique solution de (E) sur I satisfaisant à la condition initiale y(x0) = y0. Trouver cette solution, c’est résoudre le problème de Cauchy relatif à ces conditions initiales. Interprétation SupposonsK = R (toutes les fonctions sont donc à valeurs réelles.) Les courbes représentatives des solutions de (E) sont appelées courbes intégrales de (E). Par tout point M(x0, y0) de I ×R, il passe une et une seule courbe intégrale de (E). Méthode de variation de la constante On considère les équations (H) : a(x)y′ + b(x) = 0 et (E) : a(x)y′ + b(x) = c(x). On rappelle que les applications a, b, c sont continues, à valeurs dans K. On se place sur un intervalle I sur lequel l’application x 7→ a(x) ne s’annule pas. Soit x 7→ h(x) une solution de (H) sur I, non nulle (donc ne s’annulant pas sur I.) On sait que la solution générale de (H) sur I s’écrit y : x 7→ λh(x), avec λ ∈ K. Pour résoudre complètement (E) sur I, il suffit d’en connaitre une solution particulière. On cherche une telle solution sous la forme y : x 7→ λ(x)h(x), où λ est maintenant une application dérivable sur I à valeurs dansK (on fait ”varier la constante”.) Avec ces notations : a(x)y′(x) + b(x)y(x) = c(x) ⇔ a(x)(λ′(x)h(x) + λ(x)h′(x)) + b(x)λ(x)h(x) = c(x) ⇔ λ′(x)a(x)h(x) = c(x) (cara(x)h′(x) + b(x)h(x) = 0) ⇔ λ′(x) = c(x) a(x)h(x) , (ce qui détermine λ une constante près). Si on note Γ une primitive de x 7→ c(x)a(x)h(x) sur I, la méthode de variation de la constante donne donc les solutions x 7→ y(x) = Γ(x)h(x) + αh(x), avec α ∈ K. On a ainsi obtenu l’ensemble des solutions de (E) sur I. 3.2. Equations se ramenant à une équation linéaire 3.2.1. Equations de Bernoulli. L’équation différentielle de Bernoulli est une équation différentielle du premier ordre de la forme : y′(x) + a(x)y(x) = b(x)y(x)m, m ∈ R. 3.2. EQUATIONS SE RAMENANT À UNE ÉQUATION LINÉAIRE 23 Cette équation a été proposée par Jacques Bernoulli en 1695 et résolue un an plus tard par Leibniz grâce à un changement de variable qui ramène à une équation différentielle linéaire. C’est d’ailleurs la méthode encore employée au- jourd’hui pour résoudre cette équation. En effet – Si m = 1 c’est une équation linéaire de premier ordre. – Si m , 1. En supposant y strictement positif sur l’intervalle I, on peut diviser l’équation par ym(x) et on obtient y′(x) ym(x) + a(x) 1 ym−1(x) = b(x) On pose u(x) = 1 ym−1(x) Donc u(x) = y1−m(x) u′(x) = (1 −m)y′(x)y−m u′(x) = (1 −m)y′(x) ym(x) on obtient l’équation différentielle linéaire 1 1 −m u′(x) + a(x)u(x) = b(x) dont la solution générale est u(x) = e−(1−m) ∫ a(t)dt) ( C + (1 −m) ∫ b(t)e(1−m) ∫ a(s)dsdt ) ce qui donne pour la fonction y = u 1 1−m y(x) = e− ∫ a(t)dt) ( C + (1 −m) ∫ b(t)e(1−m) ∫ a(s)dsdt ) 1 1−m Si la fonction y passe par le point (x0, y0) alors la solution de cette équation est : y(x) = y0e − ∫ x x0 a(t) dt ( 1 + (1 −m)ym−10 ∫ x x0 b(t) ( e− ∫ t x0 a(s) ds )m−1 dt ) 1 1−m Des solutions peuvent être cherchées parmi les fonctions qui ne sont pas partout positives dans leur domaine de définition, mais alors de nombreuses précautions doivent être prises quant aux domaines de validité des solutions. Exemple Résoudre l’équation y′ − 2xy + 2xy2 = 0. 