Notes sur les systèmes d'unités - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 janvier 2014

Notes sur les systèmes d'unités - 2° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

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Notes de physique sur les systèmes d'unités - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la longueur, la masse, l'énergie, la charge, les distributions.
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Démontrons maintenant que la référence temporelle est indépendante du choix pour

observateur au repos. Soit un temps noté par la lettre t, nous avons alors :

(28.17)

où t' est la base arbitraire (non nécessaire) lorsque nous comparons une différence temporelle.

L'intervalle de temps est donné par une mesure étalon qui ne peut être qu'un mouvement au

mieux parfaitement périodique (qui se répète dans le temps). Ainsi, les premiers moyens de

mesure du temps ont été le jour et la nuit, les positions du soleil et de la lune dans le ciel, le

mouvement du pendule, la détente de ressorts, la période de dégénérescence du césium 137

ou encore les systèmes binaires d'étoiles massives. Bref, tant qu'un système observable produit

un phénomène périodique stable et suffisamment petit pour que toute mesure physique puisse

y être réduite, celui-ci peut être utilisé comme étalon d'intervalle temporel.

Définitions:

D1. Un "événement" consiste à donner une signification à un point de l'espace-temps

D2. Deux événements sont dits "événements simultanés", s'ils sont même valeur de la

coordonnée temporelle

D3. Nous appelons "coïncidence" la simultanéité de deux événements en un même point de

l'espace. La coïncidence est un fait absolu, indépendant du choix du référentiel (c'est en fait un

cas particulier du principe de conservation de la causalité. Deux événements coïncidant dans un

repère peuvent être cause à effet l'un de l'autre (et réciproquement), et cette possibilité est

conservée dans le nouveau repère.)

LONGUEUR Définition: Le concept de "longueur" x est donnée par l'information qui donne le chemin

parcouru par un objet dans un intervalle de temps donné.

Remarques:

R1. S'il n'y avait pas de matière dans l'Univers il n'y aurait pas de notion de mouvement et donc

de longueur parcourue et aussi comme nous l'avons déjà fait remarquer, de temps (et encore...

c'est sans considérer certains résultats de la physique quantique que nous démontrerons dans le

chapitre qui lui est consacré).

R2. La longueur est une grandeur extensive (additive). Effectivement, la longueur totale d'un

système est la somme des grandeurs.

Comme pour le temps il n'y a pas d'origine absolue de mesure des longueurs (il n'existe pas de

point zéro dans l'Univers comme le postule la théorie de la relativité) et les physiciens

s'intéressent de toute façon plus particulièrement aux différences de chemin parcouru par

rapport à une origine comme ils le font pour le temps.

Ainsi, de manière identique au temps, nous avons pour un observateur au repos qui observe un

point matériel en mouvement:

(28.18)

où x' est une base arbitraire mathématiquement inutile lorsque nous comparons une différence

de position dans une différence de temps d'un point matériel.

Si un point matériel se situe dans un espace à trois dimensions spatiales (cas le plus fréquent

en mécanique classique) dont nous avons arbitrairement choisi l'origine O, nous notons la

position de ce corps par sa distance en longueur x, largeur y et hauteur z (appelées

"coordonnées cartésiennes") par une flèche imaginaire dit "vecteur" (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel) reliant le point d'origine arbitraire du référentiel spatial au point intéressé de la façon

suivante :

(28.19)

Remarque: La flèche au-dessus du signifie bien évidemment qu'il s'agit d'un vecteur.

La notation:

(28.20)

est une notation simplificatrice utilisée fréquemment en physique et qui devrait s'imposer dans

les petites classes (attention le fait que les chiffres soient abaissés en indice ne signifie

absolument pas ce que sont des composantes covariantes - voir chapitre de Calcul Tensoriel de

la section d'Algèbre - il s'agit juste d'une convention simplificatrice d'écriture). Cependant sur le

présent site Internet nous passerons de l'une à l'autre des notations en fonctions des besoins et

des traditions en vigueur (ce sera donc à vous de faire attention à ne pas confondre).

