Notes sur les variétés, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 janvier 2014

Notes sur les variétés, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les variétés. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les définitions, les variétés différentiables.
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VARIÉTÉS

Nous introduisons maintenant les "variétés". Ce sont des espaces topologiques qui sont

"localement comme " (notre espace par exemple..).

Définitions:

D1. Une "variété topologique de dimension n" est un espace de Hausdorff M tel que pour

tout il existe un voisinage ouvert avec , un voisinage ouvert et

un homéomorphisme :

(18.55)

D2. Un "homéomorphisme" entre deux espaces est une bijection continue dont l'inverse est

également continu.

D3. Les couples sont appelés des "cartes", U étant le "domaine de la carte"

et "l'application de coordonnées". Au lieu de "carte nous disons parfois aussi "système de

coordonnées".

Remarque: Nous noterons par dim M la dimension d'une variété topologique. Ainsi :

(18.56)

D4. Soit M une variété topologique de dimension n. Une famille A de cartes de M est appelée un

"atlas" si pour tout , il existe une carte telle que .

Remarque: Notons que si sont deux cartes de M telles que (ne vérifiant pas

l'axiome de Hausdorff) , alors l'application de changement de cartes :

(18.57)

(18.58)

est un homéomorphisme.

VARIÉTÉS DIFFÉRENTIABLES

Définitions :

D1. Une "variété différentiable" est un espace topologique M où les applications sont

des fonctions de classe .

D2. Un "difféomorphisme" est une application où sont des domaines ouverts

de et sif est un homéomorphisme et en plus si sont différentiables.

Remarque: "différentiable" dans ce contexte signifiera toujours différentiable de classe

D3. Soit une variété topologique (pour simplifier l'écriture), deux

cartes de M sont des "cartes compatibles" (plus précisément, compatibles de

classe ), si l'une des deux propriétés suivantes est vérifiée :

P1. et l'application de changement de cartes est un difféomorphisme

P2.

Un atlas A de M est différentiable si toutes les cartes de A sont compatibles entre elles.

D4. Une "variété différentiable" est un couple (M , A) où M est une variété topologique et A un

atlas différentiable de M.

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