Notes sur les suites numériques, Notes de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)
Emmanuel_89
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Notes sur les suites numériques, Notes de Mathématiques. Université Claude Bernard (Lyon I)

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Notes de sciences mathématiques sur les suites numériques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Corps des réels, Suites numériques.
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Chapitre I : SUITES NUMERIQUES1

Objectif du chapitre : 1) Donner la définition d’une suite et utiliser les notations adéquates 2) "Déterminer" le terme général d’une suite 3) Utiliser les raisonnements par l’absurde et par récurrence 4) Etudier la monotonie d’une suite. 5) Etudier la nature d’une suite 6) Résoudre certains exercices et problèmes implicant des suites.

Plan du chapitre :

1) Corps des réels : 1.1 : Notion de fonctions et notations. 1.2 : Construction sommaire de R.

2) Suites numériques: 2.1 : Définitions et notations. 2.2 : Suites particulières. 2.3 : Suites monotones (croissance ou décroissance) 2.4 : Nature (convergence ou divergence) d’une suite 2.5 : Etude de suites particulières.

1) Corps des réels :

1.1 : Notion de fonctions et notations.

On suppose acquise la notion intuitive d’ensemble. On détermine un ensemble E en explicitant ses éléments ou par compréhension E = {x / x vérifie une propriété (P )}. Exemple : Si E1 = {1, 2, 3, 4} alors E2 = {x ∈ E1 / x vérifie 2 ≤ x ≤ 5} est dite expression par compréhension E2 = {2, 3, 4} est dite expression explicite

Soit E un ensemble, on dit que A est une partie (ou un sous ensemble) de E si tout élément de A est un élément de E. On dit aussi que A est inclus dans E et on note A ⊂ E.

A ⊂ E ⇐⇒ (∀x, x ∈ A⇒ x ∈ E)

1Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

2

Remarque : Le symbole ∈ dénote l’appartenance. x ∈ E ⇐⇒ {x} ⊂ E. La notation x ∈ x n’a pas de sens !

Définition : Une fonction f d’un ensemble A vers un ensemble B, on note f : A→ B, est une rélation qui à chaque élément de A associe au plus plus un seul élément de B. On exprime une fonction de A vers B sous la forme:½

f : A→ B x 7−→ f(x)

A est appelé l’ensemble de départ et B l’ensemble d’arrivée de la fonction f . De plus, l’ensemble des éléments de A qui possédent une image s’appelle le domaine de f (noté dom(f) ou Df ) et l’ensemble des éléments de B qui sont des images, s’appelle image de f (noté im(f) ou Im(f)). Ainsi dom(f) ⊆ A et im(f) ⊆ B. De facon générale, lorsque on détermine le domaine d’une fonction, il faut ex- clure du dom(f) les valeurs : a) qui annulent le dénominateur de la fonction f b) qui donnent une quantité négative sous une racine paire c)...

ainsi dom(f) est l’ensemble des éléments de A , pour lesquels f(x) existe c’est à dire (noté càd ou i.e.) est calculable. Si f : A→ B, on note dom(f) = {x ∈ A / f(x) existe} . Exemples : 1) Soit f : x 7−→ f(x) = x6√9−3x ∈ R Puisque on ne peut pas diviser par 0 ni extraire la raciune sizième d’un nombre négatif, alors : dom(f) = {x ∈ R / (9− 3x) 6= 0 et (9− 3x) ≥ 0} càd dom(f) = {x ∈ R / (9− 3x) Â 0} = {x ∈ R / x ≺ 3}

que l’on écrit sous la forme dom(f) = ]−∞, 3[ . 2) Soit f : x 7−→ f(x) = ln(− |x|) On a : dom(f) = ∅ !

1.2 : Construction axiomatique de R et Propriétés de base 2 :

a) Construction sommaire et axiomatique du corps des Réels L’ensemble N ( noté aussi N ou IN) = {0, 1, 2, 3, ...} , dit ensemble des nombres entiers naturels ou des entiers naturels, a été introduit pour compter.

L’ensemble Z (noté aussi Z ou IZ)= {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...} , dit ensem- ble des nombres relatifs ou des entiers relatifs, a été introduit pour résoudre l’équation : b+ x = a où a et b sont des entiers naturels.

L’ensemble Q ( noté aussi Q ou IQ) , dit ensemble des nombres rationnels, a été introduit pour résoudre l’équation : b x = a où a et b sont des nombres relatifs

2Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

3

avec b 6= 0. Par définition si x ∈ Q alors x = pq où p et q sont des nombres relatifs premiers entre eux avec q 6= 0 (on dit que la fraction pq est irreductible).

Proprièté : Si x est solution de l’équation x2 = 2 alors x /∈ Q. On dit que x est irrationnel. Démonstration : Elle se fait par l’absurde. On suppose que x = pq où p ∈ Z et q ∈ Z∗ sont premiers entre eux avec q 6= 0 . On a alors p2 = 2q2. p2 est pair donc p est aussi pair (si p est impair alors p = 2k + 1 et p2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1 est impair). Ainsi p = 2k donc p2 = 4k2 = 2q2. Donc 2k2 = q2. Donc q est pair. Ce qui est impossible car la fraction pq est irreductible.

Définition : On note par R (noté aussi R ou IR ) l’ensemble des nombres réels. Il a été introduit pout compléter l’ensemble Q des nombres rationnels. On dit que x est un nombre réel si et seulement si: ou bien x ∈ Q, x est dit rationnel ou bien x /∈ Q, x est dit irrationnel.

Parmi les réels qui sont irrationnels, on peut citer : √ 2, π, e, ln(2).

Remarque : On peut définir un nombre réel à partir de son développement déci- mal c’est à dire un réel x peut être vu, sous forme numérique, comme un entier relatif constituant sa partie entière (si x ∈ R, sa partie entière est notée E(x) ou [x] et on a E(x) = [x] = au plus grand entier inférieur ou égale à x) suivie (séparée par une virgule) d’une infinité de chiffres constituant sa partie déci- male. Exemple : π = 3, 14159265958979323...Cette définition (ou notation) dite représentation arithmétique (voir cours d’Analyse Numérique au 2nd semestre) d’un nombre réel pose un certain nombre de problèmes.

La construction de l’ensemble des nombres réels date de 1870 et repose sur les axiomes de base : 1) (R,+, ∗) est un corps commutatif 2) (R,≤) est totalement ordonnée : ∀(x,y) ∈ R2 on a : x ≤ y ou y ≤ x. 3) La relation d’ordre (inégalité) est compatible avec les opérations de R

i) La relation d’ordre ≤ est compatible avec l’addition + càd ∀ x ∈ R, ∀x1 ∈ R, ∀y ∈ R et ∀y1 ∈ R, si x ≤ x1 et y ≤ y1 alors

x+ y ≤ x1 + y1 ii) La relation d’ordre ≤ est compatible avec la multiplication ∗ càd ∀x ∈ R,∀y ∈ R et ∀z ∈ R+ ( z ≥ 0) alors x ∗ y > 0.

