Notes sur les univers des événements - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les univers des événements - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les univers des événements - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le théorème de Bayes, les Exemples, les martingales.
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Le théorème de Bayes donne alors la probabilité à priori d'avoir une méningite si nous avons mal à

la tête! :

(6.29)

Pour en revenir à la théorie, notons que nous avons aussi:

(6.30)

qui est appelée la "formule des probabilités totales" ou "théorème des probabilités totales". Mais

aussi, pour toutj, nous avons le corollaire suivant en utilisant les résultats précédents:

(6.31)

qui est la forme générale de la "formule de Bayes" ou "théorème de Bayes" que nous utiliserons un

tout petit peu en Mécanique Statistique et dans le cadre de l'étude de la théorie des files d'attentes

(cf. chapitre de Techniques De Gestion). Il faut savoir que les implications de ce théorème sont

cependant considérables dans le quotidien, dans la médecine, dans l'industrie et dans le domaine

du Data Mining informatique.

Exemples:

E1. Deux machines et produisent respectivement 100 et 200 pièces. produit 5% de

pièces défectueuses et en produit 6% (ces valeurs proviennent d'une loi exponentielle!). Quelle

est la probabilité pour qu'un objet défectueux ait été fabrique par la machine ?

L'événement constaté A est donc la présence d'une pièce défectueuse et la probabilité recherchée

est la probabilité à priori que celle-ci provienne de la machine .

Nous avons alors:

(6.32)

E2. D'un lot de 10 pièces dont le 30% est défectueux, nous prélevons sans remise un échantillon

de taille 3. Quelle est la probabilité que la seconde pièce soit bonne (quelque soit la première)?

Nous avons:

(6.33)

où est la probabilité que la deuxième soit bonne sachant que la première est mauvaise

et est la probabilité que la deuxième soit bonne sachant que la première est

bonne. est donc la probabilité que la première soit mauvaise, la probabilité que la

première soit bonne.

L'analyse bayésienne fournit donc un outil puissant de formalisation du raisonnement dans

l'incertain et les exemples que nous avons montrés illustrent surtout à quel point cet outil est

délicat à employer..

1.3. MARTINGALES

Une martingale en probabilités (il en existe une autre dans les processus stochastiques) est une

technique permettant d'augmenter les chances de gain aux jeux de hasard tout en respectant les

règles de jeu. Le principe dépend complètement du type de jeu qui en est la cible, mais le terme

est accompagné d'une aura de mystère qui voudrait que certains joueurs connaissent des

techniques secrètes mais efficaces pour tricher avec le hasard. Par exemple, de nombreux joueurs

(ou candidats au jeu) cherchent LA martingale qui permettra de battre la banque dans les jeux les

plus courants dans les casinos (des institutions dont la rentabilité repose presque entièrement sur

la différence - même faible - qui existe entre les chances de gagner et celles de perdre).

De nombreuses martingales ne sont que le rêve de leur auteur, certaines sont en fait inapplicables,

quelques-unes permettent effectivement de tricher un peu. Les jeux d'argent sont en général

inéquitables : quel que soit le coup joué, la probabilité de gain du casino (ou de l'État dans le cas

d'une loterie) est plus importante que celle du joueur. Dans ce type de jeu, il n'est pas possible

d'inverser les chances, seulement de minimiser la probabilité de ruine du joueur.

L'exemple le plus courant est la martingale de la roulette, elle consiste à jouer une chance simple à

la roulette (noir ou rouge, paire ou impaire) de façon à gagner, par exemple, une unité dans une

série de coups en doublant sa mise si l'on perd, et cela jusqu'à ce que l'on gagne. Exemple : le

joueur mise 1 unité sur le rouge, si le rouge sort, il arrête de jouer et il a gagné 1 unité (2 unités

de gain moins l'unité de mise), si le noir sort, il double sa mise en pariant 2 unités sur le rouge et

ainsi de suite jusqu'à ce qu'il gagne.

Ayant une chance sur deux de gagner, il peut penser qu'il va finir par gagner ; quand il gagne, il

est forcément remboursé de tout ce qu'il a joué, plus une fois sa mise de départ.

Cette martingale semble être sûre en pratique. À noter que sur le plan théorique, pour être sûr de

gagner, il faudrait avoir la possibilité de jouer au cas où un nombre de fois illimité. Ce qui

présente des inconvénients majeurs :

Cette martingale est en fait limitée par les mises que le joueur peut faire car il faut doubler la mise

à chaque coup tant que l'on perd : 2 fois la mise de départ, puis 4, 8, 16.... s'il perd 10 fois de

suite, il doit pouvoir avancer 1024 fois sa mise initiale pour la 11e partie ! Il faut donc beaucoup

d'argent pour gagner peu.

Les roulettes comportent un "0" qui n'est ni rouge ni noir. Le risque de perdre lors de chaque coup

est ainsi plus grand que 1/2...

De plus, pour paralyser cette stratégie, les casinos proposent des tables de jeu par tranche de

mise : de 1 à 100.-, de 2 à 200.-, de 5 à 500.-, ... (bon ensuite voir s'il est possible de changer de

table...). Impossible donc d'utiliser cette méthode sur un grand nombre de coups, ce qui augmente

le risque de tout perdre.

Le black jack est un jeu qui possède des stratégies gagnantes : plusieurs techniques de jeu, qui

nécessitent généralement de mémoriser les cartes, permettent de renverser les chances en faveur

du joueur. Le mathématicien Edward Thorp a ainsi publié en 1962 un livre qui fut à l'époque un

véritable best-seller. Mais toutes ces méthodes demandent de longues semaines d'entraînement et

sont facilement décelables par le croupier (les brusques changements de montant des mises sont

caractéristiques). Le casino a alors tout loisir d'écarter de son établissement les joueurs en

question.

Il faut noter qu'il existe des méthodes assez évoluées. L'une d'elles repose sur les combinaisons

les moins jouées. Dans les jeux où le gain dépend du nombre de joueurs gagnants (Loto...), jouer

les combinaisons les moins jouées optimisera les gains. C'est ainsi que certaines personnes

vendent des combinaisons qui seraient statistiquement très rarement utilisées par les autres

joueurs.

Partant de ce raisonnement, on peut encore conclure qu'un joueur qui aurait réussi à déterminer

ainsi les combinaisons statistiquement les moins jouées, afin d'optimiser son espérance de gain ne

sera en fait certainement pas le seul joueur à avoir obtenu par l'analyse ces fameuses

combinaisons, et tous ces joueurs risquent donc finalement d'être très déçus par leurs gains s'il

s'avérait que cette combinaison équiprobable sorte au tirage! Cela revient à dire que les numéros

en théorie les moins joués sont en fait surjoués par combinaisons, le mieux serait peut-être de

réaliser un savant mélange de numéros sous-joués et de numéros surjoués pour obtenir les

combinaisons idéales, qui peuvent par ailleurs être observées dans les tirages passés lorsqu'il n'y a

pas eu de gagnant. Une autre conclusion à tout cela est peut-être que le mieux est encore de

jouer des combinaisons aléatoires qui ont finalement moins de chance d'être également choisies

par les joueurs qui incorporent un facteur humain et harmonieux dans le choix de leurs nombres.

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