La matrice:

(28.21)

est quant à elle le tenseur métrique d'un espace pré-euclidien canonique à signature positive

(cf. chapitres de Calcul Vectoriel et Calcul Tensoriel). Ceci constitue un cas particulier en

physique théorique mais cependant un cas très fréquent d'étude en mécanique classique (il faut

commencer par des espaces simples avant d'aller plus loin...).

Nous reviendrons plus en détails sur ces concepts lors de notre étude des espaces ponctuels

plus loin.

MASSE Définitions:

D1. La "masse" m d'un corps est dans un système fermé une quantité qui se conserve et qui

caractérise l'amplitude avec laquelle ce corps interagit avec d'autres corps par le biais de

différentes forces (attractives).

Remarques:

R1. Dans un système isolé, il ne peut pas y avoir création ou destruction spontanée de masse.

L'apparition de masse ne peut être due qu'à une action extérieure. Une autre façon de dire la

même chose est que la masse totale contenue dans l'Univers est constante.

R2. La masse est une grandeur extensive (additive). Effectivement, la masse totale d'un système

est égale à la somme des masses qui le compose.

En toute rigueur, nous devrions définir également :

D2. La "masse grave" (ou "masse de gravitation") qui est l'amplitude avec laquelle un corps

matériel interagit avec un champ de potentiel (selon la loi de gravitation de newton - voir

chapitre de Mécanique Classique).

D3. La "masse inerte" (ou "masse inertielle") qui est l'amplitude qui caractérise la résistance avec

laquelle un corps en translation est susceptible de changer de vitesse (c'est-à-dire celle

intervenant dans la deuxième loi de Newton - voir chapitre de Mécanique Classique)

Remarques:

R1. Des expériences ont toutefois prouvé que ces deux masses étaient proportionnelles au dix-

milliardième près. Cette identité expérimentale appelée "principe d'équivalence galiléen" est à la

base d'un des postulats de la relativité générale (cf. chapitre de Relativité Restreinte).

R2. Contrairement aux charges électriques (voir plus loin de la définition de la "charge"), qui

caractérisent l'amplitude d'interaction par la force électrique, il n'existe que des masses positives.

Ainsi les charges électriques peuvent se repousser aux mêmes titres qu'elles peuvent s'attirer.

De plus, la masse est étant une propriété additive (donc "extensive" comme nous l'avons déjà

dit) de la matière : pour un système de n points matériels de masse , la masse

totale est :

(28.22)

De même, pour une distribution continue (voir plus loin au cas où pour un rappel du concept de

distribution continue) en volume de la masse d'un système de volume total V :

(28.23)

où est la "masse volumique" ou "densité volumique" du système au point A, c'est-à-dire

la masse d'un élément de matière, centré autour de A, de dimensions caractéristiques devant

celles du système, mais grandes devant les distances interatomiques dans ce système (

est la masse volumique du système au point repéré par ) définie par :

(28.24)

Remarques:

R1. L'intégrale est une intégrale triple (sur les trois dimensions de l'espace), mais elle pourra être

ramenée à une intégrale simple en exploitant les symétries du système pour choisir

judicieusement les volumes élémentaires d'intégration.

R2. Le calcul de la masse lors d'une distribution non continue (discrète) de matière doit être fait

avec les composantes vectorielles calculées séparément. Une fois ce travail effectué, il convient

d'en prendre la norme.

R3. La masse volume est une grandeur intensive. Effectivement, la densité d'un système

physique n'est pas égale à la somme de ces densités (c'est du bon sens!). Le lecteur remarquera

que cette grandeur intensive qu'est la masse volumique est égale au rapport de deux grandeurs

extensives.

Définitions:

D1. Nous disons qu'un système est un "système homogène" si sa masse volumique, surfacique,

linéique (voir définition ci-dessous) est constante.

D2. Nous disons qu'un système est un "système isotrope", si ses propriétés physiques sont

identiques en tout point.

Nous définissons aussi parfois la "masse surfacique" (ou "densité surfacique" de masse) pour

des systèmes quasiment sans épaisseur et une "masse linéique" (ou "densité linéique" de

masse) pour des systèmes de section négligeable devant leur longueur. Nous avons alors

(S étant une surface et s une abscisse curviligne) :

ou (28.25)

avec dans le cas général :

(28.26)

Remarque: Souvent, dans la littérature, ainsi que dans le présent site internet, la masse

volumique est notée simplement , la masse surfacique , et la masse linéique .

