Notes sur les suites - 1° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les suites - 1° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les suites - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: notion de suite, les suites arithmétiques, les suites harmoniques, les suites géometriques.
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Les suites

Les suites et séries ont une très grande importance dans les mathématiques appliquées c'est la

raison pour laquelle nous y consacrons un chapitre entier. Nous les retrouverons par ailleurs

souvent en physique lorsque nous aurons besoin de faire quelques approximations mineures (...)

ainsi qu'en économétrie pour le calcul des rentes. Il conviendra cependant de la part du lecteur de

ne pas confondre dans ce qui va suivre le concept de "suite" de celui de "série" qui tout en étant

similaires sur le fond ne s'analysent mathématiquement pas toujours de la même manière.

Nous avons souhaité dans ce chapitre rester dans des choses simples sans trop partir dans les

concepts topologiques des suites et séries. Cependant, la personne intéressée par des définitions

plus rigoureuses pourra se reporter dans le chapitre traitant des Fractales (section d'Informatique

Théorique) et de Topologie ou de nombreux concepts sur les suites sont définis (supremum,

infimum, sous-suite, théorème de Bolzano-Weierstrass, etc.).

SUITES Définition: Une "suite" d'un ensemble est une famille d'éléments indexée par l'ensemble des

entiers naturels (cf. chapitre sur les Nombres) ou par une partie de celui-ci. De manière vulgarisée,

nous disons qu'une suite est une liste d'objets mis en ordre, chacun ayant un numéro d'ordre.

Nous notons classiquement une suite par:

ou (11.1)

où l'indexation se fait parfois (par tradition...) sans le 0.

Pour quelques suites, nous indiquons le premier terme (si l'indexation commence par 1 au lieu

de 0), ainsi qu'une formule pour obtenir n'importe quel terme à partir du terme

précédent quel que soit . Nous appelons une telle formulation une "définition

récurrente", et la suite est dite définie "par récurrence" (et de même si elle est indexée à partir de 0

au lieu de 1).

Avant de voir quelques exemples de familles de suites qui seront utilisées dans les différents

chapitres du site (dynamiques des populations, économétrie, physique nucléaire, etc.) voyons un

petit paquet de définitions comme il est de tradition en mathématique...

Définitions:

D1. Des nombres (en suite) sont en "progression arithmétique" si la différence de deux termes

consécutifs est une constante r appelée la "raison".

D2. Des nombres (en suite) sont en "progression géométrique" si le rapport de deux termes

consécutifs est une constante r appelée aussi la "raison".

D3. Des nombres (en suite) sont en "progression harmonique" si les inverses de deux termes

consécutifs sont en progression arithmétique.

Dès lors, une "suite" est arithmétique, géométrique, harmonique si ses termes sont respectivement

en progression arithmétique, géométrique, harmonique et b est la moyenne arithmétique,

géométrique, harmonique de a et c si les nombres a,b,c sont en progression arithmétique,

géométrique, harmonique.

Remarque: Pour les définitions des moyennes citées ci-dessus voir le chapitre de Statistiques

D4. Une "suite majorée", est une suite tel qu'il existe un réel M tel que

D5. Une "suite minorée", est une suite tel qu'il existe un réel M tel que

D6. Une "suite bornée", est une suite tel qu'elle est à la fois majorée et minorée.

D7. Une suite est appelée "suite croissante" si

D8. Une suite est appelée "suite décroissante" si

D9. Une suite est "suite constante constante" si

SUITES ARITHMÉTIQUES

Définition: Nous disons que des nombres ou que des "termes" en progression forment une "suite

arithmétique" lorsque leurs valeurs numériques différent d'une valeur r appelée la "raison" de la

suite tel que:

(11.2)

où r est donc la "raison" de la progression. Nous avons alors bien évidemment si l'indexation

commence à partir de 0:

(11.3)

Ainsi, la suite :

(11.4)

où n est une constante est une suite arithmétique de raison .