4) Toute partie de R non vide et majorée admet une borne supérieure.

La relation d’ordre total permet de définir la fonction valeur absolue dans R. Définition : La valeur absolue dans IR est une application½

|| : IR→ IR+ x 7→ |x|

et on a pour tout x ∈ R, |x| = ½ x si x ≥ 0 −x si x ≤ 0

Propriétés :

4

1) |a| = 0⇐⇒ a = 0 2) ∀(a, b) ∈ R2, |a.b| = |a| |b| 3) Inégalité triangulaire:

∀(a, b) ∈ R2, |a+ b| ≤ |a|+ |b|

4) ∀x ∈ R, on a : −x ≤ |x| ≤ x. 5) ∀(a, b) ∈ R2, | |a|− |b| | ≤ |a− b| .

Démonstration de l’inégalité triangulaire 5) Pour tout (a, b) ∈ R2, on a: a = a − b + b =⇒ |a| ≤ |a− b| + |b| (d’apres 3))⇒ |a|− |b| ≤ |a− b| De même : b = b− a+ a =⇒ |b| ≤ |a− b|+ |a| =⇒ |b|− |a| ≤ |a− b| Donc | |a|− |b| | ≤ |a− b| . Remarque : 1) L’inégalité triangulaire

| |a|− |b| | ≤ |a+ b| ≤ |a|+ |b|

peut être montrer en élévant au carré, ce qui donne :

a2 − 2 |a| |b|+ b2 ≤ a2 + 2ab+ b2 ≤ a2 + 2 |a| |b|+ b2 ⇔ − |ab| ≤ ab ≤ |ab| .

2) Il existe plusieurs variantes de l’inégalité triangulaire, par exemple :

| |a|− |b| | ≤ |a− b| ≤ |a|+ |b|

obtenue en changeant b en −b.

b) Majorant, minorant d’une partie de IR

Définition : Soit A ⊂ IR: une partie de IR On dit que m ∈ IR est un majorant de A si et seulement si ∀x ∈ A, x ≤ m On dit que m ∈ IR est un minorant de A si et seulement si ∀x ∈ A, x ≥ m On dit que A est bornée ssi elle est minoré et majoré càd ∃m et ∃M : ∀x ∈ A,

m ≤ x ≤M. Exemple : ]0 +∞[ est minorée par 0 on dit aussi 0 est un minorant de ]0 +∞[) 1 est un majorant de ]−∞, 0[ L’intervalle ]−15, 14[ est borné dans IR (majorée par 14 et minorée par

-15).

Borne inférieure, borne supérieure : Définition: On dit que b est la borne supérieure deA⇐⇒ b est le plus petit des majorants

de A On dit que b est la borne inférieure deA⇐⇒ b est le plus grand des minorants

de A.

Exemple : 6 est la borne inférieure de ]6 +∞[.

5

Caractéristiques des bornes :

b est la borne supérieure deA⇔ . ½ 1) b est un majorant de A (∀a ∈ A , a ≤ b) 2).∀ > 0, ∃a ∈ A : b− ε < a ≤ b

b est la borne inférieure de A⇐⇒ . ½

1) b est un minorant de A (∀a ∈ A, a ≥ b) 2).∀ > 0 ∃a ∈ A, b ≤ a < b+

Propriétés des bornes (admises) : Toute partie de IR non vide et majorée admet une borne supérieure Toute partie de IR non vide et minorée admet une borne inférieure.

Propriété : IR est un corps archimédien ⇔ ∀(x, y) ∈ IR2+ ,∃n ∈ IN∗ tel que nx > yx > 0. Remarque : IR est un corps archimédien ⇔ ∀x > 0,∀y ∈ R,∃n ∈ Z tel que nx ≤ y ≤ (n+ 1)x. Démonstration : La démonstration se fait par l’absurde. On suppose que IR est non archimédien càd ∃(xo, yo) ∈ IR2+,∀n ∈ IN∗ : nx0 ≤ yo

Soit E = {nxo, n ∈ IN∗} . On a : E 6= φ, E est une partie deIR et E est une partie majorée de IR (par y0) donc E admet une borne supérieure. Soit b cette borne supérieure. On a :

∀ε > 0,∃e ∈ E : b− ε < e ≤ b

Comme e ∈ E ⇒ ∃p ∈ IN∗ : e = pxo donc

∀ε > 0,∃p ∈ IN∗ : b− ε < pxo ≤ b

Si on prend ε = b2 (par exemple), on aura : b 2 < pxo ≤ b ⇒ pxo ≤ b <

(2p)xo ⇒ b n’est pas la borne supérieure de E. Rappels : Si a, b, x0 désignent des réels tels que a < x0 < b. On appelle segment un ensemble de la forme [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. On dit qu’une partie I de R est un intervalle si pour tout a, b ∈ I , on a

[a, b] ⊂ I. Les intervalles ouverts sont :]a, b[, ]a,+∞[, ]−∞, b[ et R. Les intervalles fermés sont : [a, b], [a,+∞[, ]−∞, b] et R. Un voisinage de x0 est un intervalle ouvert de la forme ]x0 − ε, x0 + ε[ ,∀ε >

0.

2) Suites Réelles 3 : 2.1 : Définitions et notations :

D’une façon générale, on définit une suite comme une succession ordonnée d’éléments pris dans un ensemble donné. On dit aussi qu’une suite est une énumération d’une infinité de termes

Définition : Une suite numérique, dite aussi suite réelle, est une fonction u dont le domaine de définition est un sous - ensemble de N et dont l’image est un sous-ensemble de R . Ainsi une suite réelle est une fonction :

3Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI & S. HAKAM

6

½ u : P ⊂ IN −→ IR

n 7→ un

On pose : u(n) = un et on appelle un le terme général de la suite. un est aussi appelé terme de rang n. Si P = N, la suite de terme général unsera notée par (un)n ou (un)n∈N ou {u0, u1, ..., un, ...} (dite écriture en extension). up−1 désigne le peme terme de la suite.

Remarque: 1) On définit une suite notée (un) par son terme général un et par son

premier terme (on suppose ici que c’est u0). La suite est alors déterminée par une équation donnant un en fonction de n. Une suite peut être également définie par la valeur du premier terme et par une relation de récurrence, c’est-à-dire une relation liant plusieurs termes généraux de rangs différents. 2) Toute fonction u : P ⊂ N→ R définie une suite réelle c’est à dire à tout

entier n ∈ P , elle associe un nombre réel u(n) que l’on notera un et la suite associée est notée (un)n∈P Exemples: 1) Soit (un)n≥1 la suite de terme général définie pour tout n ≥ 1 par un = 1n . 2) Soit (un)n la suite de terme général définie pour tout n ≥ 0 par un = cos(nπ) 3) Soit (un)n la suite de terme général définie par :½

u0 = 1 un+1 = 2un pour tout n ≥ 0

3) La fonction u : n ≥ 4→ u(n) = 23n , définie la suite réelle (un)n≥4 de terme général :

un = 2 3n ,pour tout n ≥ 4.

