Probabilités et statistiques - Correction, Exercices de Applications des sciences informatiques
Christophe
Christophe3 mars 2014

Probabilités et statistiques - Correction, Exercices de Applications des sciences informatiques

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Exercices d’informatique sur les probabilités et les statistiques - Correction. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: exercices, correction.
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Correction_PS_05 (résumé)

Correction_PS_05 (2 heures) Préliminaire X suit la loi uniforme sur (ao,bo) (question de Cours) L'application de la formule de Bayes donne : pour a<t<b Prob(X<t|a Xb) = {t/(bo-ao)}/{(b-a)/(bo-ao)}=t/(b-a) donc la loi de X sachant a< X <b est la loi uniforme sur (a , b) exercice 1 D a 2 valeurs possibles do*c ou do*(1-c) avec do = bo - ao m=(1-c)*a + c*b ; Prob(X<m)=c dans ce cas D=do *c d’où Prob(D=do*c)=c ; de même Prob(D=do*(1-c))=1- c

E(D)= c*Prob(D=do*c) + (1-c)*Prob(D=do*(1-c)) = E(D)=do *( c2 + (1-c)2)) minimum pour c=0.5 et vaut 0.5*do ; dans ce cas D est constante E(D2)= d0*d0*(c3 + (1-c)3 ) Var(D) = do2 *(c3 + (1-c)3 - ( c2 + (1-c)2 )2 ) minimum pour c=0.5 et vaut 0 (ce qui est cohérent avec D constante si c=0.5 )

2 la loi de X sachant a< X <b est la loi uniforme sur (a , b) donc Prob(test=vrai)=c ; donc nombre_de__vrai suit la loi binomiale de paramètre c et d’ordre N donc pour k=0...N Prob(D=do*ck *(1-c)N-k )= CNk ck *(1-c)N-k

E(D)=do* k å ( ck *(1-c)N-k CNk ck *(1-c)N-k ) = do*( c2 + (1-c)2 )N

minimum pour c=0.5 et vaut do*0.5N

3 N=4 pour c=1/2 D/d0 =1 /(2 2 2 2)=0.0625 Pour c=1/4 Si 4 fois X<m alors D/d0=1/4*1/4*1/4*1/4 =0.00039 Prob= 0.00039 Si 3 fois X<m alors D/d0=3/4 *1/4*1/4*1/4 =0.0117 Prob= 0.01562 Si 2 fois X<m alors D/d0 = 3/4 *3/4*1/4*1/4 =0.035 Prob= 0.21 Si 1 fois X<m alors D/d0 = 0.105 plus grand que pour c=1/2 donc Prob(D pour c=1/4 < D pour c=1/2 ) = 0.23

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II Rejet |X-4|>=r Condition de seuil Prob(|X-4|>=r |Nb=Nn)<0.05 Nb=Nn implique X suit la loi Binom de paramètre d= ½ et d'ordre 8 1 Prob(X=k)=C8 k 1/256 Prob(X=0)=0.004; Prob(X=1)=0.031 Prob(X=3)=0.22 Prob(X=4)=0.27 donc |X-4|=3 ie X=1 ou X=7 donne prob=0.062 donc r=3 ne vérifie pas la condition de seuil on doit donc prendre r=4 , ici | X-4|=3 , donc on ne peut rejeter H

2 Pour N=1024 on fera l'approximation avec Gauss E(X)=512; Var(X)=N*d*(1-d)=1024 * 0.5 *0.5 =256 sigma=16; Loi de (X-512)/16 s'approche par GAUSS réduite

Rejet |X-512|>=r Prob(|X-512|>=r |Nb=Nn)<0.05 Prob(|X-512|/16>=r/16 |Nb=Nn)<0.05 Table de Gauss donne Prob(|Z|>1.96)=0.05 donc r/16 =1.96 r=31.4

on doit donc prendre r=32 , ici |X-512|=35 , donc on peut rejeter H

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