La suite :

(11.5)

est une suite arithmétique de raison , etc.

Ainsi, si nous notons par un terme quelconque de la suite ( ) de raison r, nous avons :

(11.6)

Nous avons les propriétés suivantes pour un tel type de suite :

P1. Un terme dont le rang est la moyenne arithmétique des rangs de deux autres termes est la

moyenne arithmétique de ces deux termes.

Démonstration:

Considérons maintenant ( ) une suite arithmétique de raison r donné selon le développement

précédent :

(11.7)

et soient tels que , nous avons alors :

(11.8)

et donc :

avec (11.9)

C.Q.F.D.

P2. Pour trois termes consécutifs en progression arithmétique, le deuxième terme est la moyenne

arithmétique des deux autres.

Démonstration:

avec (11.10)

C.Q.F.D.

Si est une progression arithmétique de raison r, alors la n-ème somme

partielle (c'est-à-dire, la somme des n premiers termes à la puissance 1) est donnée par:

ou (11.11)

lorsque l'indexation se fait à partir de 1.

Démonstration:

Nous pouvons écrire la série:

(11.12)

En jouant avec la deuxième ligne, nous obtenons:

(11.13)

Ce qui se simplifie encore:

(11.14)

Nous démontrerons quelques lignes plus bas que la série de Gauss simple:

(11.15)

est égale à :

(11.16)

Nous avons alors pour:

(11.17)

la relation suivante:

(11.18)

Il vient alors:

(11.19)

Nous voyons avec cette dernière relation que si nous retombons sur la série de Gauss

simple.

Comme :

(11.20)

lorsque l'indexation se fait à partir de 1. Il vient alors:

(11.21)

C.Q.F.D.

Nous verrons d'autres types de sommations lors de notre étude des séries un peu plus bas lors de

notre étude des séries!

SUITES HARMONIQUES

Définition: Nous disons que des nombres (1/a, 1/b, 1/c,...) forment une "suite harmonique"

lorsque leurs inverses sont en progression arithmétique. Nous représentons cette progression par

:

(11.22)

où a, b, c, ..., h, k, l désignant des termes au dénominateur en progression arithmétique de

raison r. D'ailleurs, nous supposerons, dans ce qui suit, qu'il n'y a aucun dénominateur nul.

En partageant cette série en groupes renfermant successivement termes, nous observons que

chacun de ceux-ci est plus grand que le dernier de son groupe:

(11.23)

et que la somme des termes de chaque groupe est plus grande que 1/2 . La somme des termes de

la série augmente donc indéfiniment; nous disons alors que la série est une "série divergente"

(nous reviendrons plus en détail sur ces concepts de convergence et divergence plus bas).

SUITES GÉOMETRIQUES

Définition : Une "suite géométrique" est une suite de nombres tels que chacun d'eux est égal au

précédent nmultiplié par un nombre constant q que nous appelons la "raison" de la progression.

Nous désignerons par:

(11.24)

Ainsi, si nous notons par un terme quelconque de la suite ( ), nous avons (trivial) :

(11.25)

Voici quelques propriétés pour un tel type de suite (sans démonstration pour l'instant... sauf

demande car triviales pour la plupart) :

P1. (triviale) Le quotient de deux termes d'une même suite est une puissance de la raison dont

l'exposant égale la différence des rangs des deux termes (simple rapport de termes de

puissance).

P2. (triviale) Si nous multiplions ou divisons terme à terme deux suites géométriques, nous

obtenons une troisième suite géométrique dont la raison égale le produit (respectivement le

quotient) des raisons des progressions données (simple opération avec les raisons des deux séries

d'origine).

P3. Dans une suite géométrique, un terme dont le rang est la moyenne arithmétique des rangs de

deux autres termes est la moyenne géométrique (cf. chapitre de Statistiques) de ces deux termes

(relisez plusieurs fois au besoin).

Démonstration:

Soit une suite géométrique réelle positive de raison q, nous avons :

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