On a : dom(u) = {n ∈ N / n ≥ 4} = {4, 5, 6, ...} = P et im(u) = © 2 34 ,

2 35 ,

2 36 , ...

ª =

(un)n≥4.

Remarque : Soient (un)n une suite et f une fonction, telles que un = f(n) si n ≥ m où m ∈ N. Alors l’étude du terme général un revient à l’étude de la fonction f dans le domaine de la suite (un)n.

Exemple : 1) Soit la suite définie par u(n) = n

3+100 (n−1)3 . Déterminer les 3 premiers termes

de la suite. On a : dom(u) = N− {1}, et u0 = 100, u2 = 108, u3 = 3

3+100 23 =

127 8 , u4 =

43+100 33 =

164 27 .

2) Soit la suite définie par u(n) = sin(n). Déterminer les 3 premiers termes de la suite.( sur une calculatrice, il faut choisir le mode radian). On a : dom(u) = N, et u0 = sin(0) = 0, u1 = sin(1) = 0.841 47, u2 = sin(2) = 0.909 30. 3) Déterminer le terme général de la suite

© 1 2 ,

2 5 ,

3 10 ,

4 17 , ...

ª .

7

En observant les termes de la suite, on constate que le numérateur de chaque terme correspond aux termes de la suite (n)n et que le dénominateur correspond aux termes de la suite (n2+1)n. On peut en déduire que le terme général de la suite est définie par un = nn2+1 .Ceci est d’ailleurs vérifié pour n = 1, 2, 3, 4.

Remarque : Pour représenter graphiquement une suite (un)n, il suffit de situer dans le plan cartésien les points (n, un), où n appartient au domaine de défini- tion de la suite.

2.2 : Suites particulières 4:

a) Principe du raisonnement par récurrence : Soit P (n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n. Pour démontrer que la propriété P (n) est vraie, quel que soit n ∈ N (ou n ∈ N∗), on démontre que i) P (0) (ou P (1)) est vraie ii) la propriété P (n) est récurrente, c’est à dire, si P (n) est vraie pour n ∈ N

(ou n ∈ N∗), alors P (n+ 1) est vraie (propriété d’hérédité). Exemple : Démontrer, par récurrence, que

∀n ∈ N, on a 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n+1)(2n+1)6 .

Pour n = 1, on a S1 = 12 et 1(1+1)(2+1)

6 = 1 On suppose que la relation est vraie à l’ordre n et on la démontre à l’ordre (n+ 1).

On a Sn+1 = 12+22+32+...+n2+(n+1)2 = Sn+(n+1)2 avec Sn = n(n+1)(2n+1)

6 .

Donc Sn+1 = n(n+1)(2n+1)

6 + (n+ 1) 2 = n(n+1)(2n+1)+6(n+1)

2

6 = 16(n+ 1)[n(2n+ 1) + 6(n+ 1)] =

1 6(n+ 1)[7n+ 2n

2 + 6] càd Sn+1 = 16(n+ 1) (n+ 2) 2n+ 3).

b) Suites arithmétiques : Soit (un)n définie par u0 donné, un+1 = un + r où r ∈ R. Cette suite est dite suite arithmétique ou progression arithmétique et r est appelé la raison de la suite. La différence entre deux termes successifs est constante. Quels que soient les entiers n et p, on a (démonstration par recurrence) : un = up + (n− p)r et, en particulier (prendre p = 0), on a : ∀ n, un = u0 + nr. c) Suites géomètriques : Soit (un)n définie par u0 donné, un+1 = qun où q ∈ R. Cette suite est dite suite géométrique ou progression géométrique et q est appelé la raison de la suite. Le rapport de deux termes successifs est constant. Que quels que soient les entiers n et p, on a (démonstration par recurrence) : un = upq

(n−p) et, en particulier (prendre p = 0), on a : ∀n, un = u0qn. c) Suites récurrentes 5 :

4Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI 5Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

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Définition : Une suite est définie par récurrence lorsque la valeur du pre- mier terme ou des premiers termes est donnée et que le terme général est définie en fonction du terme précédent ou des termes précédents. On dit qu’elle est définie par une relation de récurrence c’est à dire on peut calculer un en fonction de u1, u2, ..., un−1 (pas forcément tous). Une suite récurrente s’ écrit sous la forme un = F (un−1,un−2, ...) où F est une fonction donnée ou un = G(un,un−1,un−2, ...) où G est une fonction donnée.

Exemple : 1) Les suites arithmétiques et géomètriques sont des suites recurrentes. 2) Calculer les 3 premiers termes de la suite (un)n définie par :½

u0 = 1 un+1 = 2un pour tout n ≥ 0

On a u0 = 1 donc u1 = 2u0 = 2, u2 = 2u1 = 4, u3 = 2u2 = 8. 3) Suites Arithmético-géométrique : Ce sont des suites (un)n dont le terme général est définie par :½

u0 donnée un+1 = aun + b pour tout n ≥ 0

où a, b sont des réels donnés. 4) Calculer les 2 premiers termes de la suite (un)n définie par½

u0 = 0 un =

3 2+un−1

, pour tout n ≥ 1.

On a u0 = 0 donc u1 = 32+u0 = 3 2 , u2 =

3 2+u1

= 3 2+ 32

= 67 5) Calculer les 2 premiers termes de la suite de Fibonacci (un)n définie par :½

u1 = 1, u2 = 1, un = un−2 + un−1, si n ≥ 3.

On a u1 = u2 = 1 donc u3 = u1 + u2 = 1 + 1 = 2 et u4 = u2 + u3 = 1 + 2 = 3.

2.3 Suites monotones (croissantes, décroissantes) 6:

Suites bornées: Définition : Une suite (un)n, où n ∈ N , est a) majorée (ou bornée supérieurement) s’il existe un nombreM ∈ R, tel que

un ≤M, ∀n ∈ N. On dit que M est un majorant. b) minorée (ou bornée inférieurement) s’il existe un nombre m ∈ R, tel que

m ≤ un, ∀n ∈ N. On dit que m est un minorant. c) bornée si elle est majorée et minorée c’est à dire s’il existe deux nombres

M et m ∈ R, tel que m ≤ un ≤M, ∀n ∈ N. 6Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

9

Remarque : La suite (un) est majorée ⇔ l’ensemble E = {un, n ∈ IN} est majorée. La suite (un) est minoré ⇐⇒ {un, n ∈ IN} minoré. La suite (un)n∈IN est bornée ⇐⇒ {un, n ∈ IN} borné.

Exemples : 1) Soit la suite (n−1n )n∈N∗ . Cette suite est bornée car 0 ≤

n−1 n ≤ 1, ∀n ∈ N∗.

2) Soit la suite (n2)n∈N. Cette suite est non bornée. Elle est minorée par 0 (car ∀n ∈ N, n2 ≥ 0) et non majorée. Définition : Une suite (un)n, où n ∈ N , est : a) croissante si un ≤ un+1, ∀n ∈ N càd u0 ≤ u1 ≤ ... ≤ un ≤ .... b) strictement croissante si : un < un+1, ∀n ∈ N. c) décroissante si un ≥ un+1, ∀n ∈ N. d) strictement décroissante si : un > un+1, ∀n ∈ N. e) stationnaire si un = un+1, ∀n ∈ N.

