Notes sur les suites - 2° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les suites - 2° partie, Notes de Logique mathématique

PDF (157 KB)
5 pages
423Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les suites - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la démonstration, la suite de Cauchy, la suite de Fibonacci.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document

(11.26)

Soit a,b deux termes de la suite géométrique, nous avons alors :

(11.27)

et ainsi :

(11.28)

C.Q.F.D.

Nous avons comme corolaire que pour trois termes consécutifs en progression géométrique, le

deuxième terme est la moyenne géométrique des deux autres.

Démonstration:

(11.29)

avec :

(11.30)

C.Q.F.D.

Il existe cependant quelques suites particulières qui ont des propriétés particulières que nous

retrouvons très fréquemment en mathématique ou physique théorique. Sans trop entrer dans les

détails, voici une petite liste (non exhaustive de ces dernières) :

SUITE DE CAUCHY

Il est souvent intéressant pour le mathématicien, autant que pour le physicien, de connaître les

propriétés d'une suite ayant un type de progression donnée. La propriété la plus importante étant

la limite vers laquelle elle tend.

Remarque: Le lecteur qui n'est pas à l'aise avec la topologie peut sauter le texte qui va suivre en

attendant... et celui qui souhaite en savoir plus sur les suites de Cauchy peut se reporter au chapitre

de topologie et particulièrement dans le chapitre consacré aux fractales (section d'Informatique

Théorique).

Définition: Soit (X, d) un espace métrique (cf. chapitre de Topologie), nous disons que la suite:

(11.31)

converge vers si par définition :

(11.32)

En d'autres termes plus nous avançons dans la suite, plus les points sont proches (au sens de la

métrique d ) les uns des autres.

Cependant la définition précédente de la convergence pose problème car la limite x doit être

connue. Dans la plupart des cas intéressants, x est malheureusement inconnue. Pour sortir de

cette impasse, Cauchy a l'idée de proposer la définition suivante:

Nous disons par définition que la suite d'éléments de X est une "suite de Cauchy" si :

(11.33)

Il est clair alors que toute suite convergente est une suite de Cauchy (bon il y a quelques subtilités

auxquelles nous ne ferons pas référence pour l'instant).

Remarque: Ce critère facilite certaines démonstrations car il permet de montrer l'existence d'une

limite sans faire intervenir sa valeur, en général inconnue.

Maintenant, montrons qu'une suite convergente est de Cauchy.

Démonstration:

Soit une suite convergeant vers l (qui nous est inconnu donc!) et (choisi au hasard). Il

existe alors selon la définition d'une suite convergente, tel que :

(11.34)

le choix d'écrire est complètement arbitraire mais au fait nous anticipons juste le résultat de

la démonstration afin que celui-ci soit plus esthétique.

Alors pour (au fait connaître le N en question importe peu puisque cela doit marcher

pour n'importe lequel... bon n'oublions pas quand même que N dépend de ) nous avons selon

l'inégalité triangulaire :

(11.35)

et puisque :

(11.36)

ce qui revient à écrire :

(11.37)

C'est peut être un peu abstrait alors voyons un exemple avec la suite harmonique (divergente

comme nous le savons déjà) . D'abord, rien ne nous interdit de prendre (sinon

cela va être dur de faire une différence entre deux termes...).

Dès lors nous prenons la distance euclidienne :

(11.38)

D'abord le lecteur remarquera que dans tous les cas puisque compris entre et .

Ce qui nous amène à pouvoir écrire :

(11.39)

Donc à partir de cette égalité il vient automatique que chaque terme de la somme de gauche ci-

dessous sera plus grand que chaque terme de la somme de droite suivant :

avec (11.40)

maintenant l'idée est de voir que la somme de gauche est donc plus grande ou égale à et

cela quelque soit n. Ainsi, l'idée c'est que nous ayons trouvé un epsilon pour lequel le critère de

Cauchy est mis en défaut. Car dans le cas contraire nous aurions du avoir :

(11.41)

donc la suite n'est pas convergente.

C.Q.F.D.

Donc, ce n'est pas parce que des points se rapprochent les uns des autres qu'ils convergent vers

un point, car ce point n'existe peut-être pas.

Exemple:

Le meilleur exemple est certainement le suivant :

Prenons et:

(11.42)

Soit z un nombre irrationnel et , avec .

Les forment une suite de Cauchy. En effet :

(11.43)

et donc si . Nous avons donc trouvé un N qui satisfait à notre définition

d'une suite de Cauchy. Or cette suite ne converge pas dans sinon z serait rationnel.

Remarque: Les mathématiciens utilisent ce fait pour définir l'ensemble des irrationnels en utilisant

quelques concepts topologique supplémentaires.

Nous venons de voir qu'une suite de Cauchy n'est pas forcément une suite convergente dans X. La

réciproque toutefois est vraie : toute suite convergente est une suite de Cauchy.

SUITE DE FIBONACCI

Si nous calculons une suite de nombres commençant par 0 et 1, de telle sorte que chaque terme

soit égal à la somme des deux précédents, nous pouvons former la suite:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... (11.44)

par conséquent, si nous désignons les différents termes par :

(11.45)

nous avons la loi de formation:

(11.46)

La suite de Fibonacci possède des propriétés nombreuses fortes intéressantes, qui seront

développées ultérieurement. Il s'agit cependant de la première "suite récurrente" connue (d'où le

fait que nous en parlions sur ce site).

L'origine de cette suite viendrait d'un problème de lapins posé à Fibonacci en 1202. Partant d'un

couple, combien de couples de lapins obtiendrons-nous après un nombre donné de mois sachant

que chaque couple produit chaque mois un nouveau couple, lequel ne devient productif qu'après

deux mois. Nous avons alors:

- Début: Un couple de bébés lapins qui vont grandir

- Premier mois: Un couple de lapins adultes (qui feront des bébés le mois prochain...)

- Deuxième mois: Un couple de lapins adultes et un couple de bébés donc 2 couples

- Troisième mois: Deux couples de lapins adultes et un couple de bébés donc 3 couples

- Quatrième mois: Trois couples de lapins adultes et deux couples de bébés donc 5 couples.

etc.

Prenons un exemple réel, cette fois-ci : le coeur de certaines fleurs, les écailles d'un ananas ou

d'une pomme de pin forment deux familles de spirales enroulées en sens inverse. Sur une pomme

de pin, vous compterez 5 spirales dans un sens et 8 dans l'autre, sur l'ananas, 8 et 13, sur la fleur

de tournesol 21 et 34. Chaque fois , nous obtenons des nombres de Fibonacci !

Une illustration de ceci consiste à faire le simple schéma suivant (appelé "spirale de Fibonnacci")

qui reproduit les nombres de fibonnaci sur un plan quadrillé:

(11.47)

Nous utilisons également ce genre de suite pour montrer l'utilité du principe d'induction présenté

dans le chapitre de Théorie Des Nombres se trouvant dans la section d'Arithmétique.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document