Définition: Avec ce qui précède, nous pouvons définir la "densité" comme étant la quantité

d'éléments tous identiques et dénombrables par unité de volume, surface ou linéique.

ÉNERGIE

Nous ne savons pas ce qu'est exactement l'énergie (notée sous sa forme générale par la

lettre E dans les petites classes) mais nous en connaissons ses effets. Ce que nous savons

cependant, c'est qu'il en existe plusieurs formes dont voici une liste des plus connues :

- "L'énergie travail" qui est l'énergie créée par l'application d'une force sur un corps lui donnant

une certaine énergie cinétique (cf. chapitre de Mécanique Classique) ou énergie potentielle

(qu'elle soit gravifique, électrostatique comme démontré en mécanique classique ou

électrodynamique).

- "L'énergie chaleur " qui est une forme d'énergie déterminée par le nombre de micro-états

d'un système (cf. chapitre de Thermodynamique)

- "L'énergie de masse" qui est l'énergie contenu dans une certaine quantité de masse (cf.

chapitre de Relativité Restreinte)

De ces trois énergies découlent une grande quantité de familles d'énergies dérivées dont les

plus connues sont : l'énergie nucléaire, l'énergie électrique, l'énergie solaire, l'énergie éolienne,

l'énergie mécanique, l'énergie gravifique, l'énergie des marées, l'énergie électromagnétique,

l'énergie fossile, l'énergie hydraulique, l'énergie corporelle, etc.

Remarques:

R1. La masse et l'énergie sont équivalentes comme nous le verrons lors de notre étude de la

relativité restreinte (cf. chapitre de Relativité Restreinte), si nous définissons un système d'unités

telles que la vitesse de la lumière vaille (convention très utilisée par les physiciens dans la

recherche de pointe).

R2. L'énergie au même titre que la masse est une grandeur extensive.

Nous pouvons quand même tenter de nous demander ce qu'est l'énergie exactement?

Définition: "L'énergie" est l'effet d'une cause d'un changement ou de la conservation des

propriétés d'un système. Cette cause étant non nécessairement déterministe et en moyenne

nulle et conservative dans un système fermé.

Remarques:

R1. La vitesse, le potentiel, le nombre de micro-états peuvent êtres considérés comme

l'acquisition d'une quantité d'informations sur un système.

R2. Dans un système isolé, il ne peut pas y avoir création ou destruction spontanée d'énergie.

L'apparition d'énergie ne peut être due qu'à une action extérieure. Une autre façon de dire la

même chose est que la l'énergie totale contenue dans l'Univers est constante.

CHARGE Il est difficile de dire quelque chose sur la charge électrique (vous pouvez chercher une

définition sur l'internet vous verrez...). Cependant si nous nous référons à l'approche de Yukawa

(cf. chapitre de Physique Quantique Des Champs) nous pouvons tenter d'en donner la définition

suivante :

Définition: Une "charge électrique" est une propriété conservative qu'a une particule se situant

dans un champ de potentiel à symétrie sphérique à interagir avec la source de ce champ dans le

cadre de l'échange d'un quantum d'interaction (le photon en l'occurrence créé par les

fluctuations quantique du vide en présence d'une masse) définissant un champ vectoriel de type

Coulombien.

Remarques:

R1. Dans un système isolé, il ne peut pas y avoir création ou destruction spontanée de charges.

L'apparition de charges ne peut être due qu'à une action extérieure. Une autre façon de dire la

même chose est que la charge totale contenue dans l'Univers est constante.

R2. La charge est une grandeur extensive. Effectivement, la charge totale d'un système physique

est égale à la somme algébrique des charges qui la constitue.

Ou une autre définition similaire à la masse :

Définition: La "charge électrique" q d'un corps est dans un système fermé une quantité qui se

conserve et qui caractérise l'amplitude avec laquelle ce corps interagit avec d'autres corps par le

biais des forces électrostatiques et magnétiques.