Remarque : La suite (un)n∈IN est dite croissante ⇐⇒ ∀(p, q) ∈ INxIN : p > q ⇒ up ≥ uq. Etudier la monotonie d’une suite revient à étudier sa croissance ou sa décrois- sance de la suite.

Remarque : Pour étudier la monotonie d’une suite (un)n, on peut : 1) Comparer un et un+1 (il y a plusieurs façons de le faire) 2) Utiliser, dans certains cas, la dérivée de la fonction f(x) avec x ∈ [0,+∞[

(où [m,+∞[ avec m ≥ 1) où un = f(n). 3) "Analyser"

Exemples : 1) Etudier la monotonie de la suite (un)n∈N∗ de terme général un = 1n2 . Puisque ∀n ∈ N∗, un = 1n2 , on a un+1 =

1 (n+1)2 .

Ainsi 1n2 > 1

(n+1)2 car ∀n ∈ N∗, n2 < (n+ 1)2. Donc la suite ( 1n2 )n∈N∗ est strictement décroissante. On aurait pu le montrer en considérant la fonction f(x) = 1x2 (on a : ∀n ∈ N∗, un = f(n)).Puisque f 0(x) = − 1x2 < 0, ∀x ∈ [1,+∞[ , la fonction f est strictement décroissante dans [1,+∞[ , on en déduit que la suite (un)n∈N∗ l’est aussi. 2) Etudier la monotonie de la suite (un)n∈N de terme général un = 2

n

n! .(0! = 1) La présence du factorielle nous empêche d’étudier le comportement de la suite à l’aide de la dérivée. On va comparer deux termes consécutifs. On a un = 2

n

n! et un+1 = 2n+1

(n+1)! .

On a u1 = 21! = 2 ≤ u2 = 22

2! . = 2 ≤ u3 = 23

3! . = 4 3 ≤ u4 =

24

4! = 2 3 Les

termes semblent décroître. A-t-on ∀n, un+1 ≤ un ? (On peut aussi le montrer par recurrence). On a u2 = 2 ≤ u3 = 43 ≤ u4 =

2 3 . Pour montrer la décroissance, il faut montrer

que pour tout n, un+1 ≤ un.

10

un+1 ? ≤ un revient à 2

n+1

(n+1)!

? ≤ 2nn! càd n!2n+1

? ≤ (n + 1)!2n càd 2

? ≤ (n + 1). Or

cette inégalité est vérifié pour tout n ≥ 1 donc ∀ n ≥ 1, on a un+1 ≤ un.

2.4 : Nature d’une suite 7 :

Définition : 1) Une suite (un)n converge (ou est convergente) vers L ∈ R quand n −→ +∞, on note (un)n C.V. vers L, si et seulement si

∀ > 0,∃N ∈ N tel que ∀n ≥ N : |un − L| <

c.à.d: à partir d’un certain rang (Nε) (Nε est toujours à calculer) les termes de la suite s’approchent de L. On écrit alors lim

n→+∞ (un)n = L où L ∈ R.

Remarque : |un − L| < ε⇐⇒ −ε < un − L < ε ⇐⇒ L−ε ≤ un ≤ L+ε⇔ un ∈ ]L− ε, L+ ε[ .

Si la suite (un)n C.V. vers L, on dit qu’à partir d’un certain rang N , unappartient à un voisinage de L. Un voisinage de L est un intervalle ouvert de la forme ]L− ε, L+ ε[ . Cette définition de la convergence est formellement adéquate mais elle n’est pas d’utilisation simple.

Exemples : 1) La suite (un)n dont le terme général est définie par un = 1n , où n ≥ 1 converge vers 0. En effet, ∀ > 0,∃N ∈ N∗ : N ∗ > 1 (cela provient du fait que R est

archimédien) (on peut prendre N = £ 1 ¤ + 1). Donc ∀n > N, on a 1n <

1 N <

⇒ |un| = 1n < et donc limn→+∞ 1 n = 0.

2) La suite (un)n dont le terme général est définie par un = 2 1 n , où n ≥ 1,

converge vers 1. ∀n ≥ 1, un = 2

1 n =

1 n

√ 2 > 1, 2

1 n = 1+vn où vn > 0. Donc tout revient à étudier

la convergence de la suite (vn)n. Comme, ∀x > 0, on a, (parrecurrence), (1 + x)n ≥ 1 + nx. Donc ∀n ≥ 1, 2 =

³ 2 1 n

´n = (1 + vn)

n ≥ 1 + nvn ⇒ 1 ≥ nvn càd vn ≤ 1n Ainsi, ∀n ≥ N =

£ 1 ¤ + 1, |vn − 0| = |vn| ≤ 1n < càd la suite (vn)n converge

vers 0. Comme vn = (un − 1) et que la suite (vn)n converge vers 0 alors la suite (un)n converge vers 1.

Remarque fondamentale : Soit une suite (un)n et une fonction f , telles que un = f(n) si n ≥ m où m ∈ N.

Si lim x→+∞

f(x) existe alors lim n→+∞

un = lim x→+∞

f(x).

7Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

11

Ainsi le comportement à l’infini (on dit comportement asymptotique) d’une suite (un)n où un = f(n) est semblable à celui de la fonction à l’infini lorsque lim x→+∞

f(x) existe (voir chapitre II ).

Définition : 1) Une suite (un)n converge (ou est convergente) vers L ∈ R, on note (un)n C.V. vers L, ssi lim

n→+∞ un = L où L ∈ R

2) Une suite (un)n diverge (ou est divergente), on note (un)n D.V, si et seulement si la suite (un)n n’est pas convergente.

Propriété : La limite d’une suite (si elle existe) est unique. La preuve se fait par l’absurde. On suppose que l1 6= l2 et que l1 = lim

n→+∞ un et

l2 = lim n→+∞

un alors

∀ > 0,∃N1 et ∃N2 : ∀n ≥ N = max(N1, N2) on a : |un − l1| < et |un − l1| <

D’où ∀ > 0,∃N : ∀n ≥ N on a :

|l1 − l2| = |l1 − un + un − l2| < |un − l1|+ |un − l1| < 2

et donc |l1 − l2| = 0 càd l1 = l2 ce qui est absurde. Théorème : Soit une suite (un)n, où n ∈ N , 1) Si la suite (un)n converge, alors elle est bornée (on dit que toute suite

convergente est bornée) 2) Si la suite (un)n est non bornée alors elle est divergente.

