Notes sur les symboles de christoffel - 1° partie, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les symboles de christoffel - 1° partie, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les symboles de christoffel - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les remarques, les opérations algébriques élémentaires, les symboles de Christoffel de deuxième espèce, ...
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SYMBOLES DE CHRISTOFFEL

L'étude des champs de tenseurs constitue, pour le physicien, l'essentiel de l'analyse tensorielle.

Le tenseur générique de ce champ est une fonction du point M et nous le notons:

(14.256)

Si le tenseur est une fonction seulement de M, le champ considéré est appelé un "champ

fixe". Si est, en outre, une fonction d'un ou plusieurs paramètres autres que les

coordonnées de M, nous disons alors que ce champ est variable et nous le notons :

(14.257)

Les différentes opérations algébriques sur les tenseurs associés à un même point M ne

soulèvent pas de difficulté particulière. La dérivée de par rapport à un

paramètre conduit à utiliser les résultats classiques relatifs à la dérivation des vecteurs.

Cependant, une difficulté apparaît lorsque nous cherchons à calculer la dérivée d'un

tenseur par rapport aux coordonnées curvilignes. En effet, les composantes du tenseur

sont définies en chaque point M par rapport à un repère naturel qui varie d'un point à un autre.

Par suite, le calcul de la variation élémentaire, appelé "transport élémentaire" :

(14.258)

lorsque nous passons d'un point M à un point infiniment voisin M' ne peut se faire que si nous

avons recours à une même base. Pour pouvoir comparer l'un à l'autre les

tenseur et , nous sommes amenés à étudier comment varie un repère naturel,

pour un système de coordonnées donné, lorsque nous passons d'un point M au point

infiniment voisin M '.

Pour un système de coordonnée curvilignes donné d'un espace ponctuel un problème

fondamental de l'analyse tensorielle consiste donc à déterminer, par rapport au repère

naturel au point M, le repère naturel au point infiniment voisinM '. Nous

disons alors que nous recherchons une "connexion affine".

D'une part, le point M' sera parfaitement défini par rapport à M si nous déterminons le

vecteur tel que . Pour des coordonnées curvilignes , la décomposition d'un

vecteur élémentaire est donnée par la relation que nous avons démontré précédemment:

(14.259)

Les quantités étant les composantes contravariantes du vecteur sur la base

naturelle .

D'autre part, les vecteurs vont pouvoir être déterminés en calculant les variations

élémentaires des vecteurs , par rapport au repère naturel , lorsque nous passons

de M en M'; nous avons alors:

(14.260)

Le calcul des vecteurs reste alors le problème essentiel à résoudre. Nous allons tout

d'abord étudier un exemple de ce type de calcul en coordonnées sphériques.

Pour cela, reprenons l'expression des vecteurs de la base naturelle en coordonnées

sphériques, soit:

(14.261)

Les vecteurs de base du repère fixe cartésien étant constants en module et en direction,

la différentielle du vecteur s'écrit:

(14.262)

Nous remarquons que les termes entre parenthèses représentent respectivement les

vecteurs et , d'où:

(14.263)

Nous calculons de même, en différentiant les vecteurs :

(14.264)

Avec:

(14.265)

nous avons:

(14.266)

Donc finalement:

(14.267)

Et:

(14.268)

Après quelques opérations algébriques élémentaires et très pertinentes (...), nous arrivons à:

(14.269)

Les différentielles sont ainsi décomposées sur la base naturelle . Si nous notons ,

les composantes contravariantes du vecteur , celui-ci s'écrit (nous changeons les lettres

d'indices):

(14.270)

Les composantes des vecteurs sont des formes différentielles (combinaisons linéaires

de différentielles). Nous avons, par exemple:

(14.271)

Si nous notons de manière générale les coordonnées sphériques, nous avons:

(14.272)

Les différentielles des coordonnées sont alors notées:

(14.273)

et les composantes s'écrivent alors de manière générale:

(14.274)

où les quantités sont des fonctions de qui vont être explicitement obtenues en

identifiant chaque composante . Par exemple, la composante s'écrit avec la notation de

la relation précédente:

(14.275)

Identifiant les coefficients des différentielles, il vient:

(14.276)

En procédant de même avec les neuf composantes , nous obtenons les vingt sept (...)

termes . Pour un système de coordonnées curvilignes quelconques, ces quantités sont

appelées les "symboles de Christoffel de deuxième espèce" ou encore "fonctions euclidiennes

de connexion affine".

Ainsi, pour un espace ponctuel et un système de coordonnées curvilignes quelconque, la

différentielle des vecteurs de la base naturelle s'écrit sur cette base:

(14.277)

Nous venons de voir, sur l'exemple des coordonnées sphériques, qu'un calcul direct permet,

par identification, d'obtenir explicitement les quantités . Nous allons voir que nous pouvons

également obtenir l'expression de ces quantités en fonction des composantes .

Le calcul des quantités en fonction des va nous amener à introduire d'autres symboles

de Christoffel. Pour cela, écrivons les composantes covariantes, notées , des

différentielles , soit:

(14.278)

Les composantes covariantes sont également des combinaisons linéaires des

différentielles que nous pouvons écrire sous la forme:

(14.279)

Les quantités sont appelées les "symboles de Christoffel de première espèce".

Nous voyons très bien en parcourant à nouveau la définition du symbole de Christoffel que

celui-ci est symétrique:

(14.280)

et donc que :

(14.281)

Effectivement (suite à la demande d'un lecteur), puisque nous avons :

(14.282)

Il vient alors :

(14.283)

et en permutant les indices :

(14.284)

L'identification terme à terme du développement sur un cas concret des deux dernières

relations donnera (forcément) l'égalité :

(14.285)

que nous voulions prouver.

Puisque les composantes covariantes sont liées aux composantes contravariantes par les

relations (contraction des indices) :

(14.286)

nous obtenons l'expression liant les symboles de Christoffel de chaque espèce:

(14.287)

Inversement:

(14.288)

Remarque: Diverses notations sont utilisées pour représenter les symboles de Christoffel. Les

plus usuelles sont les suivantes:

- Symboles de première espèce:

(14.289)

- Symboles de deuxième espèce:

(14.290)

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