3.2.2. Equations de Riccati. Une équation de Riccati est une équation différentielle de la forme y′ = q0(x) + q1(x)y + q2(x)y2 Où q0, q1, et q2 sont trois fonctions, souvent choisies continues sur un intervalle commun à valeurs réelles ou complexes. Elle porte ce nom en l’honneur de Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) et de son fils Vincenzo Riccati (1707-1775). Il n’existe pas, en général, de résolution par quadrature à une telle équation mais, il existe une méthode de résolution dès que l’on en connaı̂t une solution particulière. 26 3. EQUATIONS DIFFERENTIELLES où C est la constante d’intégration. Quelques considérations algébriques donnent une solution pour y : y = 1 1 + Be−x . On peut alors vérifier cette solution en considérant la dérivée par rapport à x de la fonction trouvée, où B est une constante arbitraire. Le résultat devrait être iden- tifiée au problème original. (On doit être attentif aux valeurs absolues lors de la résolution de l’équation ci-dessus. Il est évident que les signes différents de la va- leur absolue contribuent aux valeurs positive et négative pour B, respectivement. Et le cas B=0 est appuyé par le cas où y=1, comme indique ci-dessous.) 2– La croissance d’une population est parfois modélisée par l’équation différentielle : dP dt = kP ( 1 − P K ) où P est la population en fonction du temps t, k est le taux de croissance, et K la capacité de contenance de l’environnement. La séparation des variables peut être utilisée pour résoudre cette équation différentielle. dP dt = kP ( 1 − P K ) ∫ dP P ( 1 − PK ) = ∫ k dt Afin d’évaluer l’intégral du membre de gauche, on simplifie la fraction complexe : 1 P ( 1 − PK ) = K P (K − P) Puis on décompose la fraction en éléments simples : K P (K − P) = 1 P + 1 K − P On a alors : ∫ ( 1 P + 1 K − P ) dP = ∫ k dt ln ∣∣∣P∣∣∣ − ln ∣∣∣K − P∣∣∣ = kt + C∣∣∣∣∣K − PP ∣∣∣∣∣ = e−kt−C K − P P = ±e−Ce−kt On pose A = ±e−C. K P − 1 = Ae−kt P = K 1 + Ae−kt Puis, la solution à l’équation logistique est : P (t) = K 1 + Ae−kt . Pour trouver A, on considère l’étape suivante dans le processus de résolution de l’équation différentielle : K − P P = Ae−kt 3.4. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES D’ORDRE 2 À COEFFICIENTS CONSTANTS 27 On pose t = 0 et P (0) = P0. On a alors : K − P0 P0 = Ae0 = A. 3.3.2. Équation différentielle du premier ordre, homogène. Une équation différentielle du premier ordre mais non nécessairement linéaire est dite ho- mogène si elle peut s’écrire sous la forme dy dx = h ( y x ) . grâce à la substitution u(x) = y(x) x, l’équation homogène se transforme en une équation à variables séparées : u′(x) h (u(x)) − u(x) = 1 x . Exemple : Résoudre l’équation différentielle : y′x2 − 2xy + y2 = 0; 3.4. Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants On rappelle queK désigne R ou C. Dans cette section, a, b, c sont trois éléments deK, avec a , 0. On se donne une application d : I→ K, continue sur l’intervalle I. On considère les équations (E) : ay′′ + by′ + cy = d(x) et (H) ay′′ + by′ + cy = 0. On dit que (H) est l’équation homogène associée à l’équation (E). Proposition 3.4 (Equation caractéristique). Soit t un élément deK. L’application y : x 7→ etx est solution de (H) si et seulement si at2 + bt + c = 0. L’équation at2 + bt + c = 0 est appelée équation caractéristique de (H) et (E). Proposition 3.5 (Solution générale de (H) dans le cas complexe). On suppose iciK = C et on reprend les notations précédentes. On note C l’équation caractéristique, et ∆ = b2 − 4ac son discriminant. – Si ∆ , 0, l’équation C possède deux solutions complexes distinctes r et s. La solution générale de (H) sur R s’écrit : y(x) = λerx + µesx, avec (λ, µ) ∈ C2. – Si ∆ = 0, l’équation C possède une solution double r dans C. La solution générale de (H) sur R s’écrit : y(x) = (λx + µ)erx, avec (λ, µ) ∈ C2. Proposition 3.6 (Solution générale de (H) dans le cas réel). On suppose ici K = R. Soit ∆ = b2 − 4ac le discriminant de l’équation caractéristique. – Si ∆ > 0, l’équation C possède deux solutions réelles distinctes r et s. La solution générale de (H) sur R s’écrit : y(x) = λerx + µesx, avec (λ, µ) ∈ R2. – Si ∆ = 0, l’équation C possède une solution double r dans R. La solution générale de (H) sur R s’écrit : y(x) = (λx + µ)erx, avec (λ, µ) ∈ R2. – Si ∆ < 0, l’équation C possède deux solutions complexes conjuguées distinctes r et r̄. Posons r = α + iβ, avec (α, β) ∈ R ×R∗. La solution générale de (H) sur R est y(x) = eαx(λ cos(βx) + µ sin(βx)), où (λ, µ) ∈ R2. Remarques – Dans tous les cas, la solution générale y de (H) s’écrit sous la forme y = λy1 + µy2, où y1 et y2 sont deux solutions particulières de (H) non nulles et non proportionnelles. 28 3. EQUATIONS DIFFERENTIELLES On exprime cette situation en disant que la solution générale de (H) sur R est un plan vectoriel, dont une base est constituée des applications y1 et y2. – Si K = R, il y a deux cas particuliers importants. Soit ω un réel strictement positif. ♦ La solution générale de y′′ + ω2y = 0 s’écrit y(x) = λ cosωx + µ sinωx, avec (λ, µ) ∈ R2. ♦ La solution générale de y′′ − ω2y = 0 s’écrit y(x) = λeωx + µeωx, avec (λ, µ) ∈ R2. Elle s’écrit aussi y(x) = coshωx + µ sinhωx, avec (λ, µ) ∈ R2. Méthode de variation des constantes Soit (h1, h2) une base de solutions de l’équation (H). On cherche une solution de (E) sous la forme y(x) = λ(x)h1(x) + µ(x)h2(x). Les applications x 7→ λ(x) et x 7→ µ(x) sont ici supposées dérivables sur R. On impose la condition supplémentaire : (1) ∀x ∈ R, λ′(x)h1(x) + µ′(x)h2(x) = 0. Cette condition conduit à : ∀x ∈ R, y′(x) = λ(x)h′1(x) + µ(x)h ′ 2(x). Dans ces conditions ay′′ + by′ + cy = d(x)⇔ λ′(x)h′1(x) + µ ′(x)h′2(x) = 1 a d(x) (2). On vérifie que le déterminant du sytème{ λ′(x)h1(x) + µ′(x)h2(x) = 0 λ′(x)h′1(x) + µ ′(x)h′2(x) = 1 a d(x) ne s’annule pas. Ce système fournit donc λ′(x) et µ′(x) de façon unique. On en déduit chacune des fonctions x 7→ λ(x) et x 7→ µ(x) à une constante près. Notons x 7→ (x) = λ0(x) + λ et x 7→ µ(x) = µ0(x) + λ les fonctions ainsi obtenues. On a donc trouvé les solutions suivantes, pour l’équation (E) : x 7→ y(x) = λ0(x)h1(x) + µ0(x)h2(x) + λh1(x) + µh2(x), avec (λ, µ) ∈ K. Si on note y0 l’application x 7→ λ0(x)h1(x) + µ0(x)h2(x) (solution de (E) obtenue par la méthode précédente avec λ = µ = 0), on peut donc énoncer le résultat suivant. Proposition 3.7 (Solution générale de (E)). L’équation ay′′ + by′ + cy = d(x) admet des solutions sur R. Plus précisément, si y0 est l’une de ces solutions, et si (h1, h2) est une base de solutions de (H) sur R, alors la solution générale de (E) sur R s’écrit y = y0 + λh1 + µh2, où (λ, µ) ∈ bbR2. Autrement dit, la solution générale de (E) sur R s’obtient en ajoutant à une solution particulière de (E) la solution générale de (H) sur R. Proposition 3.8 (Problème de Cauchy). Soit x0 un réel, et (y0,m) un élément quelconque deK2. Il existe une unique solution de (E) satisfaisant aux conditions initiales{ y(x0) = y0 y′(x0) = m . Trouver cette solution, c’est résoudre le problème de Cauchy relatif à ces conditions initiales.