Démonstration: 1) Si la suite (un)n CV vers L, on a lim un

n−→+∞ = L⇔ ∀ ε > 0, ∃ Nε tel que n >

Nε, |un − L| < On a : un = un−L+L =⇒ ∀ε > 0,∃Nε tel que n > Nε, |un| ≤ |un − L|+ |L| ≤ ε+ |L| donc ∀n > Nε, |un| ≤ ε+ |L| Soit M = sup(|u1| , |u2| , ...., |uNε | , ε+ |L|) On a : ∀n ∈ IN, |un| < M càd la suite (un)n est bornée. Remarque : La réciproque de th 1) est fausse. En effet, soit la suite (un)n de terme général définie par un = (−1)n. on a : ∀n, |un| ≤ 1 (car ∀n,−1 ≤ (−1)n ≤ 1) mais la suite (un)n est

divergente. 2) C’est le contraposée de 1)

Autres définitions : lim n→+∞

un = +∞ ⇐⇒ ∀A > 0, ∃NA ∈ IN∗ : ∀n > NA, un ≥ A lim n→+∞

un = −∞ ⇐⇒ ∀A > 0, ∃NA ∈ IN∗ : ∀n > NA, un < −A ⇐⇒ ∀B < 0,∃ NB ∈ IN∗ : ∀n > NA, un < B

Opérations sur les suites numériques:

12

On peut définir une relation d’ordre dans l’espace des suites réelles : On dit que les suites (un)n et (vn)n sont dites égales ⇔ un = vn ∀n ∈ IN On dit que (un)n ≤ (vn)n ⇔ un ≤ vn ∀n ∈ IN

On peut définir (voir chapitre espace vectoriel pour détails): la somme de deux suites en posant : (un + vn)n = (un)n + (vn)n et on

dit que si (un)n et (vn)n sont deux suites de terme général respectif un et vn alors la somme deux suites (un)n et (vn)n est la suite (wn)n de terme général wn = un + vn. le produit en posant : (un)n(vn)n = (unvn)n et pour tout scalaire λ, λ(un)n =

(λun)n

le quotient en posant : ³ un vn

´ n = (un)n(vn)n

avec vn 6= 0,∀n.

Enonçons maintenant un théorème qui regroupe les opérations sur les suites convergentes c’est à dire sur la limite d’une somme, d’un produit et quotient de suites.

Théorème : Si (un)n est une suite convergente vers L ∈ R càd lim n→+∞

un = L et

(vn)n une suite convergente vers M ∈ R càd lim n→+∞

vn =M alors

a) lim n→+∞

(un ± vn) = lim n→+∞

un ± lim n→+∞

vn = L±M. b) lim n→+∞

(unvn) = ( lim n→+∞

un)( lim n→+∞

vn) = LM

c) lim n→+∞

(kun) = k( lim n→+∞

un) = kL, où k ∈ R.

d) lim n→+∞

un vn =

lim n→+∞

un

lim n→+∞

vn = LM , M 6= 0.

Démonstration a) On a lim un n−→+∞

= L⇔ ∀ε > 0, ∃ N1ε tel que n > N1ε , |un − L| <

et lim vn n−→+∞

= M ⇔ ∀ε > 0, ∃ N2ε tel que n > N2ε , |un −M | <

lim n−→+∞

un = L

lim n−→+∞

vn =M

! ?⇒ lim n−→+∞

(un + vn) = L+M

∀ > 0,et pour N = sup(N1ε , N2ε ) et ∀n > N , on a :

|un + vn − (L+M)| = |(un − L) + (vn −M)| ≤ |un − L|+ |vn −M | ≤ 2

càd lim n→+∞

(un + vn) = lim n→+∞

un + lim n→+∞

vn = L+M.

b) On a lim un n−→+∞

= L⇔ ∀ε > 0, ∃ N1ε tel que n > N1ε , |un − L| <

et lim vn n−→+∞

= M ⇔ ∀ε > 0, ∃ N2ε tel que n > N2ε , |un −M | <

lim n−→+∞

un = L

lim n−→+∞

vn =M

! ?⇒ lim n−→+∞

(unvn) = LM

13

On a : |un vn − LM | = |un vn − unM + unM − LM | = |un(vn −M) +M(un − )| ⇒ |unvn − LM | ≤ |un| |vn −M |+ |M | |un − | Donc ∀ > 0,et pour N = sup(N1ε , N2ε ) et ∀n > N , on a |unvn − LM | ≤ |un| + |M | La suite (un)n est une suite convergente, elle est donc bornée càd ∃ b tel que ∀n, |un| < b Par suite ∀ > 0,et pour N = sup(N1ε , N2ε ) et ∀n > N , on a |unvn − LM | ≤ |un| + |M | ≤ b + |M | Pour K = sup(b, |M |), on aura : b+ |M | ≤ 2K =⇒ ∀ ε > O,et pour N = sup(N1ε , N2ε ) et ∀n > N , |unvn − LM | ≤M. +

M ≤ K ε. càd lim

n→+∞ (unvn) = lim

n→+∞ un lim n→+∞

vn = LM

Exemples : 1) Etudier la convergence de la suite (un)n dont le terme général est définie par un =

3 n , où n ≥ 1.

Cette suite converge vers 0 car la fonction lim x→+∞

f(x) = lim x→+∞

3 x = 0

2) Etudier la convergence de la suite (un)n dont le terme général est définie par un =

n3+100 (n−1)3

Cette suite converge vers 1 car la fonction lim x→+∞

f(x) = lim x→+∞

x3+100 (x−1)3 = 1

3) Etudier la convergence de la suite (vn)n dont le terme général est définie par

vn = ¡ 1 + 1n

¢n ¡ 4 + 1n

¢ où n ≥ 1.

Si on pose un = ¡ 1 + 1n

¢n et wn =

¡ 4 + 1n

¢ , on a lim

n→+∞ un = e et lim

n→+∞ wn = 4

donc lim n→+∞

vn = 4e.

Ainsi la suite (vn)n CV vers 4e. Rappel : ∀a > 0, on a ax = ex log(a) De plus lim

X→0 log(1+X) X = 1 (à partir de la définition d’une dérivée ou régle de

l’hopital ou chapitre III). Si on pose x = 1X , on a :

¡ 1 + 1x

¢x = ex log(1+

1 x ) = e

log(1+X) X .

Donc lim X→0

¡ 1 + 1x

¢x = e ainsi lim

n→+∞

¡ 1 + 1n

¢n = e.

4) Etudier la convergence de la suite (un)n dont le terme général est définie par

un = (−1)n où n ≥ 1.

Cette suite diverge car (−1)n = ½

1 si n est pair −1 si n est impair donc limn→+∞(−1)

n n’existe

pas. 5) Etudier la convergence de la suite (un)n dont le terme général est définie par par ½

u0 = 1 un = 2un−1, si n ≥ 1

14

On a une suite géométrique de raison q = 2 donc, par recurrence, un = 2

nu0 = 2 n.

Donc cette suite diverge car la fonction lim x→+∞

f(x) = lim x→+∞

2x = +∞. 6) Théorème dit de Cesaro a) Si la suite (un)n converge vers l càd lim

n→+∞ un = l alors lim

n→+∞ u1+u2+....+un

n =

l. b) Si lim

n→+∞ (un+1 − un) = l alors lim

n→+∞ un n = l.

a) Si on pose vn = u1+u2+....+unn alors vn−l = u1+u2+....+un

n −l = u1+u2+....+un−nl

n = u1−l n +

u2−l n + ...+

un−l n .

