Notes sur les systèmes d'équations différentielles, Notes de Logique mathématique
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les systèmes d'équations différentielles, Notes de Logique mathématique

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Notes de mathématique sur les systèmes d'équations différentielles. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Démonstration, Exemple.
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Systèmes d'équations différentielles.

Voyons maintenant des développements qui vont aussi bien être utiles en physique quantique que

dans la résolution de systèmes d'équations différentielles (et particulièrement une qui est connue

en théorie du chaos!).

Avant cela, il va nous falloir introduire le concept d'exponentialisation d'une matrice:

L'ensemble des matrices à coefficients dans noté est un espace vectoriel pour

l'addition des matrices et la multiplication par un scalaire. Nous notons I la matrice identité.

Nous admettrons qu'une suite de matrices convergent vers une matrice A si et seulement si les

suites de coefficients des matrices convergent vers les coefficients correspondent de A.

Exemple:

Dans la suite de matrices:

(10.96)

converge vers:

(10.97)

lorsque .

Si , nous avons vus lors de notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les

Nombres) que la série:

(10.98)

converge et sa limite est notée . En fait ici il n'y a aucune difficulté à remplacer x par une

matrice A puisque nous savons (nous l'avons montré lors de notre étude des nombres complexes)

que tout nombre complexe peut s'écrire sous la forme suivante (le corps des nombres complexes

est donc isomorphe au corps des matrices réelles carrées de dimensions 2 ayant cette forme):

(10.99)

et qu'un nombre complexe au carré est équivalent à mettre sa forme matricielle au carré:

(10.100)

Effectivement:

(10.101)

Nous définissons alors l'exponentielle d'une matrice comme la matrice limite de la

suite:

(10.102)

Si la matrice A est diagonale il est évident que son exponentielle est facile à calculer. En effet, si:

(10.103)

Par suite:

(10.104)

Or, il apparaît évident qu'une matrice non diagonale va être beaucoup plus compliquée à traiter!

Nous allons alors utiliser la technique de diagonalisation soit une réduction des endomorphismes

(cf. chapitre d'Algèbre Linéaire).

Alors, remarquons que si est inversible et si alors:

(10.105)

Ceci découle du fait que (penser au changement de base d'une application linéaire comme ce qui a

été étudié dans le chapitre d'Algèbre Linéaire):

(10.106)

Donc:

(10.107)

Ce développement va nous permettre de ramener le calcul de l'exponentielle d'une matrice

diagonalisable à la recherche de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres.

Exemple:

Calculons où:

(10.108)

Les valeurs propres de A sont , et les vecteurs propres associés sont:

(10.109)

Effectivement:

et (10.110)

En posant:

(10.111)

Nous avons:

(10.112)

avec:

(10.113)

Par conséquent:

(10.114).

Maintenant, rappelons que dans le cas des nombres réels nous savons que

si alors . Dans le cas des matrices nous pouvons que si sont

deux matrices qui commutent entre-elles c'est-à-dire telles que . Alors .

La condition de commutativité vient au fait que l'addition dans l'exponentielle est elle

commutative. La démonstration est donc intuitive.

Un corollaire important de cette proposition est que pour toute matrice , est

inversible. En effet les matrices et commutent, par conséquent:

(10.115)

Nous rappelons qu'une matrice à coefficients complexes est unitaire si:

(10.116)

La proposition suivante nous servira par la suite.

Montrons que si A est une matrice hermitienne (dite aussi "autoadjointe") (cf. chapitre d'Algèbre

Linéaire) alors pour tout , est unitaire.

Démonstration:

(10.117)

Donc:

(10.118)

C.Q.F.D.

Rappelons que cette condition pour une matrice autoadjointe est liée à la définition de groupe

unitaire d'ordre n(cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Une des premières applications de l'exponentielle de matrices est la résolution des équations

différentielles ordinaires. En effet, de l'équation différentielle linéaire ci-dessous avec comme

condition initiale et oùA est une matrice :

(10.119)

la solution est donnée (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) par:

(10.120)

Nous retrouvons fréquemment ce genre de systèmes d'équations différentielles en biologie

(dynamique des populations), en astrophysique (étude des plasmas) ou en mécanique des fluides

(théorie du chaos) ainsi que mécanique classique (systèmes couplés), en astronomie (orbites

couplées), en électrotechnique, etc.

Exemple:

Supposons que nous ayons le système d'équations différentielles suivant:

(10.121)

La matrice associée est alors:

(10.122)

et son exponentielle (voir les développements faits plus haut):

(10.123)

La solution générale du système est donc:

(10.124)

Nous avons donc:

(10.125)

Après recherche des constantes nous trouvons:

(10.126)

ce qui nous donne finalement:

(10.127)

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