Contrairement à la masse, il existe des charges électriques positives et négatives. La charge

électrique reste cependant une propriété additive (extensive). Ainsi, pour un système

de q particules de charge , la charge totale est :

(28.27)

et est donc aussi comme la masse, une propriété extensive.

De même, pour une distribution continue en volume de la charge d'un système de volume

total V (nous notons les densités de charge de manière identique si l'ambiguïté n'est pas

possible de la même manière que pour la masse):

(28.28)

où est la "densité volumique de charges" du système au point A, c'est-à-dire la charge

d'un élément de matière, centré autour de A, de dimensions caractéristiques devant celles du

système, mais grandes devant les distances interatomiques dans ce système ( est la

densité volumique de charge du système au point repéré par ) définie par :

(28.29)

Remarques:

R1. L'intégrale est une intégrale triple, mais elle pourra être ramenée à une intégrale simple en

exploitant les symétries du système pour choisir judicieusement les volumes élémentaires

d'intégration.

R2. Le calcul de la charge lors d'une distribution non continue (discrète) de matière doit être fait

avec les composantes vectorielles calculées séparément. Une fois ce travail effectué, il convient

d'en prende la norme.

R3. La charge volumique est une grandeur intensive. Effectivement, la densité de charge

d'un d'un système physique n'est pas égale à la somme de ces densités (c'est du bon sens!). Le

lecteur remarquera encore une fois que cette grandeur intensive qu'est la masse volumique est

égale au rapport de deux grandeurs extensives.

De même que pour la masse, nous pouvons donner les définitions suivantes :

D1. Nous disons qu'un système est "système homogène" si sa charge volumique, surfacique,

linéique (voir définition ci-dessous) est constante.

D2. Nous disons qu'un système est "système isotrope", si ses propriétés physiques sont

identiques en tout point

Nous définissons aussi parfois la "densité surfacique de charge" (ou "densité de surface" de

charge) pour des systèmes quasiment sans épaisseur et une "charge linéique" (ou "densité

linéique" de charge) pour des systèmes de section négligeable devant leur longueur. Nous

avons alors (S étant une surface et s une abscisse curviligne) :

ou (28.30)

avec :

(28.31)

Remarque: Souvent, dans la littérature, ainsi que dans le présent site internet, la densité

volumique de charge est notée simplement , la densité surfacique de charge , et la masse

linéique .

DISTRIBUTIONS

Définitions:

D1. Une masse ou une charge sont dites "ponctuelles" si elles occupent un volume dont les

dimensions sont très inférieures aux distances d'observations.

Remarque: La charge élémentaire est une excellente approximation d'une charge ponctuelle étant

sa petite taille dont le rayon classique est de l'ordre du femtomètre, ce qui est bien sûr très petit

devant les dimensions d'observation classiques.

D2. Si nous considérons N corps de charge ou masse finies dans un volume V. Si ce volume est

supposé suffisamment grand pour que la distance moyenne entre les corps soit très supérieur à

la dimension de ceux-ci, nous avons affaire à une "distribution discontinue" ou "distributions

discrète" de ces corps (nous parlons parfois aussi de distribution non-uniforme).

Les calculs sont impossibles à faire en partant d'une distribution discrète car, en général, le

nombre de corps en considération est très élevé lorsque le volume est de dimension

macroscopique. Dans ce cas, il faut introduire un autre type de distribution.

D3. Si nous considérons N corps de charge ou masse finies dans un volume V. Si la répartition

des éléments est telle qu'il n'y pas de "trous" entre chacun d'eux (en d'autres termes : chaque

élément est serré contre un autre) alors nous avons affaire à une "distribution continue". Une

distribution continue peut alors être décrite par une fonction qui représente la manière dont les

éléments se répartissent dans un volume, surface ou ligne.

Remarques:

R1. Nous pouvons préciser parfois, comme nous en avons déjà fait mention lors des définitions

de la masse ou de la charge que les distributions définies précédemment peuvent être de type

volumique, surfacique ou linéique. Si cela n'est pas précisé, c'est que l'information est

implicitement triviale.

R2. Le terme "continue" dans "distribution continue" provient du fait que nous intégrons la

fonction d'où la nécessité qu'elle soit continue (au sens de Riemann ou de Lebesgue suivant les

cas... - voir chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral).

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