Puisque lim n→+∞

un = l , on a : ∀ε > 0, ∃ N tel que n ∈ N , |un − l| < . On a : vn−l = 1n [(u1 − l) + (u2 − l) + ...+ (un − l)]⇒ |vn − l| ≤

1 n [|u1 − l|+ |u2 − l|+ ...+ |un − l|] .

Si on pose M = |u1 − l|+ |u2 − l|+ ...+ |uN − l| alors ∀ε > 0, ∃N tel que n ∈ N , |vn − l| ≤ 1n

£ M +

¯̄ u(N +1) − l

¯̄ + ¯̄ u(N +2) − l

¯̄ + ...+ |un − l|

¤ ≤

1 n [M + (n−N ) ] . Comme n−N < n alors |vn − l| ≤ 1n [M + n ] . ≤

M n + .

Enfin puisque lim n→+∞

M n = 0, on a (vn)n CV vers l.

b) Si on pose vn = un+1 − un alors v1+v2+....+vnn = un−u0 n .

Comme lim n→+∞

(un+1 − un) = lim n→+∞

vn = l alors, d’aprés a),

lim n→+∞

v1+v2+....+vn n = l⇒ limn→+∞

un−u0 n = l⇒ limn→+∞

un n = l.

Dans certains cas, on peut aisément prouver qu’une suite est convergente à l’aide de certains critères.

Théorème (d’encadrement) : Soit (un)n, (vn)n et (wn)n des suites telles que un ≤ wn ≤ vn pour tout n ≥ m, où m ∈ N. Si lim

n→+∞ un = L et lim

n→+∞ vn = L

alors lim n→+∞

wn = L.

Exemples : 1) Déterminer lim

n→+∞ sin(n) n .

Pour tout n ∈ N, on a −1 ≤ sin(n) ≤ 1 donc −1n ≤ sin(n) n ≤

1 n .

Or lim n→+∞

−1 n = 0 et limn→+∞

1 n = 0 donc limn→+∞

sin(n) n = 0

2) Déterminer lim n→+∞

3n

n! .

On a 3 n

n! = 3∗3∗3∗...∗3∗3∗3∗

n∗(n−1)∗(n−2)...∗4∗3∗2∗1 = 3 n

3 n−1

3 n−2 ...

3 4 3 3 3 2 3 1 .

Or pour tout n ≥ 4,on a : 3n−1 ≤ 1, 3 n−2 ≤ 1, ...,

3 4 ≤ 1 donc

3n

n! = 3 n

3 n−1

3 n−2 ...

3 4 3 3 3 2 3 1 ≤

3 n ∗ 1 ∗ 1 ∗ ... ∗ 1 ∗ 1 ∗

3 2 ∗ 3 ≤

27 2n .

Puisque pour tout n ≥ 4, on a : 0 ≤ 3nn! ≤ 27 2n et que limn→+∞

27 n = 0 donc

lim n→+∞

3n

n! = 0.

Définition : Une suite (un)n est dite alternée ssi pour tout n ∈ N (où N∗) on a unun+1 ≤ 0.

15

Proprosition : Si une suite alternée converge alors sa limite est nulle.

Exemple : Déterminer lim n→+∞

(−1)n n .

Pour tout n ≥ 1, on a −1n ≤ (−1)n n ≤

1 n . or limn→+∞

−1 n = 0 et limn→+∞

1 n = 0 donc

lim n→+∞

(−1)n n = 0.

Théorème : Soit une suite (un)n, où n ∈ N 1) Si la suite (un)n est croissante et majorée par M , alors la suite est con-

vergente et de plus sa limite l vérifie l ≤M. 2) Si la suite (un)n est décroissante et minorée par m, alors la suite est

convergente et de plus sa limite l vérifie l ≥ m. Définition : La suite (un)n tend vers +∞ ssi ∀A > 0,∃p ∈ N, p ≥ N, : ∀n ≥ p, un ≥ A. On note lim

n→+∞ un = +∞.

Remarque : Si la suite (un)n tend vers +∞ ou −∞ alors elle est non bornée. On dit que la suite (un)n diverge ssi

lim n→+∞

un = +∞ ou lim n→+∞

un = −∞ ou lim n→+∞

un = n’existe pas.

Propriété : Soit une suite (un)n, où n ∈ N , 1) si la suite (un)n est croissante et non majorée, alors elle tend vers +∞. 2) si la suite (un)n est décroissante et non minorée, alors elle tend vers −∞.

Exemple : Déterminer, sans évaluer la limite, si la suite ( 3n4n+1 )n est convergente ou divergente. On dit aussi déterminer la nature de la suite. On a un = 3n4n+1 est définie pour tout n. De plus , on a un = f(n) où f est la fonction f(x) = 3x4x+1 . On a f

0(x) = 3(4x+1)2 > 0,∀x ∈ [0,+∞[ . Ainsi la suite ( 3n4n+1)n est strictement croissante. D’autre part, pour tout n, un = 3n4n+1 ≤

4n 4n+1 ≤

4n 4n = 1. Par suite la suite

( 3n4n+1)n est majorée. Comme elle est déja (strictement) croissante alors elle est convergente.

Exemple (Critère de d’Alembert pour la CV des suites à t.g.> 0): Soit (un)n une suite réelle à termes strictement positifs càd ∀n, un > 0. Si lim n→+∞

un+1 un

= L < 1 alors la suite (un)n converge vers 0.

On a lim n→+∞

un+1 un

= L < 1 donc ∀ > 0,∃N : n ≥ N , on a ¯̄̄ un+1 un − L

¯̄̄ < .

Puisque L < 1 ,il existe b ∈ R : 0 ≤ L < b < 1. Pour = b− L > 0,∃N : n ≥ N, on a :¯̄̄ un+1 un − L

¯̄̄ < b−L⇔ −(b−L) ≤ un+1un −L ≤ b−L⇒

un+1 un < b⇒ un+1 < bun

Ainsi (par itération du processus) , on a :

16

0 < un+1 < bun < b 2un−1 < ... < b

n−N+1uN

Or lim n→+∞

(bn−N+1uN ) = (b −NuN ) lim

n→+∞ bn+1 = 0 donc lim

n→+∞ un+1 = 0 càd la

suite (un)n converge vers 0.

Exemple : Etudier la convergence de la suite (un)n définie pour tout n par un =

n 2n .

Pour tout n, On a un = n2n > 0. lim n→+∞

un+1 un

= lim n→+∞

( n+12n+1 2n

n ) = limn→+∞ n+1 2n =

1 2 < 1.

Donc , d’aprés le critére dit de d’Alembert, la suite (un)n = ( n2n )n converge vers 0.

2.5 : Etude de suites particulières 8:

a) Suites adjacentes :

Définition : Soient (un)n et (vn)n deux suites réelles on dira que (un)n et (vn)n sont adjacentes si 1) (un)n est une suite croissante et (vn)n est une suite décroissante 2) ∀n , on a un ≤ vn 3) lim n→+∞

(un − vn) = 0 Proposition : Deux suites adjacentes sont convergentes et ont la même limite. Faire la démonstartion à titre d’exercice.

Exemples : 1) Soient (un)n et (vn)n deux suites définie par u0 et v0 > 0 et par les relations de récurrence : u0 = 1, un = 1 +

1 1! + ....+

1 n!

v0 = 2, vn = un+ 1 n!

On a : ∀n, un+1 − un = 1(n+1)! > 0 ⇒ un+1 > un ∀n =⇒ (un) croissante (strictement) On a : ∀n, vn+1−vn = (un+1+ 1(n+1)!)− (un+

1 n! ) = un+1−un+

1 (n+1)! −

1 n! =

2 (n+1)! −

1 n!

donc ∀n, vn+1 − vn = 2(n+1)xn! − 1 n! =

1 n!

h 2−(n+1) (n+1)!

i = 1n!

³ 1−n n+1

´ ⇒ ∀n, vn+1 − vn ≤ 0 ⇒ (vn) est décroisante.

D’autre part, ∀n, vn − un = 1n! > 0 =⇒ ∀n, vn > un et lim n−→∞

(vn − un) = lim n−→∞

1 n! = 0

donc (un)n et (vn)n sont 2 suites adjacentes par suite, elles sont CV et ont la même limite l et on a

lim n−→∞

un = lim n−→∞

vn =

un ≤ ≤ vn 1 ≤ un ≤ vn ≤ 2

Remarque : est un nombre irrationnel :

8Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

17

Démonstration par l’bsurde. Supposons que est nombre rationnel càd ∃(p,N) ∈ N× N∗ : l = pN . On a : ∀n, un > 0 et vn > 0⇒ = pN ≥ 0 ∀n, un ≤ ≤ vn =⇒ ∀n, 1 + 11! + ...+

1 N ! ≤

P N ≤ 1 +

1 1! ...+

1 n! +

1 n!

Si on multiplie par N ! les 2 membres des inégalités, on a : N ! + (N − 1)! + +(N − 2)! + ...+ 1| {z }

A∈N

≤ P (N−1)! ≤ N ! + (N − 1)! + +(N − 2)! + ...+ 1| {z } A∈N

+

1 =⇒ A ≤ P (N − 1)! ≤ A+ 1

Ce qui est absurde car P (N − 1)! ∈ N et A et A+1 sont des entiers consécutifs donc est un nombre irrationnel. Ce nombre est noté par e.et de plus e = lim

n−→+∞

¡ 1 + 11! + ...+

1 n!

¢ = 1 + 11! + ...+

1 n! + ...

2) Soient (un)n et (vn)n deux suites définie par u0 > v0 > 0 et par les relations de récurrence :

un+1 = un+vn 2 et vn+1 =

√ unvn.

a) Montrer que ∀n ≥ 0, on a un ≥ 0, vn ≥ 0 et un ≥ vn b) Montrer que la suite (un)n est décroissante minorée et la suite (vn)n est

croissante majorée. c) Montrer que les suites (un)n et (vn)n sont convergentes. d) Montrer que la suite (wn)n définie par wn = un − vn a pour limite 0. En

déduire que les suites (un)n et (vn)n ont la même limite. a) On a u0 > v0 > 0 et un ≥ 0 et vn ≥ 0 se montrent par recurrence assez facilement. On a u0 > v0, pour montrer que ∀n ≥ 1, un ≥ vn, on peut le faire par récurrence ou directement. La relation un+1 ≥ vn+1 s’écrit un+vn2 ≥

√ unvn càd un + vn ≥ 2

√ unvn.

Comme un + vn − 2 √ unvn = (

√ un −

√ vn)

2 (on a un ≥ 0 et vn ≥ 0) donc un + vn − 2

√ unvn ≥ 0.

b) La suite (un)n est minorée par 0 car ∀n ∈ N, un ≥ 0 (d’après a)). La suite (un)n est décroissante car ∀n ∈ N, un+1 − un = un+vn2 − un = −

un−vn 2 ≤ 0 (d’après a)).

La suite (vn)n est majorée par u0 en effet , ∀n ∈ N, vn =

√ un−1vn−1 ≤ un−1vn−1 ≤ un−1un−1 (d’après a)).≤ u0.

La suite (vn)n est croissante en effet ∀n ∈ N, vn+1 − vn =

√ unvn − vn =

√ vn( √ un −

√ vn) ≥ 0 (d’après a)).

c) La suite (un)n est convergente vers l1 (décroissante et minorée) et La suite (vn)n est convergente vers l2 (croissante et majorée). On a : un+1 = un+vn2 donc vn = 2un+1 − un Ainsi wn = un − vn = un − (2un+1 − un) = 2(un − un+1)

Comme la suite (wn)n est convergente vers 0, cela résulte du fait que : ∀n ∈ N, wn ≥ 0, wn = 2(un − un+1) et que (un)n est convergente vers l1,

18

et que la suite (wn)n, (avec wn = un − vn), est convergente vers (l1 − l2), cela résulte du fait que : ∀n ∈ N, wn = 2(un − un+1) que (un)n est convergente vers l1 et que (vn)n

est convergente vers l2, On a : l1 = l2.

Théorème (des segments emboites) : Soient (un) et (vn) deux suites adjacentes et In = [un, vn] .Il existe un unique l tel que ∩

n∈IN In = { } .

Démonstration : Soit x ∈ In ⇒ un−1 ≤ un ≤ x ≤ vn ≤ vn−1 =⇒ x ∈ [un−1, vn−1] = In−1 donc ∀n, [un, vn] ⊂ [un−1, vn−1] (d’où le nom de segments emboites) puisque lim

n−→+∞ (un − vn) = 0, on a le résultat.

b) Etude de suites récurrentes du type ½

u0 donné un+1 = f(un), n ≥ 0

9 :

Soit I un intervalle de R et f une fonction réelle définie dans I et à valeur dans un sous-ensemble de I càd f : I → J ⊂ I. On considère la suite (un)n définie par :½

u0 ∈ I, donné un+1 = f(un), n ≥ 0

Cette suite est appelé suite récurrente associé à f et u0. On a : ∀n ∈ N, f(un) ∈ I donc la suite (un)n est bien définie. Dans la suite, on va supposer que la fonction f est continue, monotone et dériv- able dans I. Rappel : Si la suite (un)n CV vers l et si f est continue en l alors l = f(l). On dit que toute limite eventuelle de la suite (un)n est un point fixe de la fonction f.

Pour étudier une suite recurrente de la forme : ½

u0 donné un+1 = f(un), n ≥ 0

i) On étudie les sens de variation : un+1 − un = f(un)− un On étudie le signe du second membre. Si tous les un sont positifs, on étudie le rapport R =

un+1 un .

Si R > 1 alors la suite (un)n est croissante. Si R < 1 alors la suite (un)n est décroissante.

ii) On fait l’hypothése que la suite (un)n converge vers l. l est solution de l’équation l = f(l) (on suppose que f est continue) On forme |un+1 − l| et on cherche à monter que ce terme tend vers 0

quand n→ +∞. Pour cela, une idée consiste à exprimer |un+1 − l| en fonction de |un − l| . En pratique cela revient à trouver k : 0 ≤ k < 1 : |un+1 − l| ≤ k |un − l| .

Exemples :

9Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

19

1) Etudier la convergence de la suite (un)n dont le terme général est définie par par ½

u0 = 2 un+1 =

1 2un + 4, si n ≥ 1.

On a u1 = 12u0 + 4 = 5, u2 =

1 2u1 + 4 =

1 2( 1 2u0 + 4) + 4 =

1 4u0 + 6

u3 = 1 2u2 + 4 =

1 2( 1 4u0 + 6) + 4 =

1 8u0 + 7

∀n, un ≥ 0 (recurrence). Si la suite (un)n CV vers l alors l = 12 l + 4⇒ l = 8 8−un+1 = 8−(12un+4) (on a l =

1 2 l+4)⇒ 8−un+1 = (

1 2 l+4)−(

1 2un+4) =

1 2 (l − un) Donc (par itération du processus ou recurrence ou produit membre à membre) 8− un+1 = 32n ( car 8− u0 = 6) Ainsi la suite (un)n CV vers 8. 2) Etudier la convergence de la suite (un)n dont le terme général est définie par par ½

u0 = 0 un =

3 2+un−1

, si n ≥ 1.

On a une suite récurrente càd de la forme un = f(un−1) avec f(x) = 32+x . Si la suite (un)n converge vers l, on aura l = f(l) càd l = 32+l , dont les solutions sont 1 et −3. Comme tous les éléments de la suite sont positifs alors l ≥ 0. Par suite une limite eventuelle de la suite est l = 1. On a un − 1 = 32+un−1 − 1 =

−1+un 2+un

donc |un − 1| = ¯̄̄ −1+un 2+un

¯̄̄ ≤ 12 |un−1 − 1| .

Par itération du processus, on a :|un − 1| ≤ 12n |u0 − 1| = 1 2n . Donc la suite

(un)n converge vers l = 1.

Théorème : Soit I un intervalle de R et f une fonction réelle définie dans I à valeur dans un sous-ensemble de I càd f : I → J ⊂ I. On considère la suite (un)n définie par : ½

u0 ∈ I, donné un+1 = f(un), n ≥ 0

i) Si la fonction f est croissante sur I alors la suite (un)n est monotone. Plus prècisement:

si u0 ≤ u1 alors la suite (un)n est croissante si u0 ≤ u1. si u0 ≥ u1 alors la suite (un)n est décroissante si u0 ≤ u1.

ii) Si la fonction f est décroissante sur I alors les suites (u2n)n et (u2n+1)nsont monotones. L’une est croissante et l’autre est décroissante.

Démonstration : i) ∀n ∈ N, on a : un+1−un = f(un)− f(un−1) et f croissante ⇒ la suite (un)n est monotone.

20

Si u0 ≤ u1 et f croissante ⇒ f(u0) ≤ f(u1) ⇒ u2 − u1 = f(u1)− f(u0) ≥ 0⇒ u1 ≤ u2. On a ∀n ∈ N, un+1 − un = f(un)− f(un−1), u0 ≤ u1 et f croissante donc (par récurrence immédiate) la suite (un)n est croissante. Le cas u0 ≥ u1 se traite de façon similaire au cas précédent. ii) Si la fonction f est décroissante ⇒ g = fof est croissante. Or pour u0 donné, on a : ∀n ∈ N, u2n+2 = f(u2n+1) = fof(u2n) = g(u2n). De même pour u1 donné, on a : ∀n ∈ N, u2n+3 = g(u2n+1) Donc, d’apres i), les suites les suites (u2n)n et (u2n+1)nsont monotones. De plus, l’une est croissante et l’autre est décroissante. En effet si u0 ≤u2

et si g = fof croissante alors u2 = g(u0) ≤ u4 = g(u2) et par itération du procédé, on a (u2n)n est croissante si u0 ≤u2 et

et si f décroissante alors u1 = f(u0) ≥ u3 et par itération du procédé, on a (u2n+1)n est décroissante. Le même raisonnment est valable dans le cas où u0 ≥ u2. Exemple : On considère la suite (un)n définie par :½

u0 = 1, un+1 =

1 3(u

3 n + 1), n ≥ 0

La suite (un)n est une suite récurrente associé à f et u0 = 1 où ∀x ∈ [1,+∞[ ,on a f(x) = 13(x

3 + 1). On a f est une fonction croissante donc d’aprés le théorème précedent, la suite (un)n est monotone. Comme de plus, u0 = 1 ≥ u1 = f(1) = 23 , il s’en suit que cette suite est décroissante. D’autre part, la suite (un)n est minorée par 1. Donc la suite (un)n CV vers l et de plus, l = f(l) càd l est solution de l’équation l3 − 3l + 1 = 0.

c) Suites de Cauchy : Définition : Une suite (un) est dite suite de Cauchy dans IR, si et seulement si : ∀ > 0, ∃ Nε ∈ IN∗ : ∀p ≥ Nε et ∀q > Nε =⇒ |up − uq| < ε

Théorème : Toute suite convergente dans IR est une suite de Cauchy. Démonstration : Si (un) est dite suite convergente dans IR, on a :

lim n−→+∞

un = ⇔ ∀ ε > 0, ∃ Nε > 0 : ∀ n > Nε |un − | < εε Donc ∀ > 0, ∃ Nε > 0 : ∀p ≥ Nε et ∀q ≥ Nε on a :|up − uq| ≤ |up − |+ |uq − |

< + ⇒ |up − uq| < 2ε.

Théorème : Toute suite de Cauchy dans IR est convergente dan IR.

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Conclusion : Une suite (un) dans IR est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.

Propriété : Si (un) et (vn) sont deux suites de Cauchy alors : Les suites (|un|)n et (|un|)n sont de Cauchy La suite (un + vn)n est de Cauchy Si de plus : ∀n, |vn| ≥ a et a ∈ R∗+ , ⇒ |up − uq| < 2ε.

Définition : Une suite (un) est dite suite contractante dans IR, si et seulement si :

∀n ≥ 1, |un+1 − un| < k |un − un−1| où 0 < k < 1.

Théorème : Toute suite contractante dans IR.est une suite de Cauchy dans IR.

Exemple : On considère la suite (un)n définie par :½

u0 donné, un+1 =

un 2 +

cos(un) 3 , n ≥ 0

La suite (un)n est une suite récurrente associé à f et u0 = 1 où ∀x ∈ [1,+∞[ ,on a f(x) = x2 +

cos(x) 3 .

∀x ∈ [1,+∞[ ,on a f 0(x) = 12 − sin(x) 3 .⇒ |f 0(x)| ≤

1 2 +

1 3 =

5 6 < 1

Donc , d’apres le th. précédent, la suite (un)n est convergente. 10

10Analyse I SMI & SM S. EL HAJJI

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